ユーザーブログ:Hexirp/(2022-06-27) 反映順序数の崩壊

p 進大好き bot さんが「高階記述不可能性の崩壊」を投稿した。これは実際の順序数解析に使うものではないとはいえ Rathjen や Stegert や Arai などが作成した関数を超えるものである。その一方で、私はマーロ基数の崩壊を理解し切れずに「順序数崩壊関数」を投稿したのを最後に順序数崩壊関数の作成を中断してしまっていた。つまり、私は弱コンパクト基数や記述不可能基数などの手前で立ち止まっていたのだ。

むろん、この間も私は何もしていなかったわけではない。「メモ」や「絶対無限」や「反映」などのように、とりとめのないメモを投稿していた。

私は、マーロ基数の定義の意義が理解できていなかったのだ。なぜ、マーロ基数を使うと上手く行くのか？ なぜ、マーロ基数は、到達不能基数とも弱コンパクト基数とも記述不可能基数とも違う定義なのか？ なぜ、マーロ基数を使うのか？ そもそも、加素順序数や正則基数や到達不能基数などを使うと上手く行くのは、どうしてなのか？

むろん、この疑問は弱コンパクト基数にも記述不可能基数にも言えることである。だからこそ、この疑問を解決しないと、この先に行くことが出来ないと私は感じていた。

だから、私は、加素順序数や正則基数や到達不能基数やマーロ基数や弱コンパクト基数や記述不可能基数などを統一して表現できる概念を求めていたのだ。たとえば、反映原理だったりと。

そして、色々と探していた結果、それを見つけたかもしれない。それは反映順序数である。これを使って順序数崩壊関数を作ってみることにする。

反映順序数

\[ \newcommand{\paren}[1]{ \mathord{ \left ( { #1 } \right ) } } \newcommand{\bracket}[1]{ \mathord{ \left [ { #1 } \right ] } } \newcommand{\brace}[1]{ \mathord{ \left \{ { #1 } \right \} } } \newcommand{\midder}[1]{ \mathrel{ \left | \rule{0em}{#1} \right . } } \]

反映順序数を定義する。

定義-001
\( \Gamma \) を集合論の論理式の集合とする。 \( X \) を順序数のクラスとする。順序数 \( \alpha \) が \( X \) 上の \( \Gamma \)-反映順序数であることは、任意の \( { L } _ { \alpha } \) の集合の列 \( \vec{p} \) と任意の \( \Gamma \) の論理式 \( \phi \) に対して、 \( { L } _ { \alpha } \models \phi \paren{ \vec{p} } \) ならば、ある \( \alpha \cap X \) の順序数 \( \xi \) が存在して、 \( \vec{p} \in { L } _ { \xi } \) と \( { L } _ { \xi } \models \phi \paren{ \vec{p} } \) が成り立つことである。

反映順序数のクラスを定義する。

定義-002
\( \Gamma \) を集合論の論理式の集合とする。 \( X \) を順序数のクラスとする。順序数 \( \alpha \) が \( \alpha \in \mathrm{Ref} \paren{ \Gamma } \paren{ X } \) であることは、順序数 \( \alpha \) が \( X \) 上の \( \Gamma \)-反映順序数であることである。

反映順序数と極限順序数の関連について。

定理-003
次は互いに同値である。 順序数 \( \alpha \) は \( \alpha \in \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ X } \) である。 順序数 \( \alpha \) は \( \alpha \in \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 1 } } \paren{ X } \) である。 順序数 \( \alpha \) は \( \alpha = \sup \paren{ \alpha \cap X } \) である。

反映順序数と極限順序数の関連について。

定理-004
次は互いに同値である。 順序数 \( \alpha \) は \( \alpha \in \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{On} } \) である。 順序数 \( \alpha \) は \( \alpha \in \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 1 } } \paren{ \mathrm{On} } \) である。 順序数 \( \alpha \) は \( 0 \) か極限順序数である。

反映順序数と許容順序数の関連について。

定理-005
次は互いに同値である。 順序数 \( \alpha \) は \( \alpha \in \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 2 } } \paren{ \mathrm{On} } \) である。 順序数 \( \alpha \) は \( \omega \) より大きい許容順序数である。

反映順序数と再帰的到達不能順序数の関連について。

予想-006
次は互いに同値である。 順序数 \( \alpha \) は \( \alpha \in \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 2 } } \paren{ \mathrm{On} } \cap \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 2 } } \paren{ \mathrm{On} } } \) である。 順序数 \( \alpha \) は \( \omega \) より大きい再帰的到達不能順序数である。

再帰的マーロ順序数を定義する。

定義-007
\( X \) を順序数のクラスとする。 \( \omega \) よりも大きい許容順序数 \( \alpha \) が \( X \) 上の再帰的マーロ順序数であることは、任意の \( \alpha \)-再帰関数 \( f : \alpha \to \alpha \) に対して、ある \( \alpha \cap X \) の順序数 \( \beta \) が存在し、 \( 0 \) と \( f \) に関して閉じていることである。

再帰的マーロ順序数を定義する。

予想-008
\( \mathrm{Ad} \) を \( \omega \) よりも大きい許容順序数のクラスとする。 \( \omega \) よりも大きい許容順序数 \( \alpha \) が再帰的マーロ順序数であることは、順序数 \( \alpha \) が \( \mathrm{Ad} \) 上の再帰的マーロ順序数であることである。

反映順序数と再帰的マーロ数の関連について。

定理-009
次は互いに同値である。 順序数 \( \alpha \) は \( \alpha \in \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 2 } } \paren{ X } \) である。 順序数 \( \alpha \) は \( X \) 上の再帰的マーロ順序数である。

反映順序数と再帰的マーロ数の関連について。

定理-010
次は互いに同値である。 順序数 \( \alpha \) は \( \alpha \in \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 2 } } \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 2 } } \paren{ \mathrm{On} } } \) である。 順序数 \( \alpha \) は再帰的マーロ順序数である。

極限順序数の数え上げ

\( \mathrm{Enum} \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{On} } } \paren{ \alpha } \) は \( \omega \times \alpha \) と等しい。

\( \mathrm{Enum} \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{On} } } } \paren{ 1 + \alpha } \) は \( { \omega } ^ { 2 + \alpha } \) と等しい。

\( \mathrm{Enum} \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{On} } } } } \paren{ 1 + \alpha } \) は \( { \omega } ^ { \omega \times \paren{ 1 + \alpha } } \) と等しい。

\( \mathrm{Enum} \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } \paren{ \mathrm{On} } } } } } \paren{ 1 + \alpha } \) は \( { \omega } ^ { { \omega } ^ { 2 + \alpha } } \) と等しい。

\( \mathrm{Enum} \paren{ { \paren{ \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 0 } } } } ^ { \omega } \paren{ \mathrm{On} } } \paren{ 1 + \alpha } \) は \( { \varepsilon } _ { \alpha } \) と等しい。

許容順序数の崩壊

\( \mathrm{cl} \paren{ \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

\[ \mathrm{cl} \paren{ X } = \brace{ \alpha \in \mathrm{On} \midder{4.5ex} \exists \paren{ \xi \in \mathrm{On} } \ldotp \exists \paren{ f \in \paren{ \xi \to X } } \ldotp \alpha = \sup _ { \zeta < \xi } { f ( \zeta ) } } \]

\( \mathrm{em} \paren{ \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathrm{On} \to \mathrm{On} \) である。

\[ \mathrm{em} \paren{ X } \paren{ \alpha } = \mathrm{Enum} \paren{ \brace{ \omega } \cup \mathrm{cl} \paren{ X } } \paren{ \alpha } \]

\( \mathrm{Reg} \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

\[ \mathrm{Reg} = \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 2 } } \paren{ \mathrm{On} } \]

\( { C } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \to { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \to \paren{ \xi + \zeta } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Collapsing Target
   1. \( X \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \to \mathrm{em} \paren{ X } \paren{ \xi } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) \)
4. Recursion
   1. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \to { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { C } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \to \mathcal{P} \paren{ \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } } \) である。 \( { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Collapsing Target
   1. \( \mathrm{Reg} \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \to \mathrm{On} \to \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \forall \paren{ \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \xi } } \ldotp \zeta < \nu \to \zeta < \xi } \]

再帰的到達不能順序数の崩壊

\( \mathrm{cl} \paren{ \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

\[ \mathrm{cl} \paren{ X } = \brace{ \alpha \in \mathrm{On} \midder{4.5ex} \exists \paren{ \xi \in \mathrm{On} } \ldotp \exists \paren{ f \in \paren{ \xi \to X } } \ldotp \alpha = \sup _ { \zeta < \xi } { f ( \zeta ) } } \]

\( \mathrm{em} \paren{ \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathrm{On} \to \mathrm{On} \) である。

\[ \mathrm{em} \paren{ X } \paren{ \alpha } = \mathrm{Enum} \paren{ \brace{ \omega } \cup \mathrm{cl} \paren{ X } } \paren{ \alpha } \]

\( \mathrm{Reg} \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

\[ \mathrm{Reg} = \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 2 } } \paren{ \mathrm{On} } \]

\( \mathrm{Lim} \paren{ \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

\[ \mathrm{Lim} \paren{ X } = \brace{ \alpha \in \mathrm{On} \midder{1ex} \alpha \in X \land \textrm{\( \alpha \) is a limit ordinal} } \]

\( { C } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi < \beta \to \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \to \paren{ \xi + \zeta } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Collapsing Target
   1. \( X \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \mathrm{em} \paren{ X } \paren{ \xi } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) \)
4. Recursion
   1. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \to { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { C } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \to \mathcal{P} \paren{ \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } } \) である。 \( { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Collapsing Target
   1. \( \mathrm{Reg} \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land X \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \to { \mathrm{Lim} } ^ { \xi } \paren{ X } \in B \paren{ \alpha, \beta } \)
   3. \( X \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \paren{ \alpha, \beta } \to \chi \paren{ X } \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \to \mathrm{On} \to \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \forall \paren{ \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \xi } } \ldotp \zeta < \nu \to \zeta < \xi } \]

失敗

\( \mathrm{cl} \paren{ \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

\[ \mathrm{cl} \paren{ X } = \brace{ \alpha \in \mathrm{On} \midder{4.5ex} \exists \paren{ \xi \in \mathrm{On} } \ldotp \exists \paren{ f \in \paren{ \xi \to X } } \ldotp \alpha = \sup _ { \zeta < \xi } { f ( \zeta ) } } \]

\( \mathrm{em} \paren{ \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathrm{On} \to \mathrm{On} \) である。

\[ \mathrm{em} \paren{ X } \paren{ \alpha } = \mathrm{Enum} \paren{ \brace{ \omega } \cup \mathrm{cl} \paren{ X } } \paren{ \alpha } \]

\( \mathrm{Reg} \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

\[ \mathrm{Reg} = \mathrm{Ref} \paren{ { \Pi } ^ { 0 } _ { 2 } } \paren{ \mathrm{On} } \]

\( \mathrm{Lim} \paren{ \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

\[ \mathrm{Lim} \paren{ X } = \brace{ \alpha \in \mathrm{On} \midder{1ex} \alpha \in X \land \textrm{\( \alpha \) is a limit ordinal} } \]

\( { B } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \times \mathrm{On} \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi \in \beta \to { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( x \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land y \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \to \paren{ x + y } \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Enumeration
   1. \( \xi \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land x \in { B } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \to \mathrm{em} \paren{ \xi } \paren{ x } \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { B } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \times \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathcal{P} \paren{ \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } } \) である。 \( { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Collapsing Target
   1. \( \mathrm{Reg} \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Limiting
   1. \( \xi \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \to \mathrm{Lim} \paren{ \xi } \in { B } _ { 2 } \)
3. Recursion
   1. \( \xi \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \to { \chi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \xi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

\[ { \xi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \midder{1ex} \forall \paren{ \zeta \in { B } _ { 2 } \paren{ \alpha, \xi } } \ldotp \zeta < \nu \to \zeta < \xi } \]

\( { C } _ { 1 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。 \( { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Base
   1. \( \xi < \beta \to { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
   2. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \to \paren{ \xi + \zeta } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)
3. Collapsing Target
   1. \( X \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \rightarrow \mathrm{em} \paren{ X } \paren{ \xi } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \) \)
4. Recursion
   1. \( \xi \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \mu \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \land \xi < \alpha \to { \psi } _ { \mu } \paren{ \xi } \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { C } _ { 2 } \paren{ \_, \_ } \) は \( \mathrm{On} \times \mathrm{On} \to \mathcal{P} \paren{ \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } } \) である。 \( { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \) は次の条件を満たす最小のものである。

1. Collapsing Target
   1. \( \mathrm{Reg} \in { C } _ { 2 } \paren{ \alpha, \beta } \)

\( { \psi } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \to \mathrm{On} \to \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{On} \midder{1ex} \forall \paren{ \zeta \in { C } _ { 1 } \paren{ \alpha, \xi } } \ldotp \zeta < \nu \to \zeta < \xi } \]

試作品

\( C \paren{ \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathrm{On} \to \mathrm{On} \to \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \) である。

1. Base
   1. \( \xi < \beta \to \xi \in C \paren{ \alpha } \paren{ \beta } \)
2. Addition
   1. \( 0 \in C \paren{ \alpha } \paren{ \beta } \)
   2. \( \xi \in C \paren{ \alpha } \paren{ \beta } \to \zeta \in C \paren{ \alpha } \paren{ \beta } \to \paren{ \xi + \zeta } \in C \paren{ \alpha } \paren{ \beta } \)
3. Increasing Function
   1. \( 1 \in C \paren{ \alpha } \paren{ \beta } \)
4. Recursion
   1. \( \nu \in C \paren{ \alpha } \paren{ \beta } \to \xi \in C \paren{ \alpha } \paren{ \beta } \land \xi < \alpha \to { \psi } _ { \nu } \paren{ \xi } \in C \paren{ \alpha } \paren{ \beta } \)

\( { \psi } ^ { \_ } _ { \_ } \paren{ \_ } \) は \( \mathcal{P} \paren{ \mathrm{On} } \to \mathrm{On} \to \mathrm{On} \to \mathrm{On} \) である。

\[ { \psi } ^ { X } _ { \nu } \paren{ \alpha } = \min \brace{ \xi \in \mathrm{ \omega } \cup \mathrm{cl} \paren{ X } \midder{1ex} \forall \paren{ \zeta \in C \paren{ \alpha } \paren{ \xi } } \ldotp \zeta < \nu \to \zeta < \xi } \]

参考文献

1. Arai, 2003. 新井敏康, "Proof theory for theories of ordinals—I: recursively Mahlo ordinals", Annals of Pure and Applied Logic, Volume 122, Issues 1–3, 2003, Pages 1-85, ISSN 0168-0072, https://doi.org/10.1016/S0168-0072(03)00020-4.
2. Richter, Aczel, 1974. Wayne Richter, Peter Aczel, "Inductive Definitions and Reflecting Properties of Admissible Ordinals", Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Elsevier, Volume 79, 1974, Pages 301-381.

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