(2022-06-27) 反映順序数の崩壊

p 進大好き bot さんが「高階記述不可能性の崩壊」を投稿した。これは実際の順序数解析に使うものではないとはいえ Rathjen や Stegert や Arai などが作成した関数を超えるものである。その一方で、私はマーロ基数の崩壊を理解し切れずに「弱マーロ基数を数え上げる club クラスによる単純な順序数崩壊関数」を投稿したのを最後に順序数崩壊関数の作成を中断してしまっていた。つまり、私は弱コンパクト基数や記述不可能基数などよりも手前の地点で立ち止まっていたのだ。

むろん、この間も私は何もしていなかったわけではない。「メモ」や「絶対無限」や「反映」などのように、とりとめのないメモを投稿していた。

私は、マーロ基数の定義の意義が理解できていなかったのだ。なぜ、マーロ基数を使うと上手く行くのか？ なぜ、マーロ基数は、到達不能基数とも弱コンパクト基数とも記述不可能基数とも違う定義なのか？ なぜ、マーロ基数を使うのか？ そもそも、加素順序数や正則基数や到達不能基数などを使うと上手く行くのは、どうしてなのか？

むろん、この疑問は弱コンパクト基数にも記述不可能基数にも言えることである。だからこそ、この疑問を解決しないと、この先に行くことが出来ないと私は感じていた。

だから、私は、加素順序数や正則基数や到達不能基数やマーロ基数や弱コンパクト基数や記述不可能基数などを統一して表現できる概念を求めていたのだ。たとえば、反映原理だったりと。

そして、色々と探していた結果、それを見つけたかもしれない。それは反映順序数である。これを使って順序数崩壊関数を作ってみることにする。

定義

定義-001

\( \Gamma \) を集合論の論理式の集合とする。 \( X \) を順序数のクラスとする。 \( X \) 上の \( \Gamma \)-反映順序数は、次のように定義される。 順序数 \( \alpha \) が \( X \) 上の \( \Gamma \)-反映順序数である。 任意の \( { L } _ { \alpha } \) の集合の列 \( { \vec{p} } \) と任意の \( \Gamma \) の論理式 \( \phi \) に対して、 \( { L } _ { \alpha } \models \phi \) ならば、ある \( \alpha \cap X \) の順序数 \( \xi \) が存在して、 \( \vec{p} \in { L } _ { \xi } \) と \( { L } _ { \xi } \models \phi \) が成り立つ。

参考文献

1. Arai, 2003. 新井敏康, 2003 "Proof theory for theories of ordinals—I: recursively Mahlo ordinals", Annals of Pure and Applied Logic.