2025年エイプリルフール

概要[]

もし私にこれはエイプリルフールですかと質問したら、私ははいと答えます。

これは数列システムです。

前文[]

この表記で使用される文字$ A $はどの順序数にも対応しないことが期待されている。

項[]

$ 0 $と$ + $と$ ( $と$ ) $と$ \psi $と$ \psi_A $と$ A $からなる文字列の集合$ T $と$ PT $を以下のように定義する:

$ 0 \in T \cap PT $である。
任意の$ a \in PT, b \in T \setminus \{ 0 \} $に対し、$ a + b \in T $かつ$ a + b \notin PT $である。
任意の$ a \in T $に対し、$ \psi(a) \in T \cap PT $である。
任意の$ a \in T $に対し、$ \psi_A(a) \in T \cap PT $である。
任意の$ a \in T $に対し、$ A(a) \in T \cap PT $である。

略記[]

以下の略記を使用するかもしれない。

$ $0 := 0 $
$ $1 := \psi($0) $
$ $(k+1) := $k + $1 (k \geq 1, k \in \mathbb{N}) $
$ $\omega := \psi($1) $
$ $A := A($0) $
任意の$ \alpha \in T $に対し、$ A \times \omega^{\alpha} := A(\alpha) $

oplus[]

$ (s, t) \in T \times T $に対し、$ s \oplus t $を以下で定義する:

$ s = 0 $ならば、$ s \oplus t = t $である。
$ t = 0 $ならば、$ s \oplus t = s $である。
$ s \neq 0 \wedge t \neq 0 \wedge s \in PT $ならば、$ s \oplus t = s + t $である。
$ s \neq 0 \wedge t \neq 0 \wedge s \notin PT $ならば、$ s = s_1 + s_2 $となる$ s_1 \in PT, s_2 \in T $が一意に存在するので$ s \oplus t = s_1 + (s_2 \oplus t) $である。

パース[]

Dig[]

$ (s, n) \in T \times \mathbb{N} $に対し、$ \operatorname{Dig}(s, n) \in T $を以下で定義する:

$ n = 0 $ならば、$ \operatorname{Dig}(s, n) = s $である。
そうでなければ、
- $ s = 0 $ならば、$ \operatorname{Dig}(s, n) = s $である。
- $ s = a + b (a \in PT, b \in T) $ならば、$ \operatorname{Dig}(s, n) = \operatorname{Dig}(b, n - 1) $である。
- $ s = \psi(a) (a \in T) $ならば、$ \operatorname{Dig}(s, n) = \operatorname{Dig}(a, n - 1) $である。
- $ s = \psi_A(a) (a \in T) $ならば、$ \operatorname{Dig}(s, n) = \operatorname{Dig}(a, n - 1) $である。
- $ s = A(a) (a \in T) $ならば、$ \operatorname{Dig}(s, n) = \operatorname{Dig}(a, n - 1) $である。

Layer[]

$ s \in T $に対し、$ \operatorname{Layer}(s) \in \mathbb{N} $を$ \operatorname{Dig}(s, n) = 0 $を満たす最小の$ n \in \mathbb{N} $とする。

Replace[]

$ (s, n, t) \in T \times \mathbb{N} \times T $に対し、$ \operatorname{Replace}_{s, n}(t) \in T $を以下で定義する:

$ n = 0 $ならば、$ \operatorname{Replace}_{s, n}(t) = t $である。
そうでなければ、
- $ s = 0 $ならば、$ \operatorname{Replace}_{s, n}(t) = t $である。
- $ s = a + b (a \in PT, b \in T) $ならば、$ \operatorname{Replace}_{s, n}(t) = a \oplus \operatorname{Replace}_{b, n - 1}(t) $である。
- $ s = \psi(a) (a \in T) $ならば、$ \operatorname{Replace}_{s, n}(t) = \psi(\operatorname{Replace}_{a, n - 1}(t)) $である。
- $ s = \psi_A(a) (a \in T) $ならば、$ \operatorname{Replace}_{s, n}(t) = \psi_A(\operatorname{Replace}_{a, n - 1}(t)) $である。
- $ s = A(a) (a \in T) $ならば、$ \operatorname{Replace}_{s, n}(t) = A(\operatorname{Replace}_{a, n - 1}(t)) $である。

これは「最も右側の$ A(0) $を置き換える」のような操作を正当化するための関数である。なお、最も右側よりさらに右側を置き換えようとした場合(すなわち$ n \geq \operatorname{Layer}(s) $である場合)は最も右側の$ 0 $が置き換えられる。

任意の$ s \in T, n \in \mathbb{N} $に対して$ \operatorname{Replace}_{s, n}(\operatorname{Dig}(s, n)) = s $であることが期待されています。もしそうでない場合は修正が必要です。

IntoLayer[]

$ (f, n) \in (T \rightarrow T) \times \mathbb{N} $に対し、$ \operatorname{IntoLayer}_n(f) \in T \rightarrow T $を以下で定義する:

$ s \in T $に対し、$ \operatorname{IntoLayer}_n(f)(s) = \operatorname{Replace}_{s, n}(f(\operatorname{Dig}(s, n))) $である。

IntoLayerは関数を引数に取るが、これはプログラミングで言うところのコールバック関数に相当する。

もちろん任意の$ \mathbb{N} $に対して$ \operatorname{IntoLayer}_n(\operatorname{id}_T) = \operatorname{id}_T $であることが期待されている。

Van[]

$ (s, br, cr, m, t) \in T \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times T $に対し、$ \operatorname{Van}(s, br, cr, m, t) \in T $を以下で定義する:

$ cr < br $であれば、$ \operatorname{Van}(s, br, cr, m, t) = \operatorname{Replace}_{s, cr}(0) $である。
- たぶんこのケースは使用しない。
$ br \leq cr $であれば、$ \operatorname{Van}(s, br, cr, m, t) = \operatorname{Replace}_{s, br}(\operatorname{Replace}_{\operatorname{Dig}(s, br), cr - br}^m(t)) $である。

名前通り表記をヴァンッ・・・！する関数である。

brはbad rootであり、crはcut rootである。

前者[]

PredBase[]

$ s \in T $に対し、$ \operatorname{PredBase}(s) \in T $を以下で定義する:

$ s \in PT $ならば、
- $ s = $1 $ならば、$ \operatorname{PredBase}(s) = $0 $である。
- そうでなければ、$ \operatorname{PredBase}(s) = s $である。
$ s \notin PT $ならば、$ s = s_1 + s_2 $となる$ s_1 \in PT, s_2 \in T $が一意に存在するので$ \operatorname{PredBase}(s) = s_1 \oplus \operatorname{PredBase}(s_2) $である。

Pred[]

$ (s, l) \in T \times \mathbb{N} $に対し、$ \operatorname{Pred}(s, l) \in T $を以下で定義する:

$ \operatorname{Pred}(s, l) = \operatorname{IntoLayer}_l(\operatorname{PredBase})(s) $である。

掛け算[]

MultBase[]

$ (s, n) \in T \times \mathbb{N} $に対し、$ \operatorname{MultBase}(s, n) \in T $を以下で定義する:

$ n = 0 $であれば、$ \operatorname{MultBase}(s, n) = 0 $である。
そうでなければ、$ n = k + 1 $となる$ k \in \mathbb{N} $が一意に存在するので$ \operatorname{MultBase}(s, n) = s \oplus \operatorname{MultBase}(s, k) $である。

Mult[]

$ (s, n, l) \in T \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} $に対し、$ \operatorname{Mult}(s, n, l) \in T $を以下で定義する:

$ \operatorname{Mult}(s, n, l) = \operatorname{IntoLayer}_l(\lambda s'. \operatorname{MultBase}(s', n))(s) $である。

その他ユーティリティ[]

SimpleNest[]

$ (a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} $に対し、$ \operatorname{SimpleNest}(a, b) \in T $を以下で定義する:

もし$ b = 0 $ならば、$ \operatorname{SimpleNest}(a, 0) = $0 $である。
もし$ b \neq 0 $かつ$ a = 0 $ならば、$ \operatorname{SimpleNest}(0, b) = \psi_A(\operatorname{SimpleNest}(0, b - 1)) $である。
もし$ b = 1 $かつ$ a \neq 0 $ならば、$ \operatorname{SimpleNest}(a, 1) = \operatorname{Replace}_{\operatorname{SimpleNest}(a - 1, 1), a}($A) $である。
もし$ b > 1 $かつ$ a \neq 0 $ならば、$ \operatorname{SimpleNest}(a, b) = \operatorname{Replace}_{\operatorname{SimpleNest}(a, 1), a + 1}(\operatorname{SimpleNest}(a, b - 1)) $である。

ASize[]

$ s \in T $に対し、$ \operatorname{ASize}(s) \in \mathbb{N} $を以下で定義する:

$ s \in PT $ならば、
- もしある$ a \in T $に対し$ s = A(a) $ならば、$ \operatorname{ASize}(s) = \operatorname{ASize}(a + 1) $である。
- そうでなければ、$ \operatorname{ASize}(s) = 0 $である。
$ s \notin PT $ならば、$ s = s_1 + s_2 $となる$ s_1 \in PT, s_2 \in T $が一意に存在するので$ \operatorname{ASize}(s) = \operatorname{ASize}(s_1) $である。

タイプ[]

$ s \in T $に対し、$ \operatorname{Type}(s) \in \{ I, II, III, IV, V \} $を以下で定義する:

$ s = 0 $ならば、$ \operatorname{Type}(s) = I $ である。
ある$ a \in PT, b \in T \setminus \{ 0 \} $に対し$ s = a + b $ならば、$ \operatorname{Type}(s) = II $ である。
ある$ a \in T $に対し$ s = \psi(a) $ならば、$ \operatorname{Type}(s) = III $ である。
ある$ a \in T $に対し$ s = \psi_A(a) $ならば、$ \operatorname{Type}(s) = IV $ である。
ある$ a \in T $に対し$ s = A(a) $ならば、$ \operatorname{Type}(s) = V $ である。

順序[]

$ s, t \in T $に対し、$ \operatorname{Cmp}(s, t) \in \{ -1, 0, +1 \} $を以下で定める:

以下の表で縦軸が$ \operatorname{Type}(s) $で横軸が$ \operatorname{Type}(t) $であるセルの文字に対応するセクションの内容とする。

s＼t	I	II	III	IV	V
I	零	負	負	負	負
II	正	項	左	左	左
III	正	反	内	負	負
IV	正	反	正	内	負
V	正	反	正	正	内

反[]

$ \operatorname{Cmp}(s, t) = -\operatorname{Cmp}(t, s) $とする。

もちろん、$ -(-1)=+1, -0=0, -(+1)=-1 $である。

零[]

$ \operatorname{Cmp}(s, t) = 0 $とする。

正[]

$ \operatorname{Cmp}(s, t) = +1 $とする。

負[]

$ \operatorname{Cmp}(s, t) = -1 $とする。

項[]

$ s = a + b (a \in PT, b \in T \setminus \{ 0 \}) $とする。

$ t = c + d (c \in PT, d \in T \setminus \{ 0 \}) $とする。

$ \operatorname{Cmp}(a, c) \neq 0 $ならば、$ \operatorname{Cmp}(s, t) = \operatorname{Cmp}(a, c) $とする。
そうでなければ、$ \operatorname{Cmp}(s, t) = \operatorname{Cmp}(b, d) $とする。

左[]

$ s = a + b (a \in PT, b \in T \setminus \{ 0 \}) $とする。

$ \operatorname{Cmp}(a, t) \neq 0 $ならば、$ \operatorname{Cmp}(s, t) = \operatorname{Cmp}(a, t) $とする。
そうでなければ、$ \operatorname{Cmp}(s, t) = +1 $とする。

内[]

$ s = \psi(a) $または$ s = \psi_A(a) $または$ s = A(a) $ $ (a \in T) $とする。

$ t = \psi(b) $または$ t = \psi_A(b) $または$ t = A(b) $ $ (b \in T) $とする。

$ \operatorname{Cmp}(s, t) = \operatorname{Cmp}(a, b) $とする。

シンタックスシュガー[]

$ s, t $に対し、以下の二項関係を定義する:

$ s < t \stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \operatorname{Cmp}(s, t) = -1 $
$ s \leq t \stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \operatorname{Cmp}(s, t) = -1 \vee \operatorname{Cmp}(s, t) = 0 $
$ s > t \stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \operatorname{Cmp}(s, t) = +1 $
$ s \geq t \stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \operatorname{Cmp}(s, t) = +1 \vee \operatorname{Cmp}(s, t) = 0 $

基本列[]

基本列を定めるのはとてもわんだほいである。

可算順序数に対応する項以外では壊れる可能性があることに注意せよ。

$ (s, n) \in T \times \mathbb{N} $に対し、$ s[n] \in T $を以下で定義する:

$ s = 0 $ならば、$ s[n] = 0 $である。
$ s = a + b (a \in PT, b \in T) $ならば、$ s[n] = a \oplus b[n] $である。
それ以外ならば、$ l = \operatorname{Layer}(s) $とする。
1. もし$ \operatorname{Dig}(s, l - 1) = \psi(0) $または$ \operatorname{Dig}(s, l - 1) = \psi_A(0) $ならば、
  1. もし$ l = 1 $ならば、$ s[n] = 0 $である。
    - 他の多くの表記とは異なり、$ $1[0] = $1[1] = $1[2] = \cdots = 0 $であることに注意せよ。
  2. そうでなければ、
    1. $ j = \max_{j < l - 1} \operatorname{Type}(\operatorname{Dig}(s, j)) \in \{ III, IV \} $とする。
    2. $ s[n] = \operatorname{Mult}(\operatorname{Replace}_{s, j + 1}(\operatorname{Dig}(s, j + 1)[0])), n, j) $とする。
2. そうでないなら、
  1. $ j = \max_j \operatorname{Type}(\operatorname{Dig}(s, j)) \in \{ III, IV \} $とする。
  2. 自然数$ 0 \leq i < l $に対する命題$ Q_1(i) $を以下で定める:
    1. $ Q_1(i) := \operatorname{Type}(\operatorname{Dig}(s, i)) = III $とする。
  3. 自然数$ 0 \leq i < l $に対する命題$ Q_2(i) $を以下で定める:
    1. $ Q_2(i) := \operatorname{Dig}(s, j) < \operatorname{Dig}(s, i) $とする。
  4. 自然数$ 0 \leq i < l $に対する命題$ Q_3(i) $を以下で定める:
    1. $ k = \min_{k > i} \operatorname{Type}(\operatorname{Dig}(s, k)) \in \{ III, IV \} \lor \operatorname{Dig}(s, k) = $0 $とする。
    2. $ a_1 = \operatorname{ASize}(\operatorname{Dig}(s, j + 1)) $とする。
    3. $ a_2 = |\{ k > i' > j \mid \operatorname{Type}(\operatorname{Dig}(s, i')) = V \}| $とする。
    4. $ Q_3(i) := (a_2 \geq a_1) \land \operatorname{Type}(\operatorname{Dig}(s, i)) \in \{ III, IV \} $とする。
  5. $ b $を$ Q_1(b) \lor Q_2(b) \lor Q_3(b) $が成り立つ最大の自然数とする。そのようなものが存在しなければ$ b = 0 $とする。
  6. もし$ Q_1(b) $ならば、
    1. もし$ \operatorname{Dig}(s, l - 2) = \psi_A($A) $ならば、$ s[n] = \operatorname{Van}(s, b, l - 2, n, 0) $とする。
    2. そうでなければ、$ s[n] = \operatorname{Van}(s, b, l - 1, n, 0) $とする。
  7. もし$ \lnot Q_1(b) \land Q_2(b) $ならば、
    1. $ s[n] = \operatorname{Van}(s, b, l - 1, n, 0) $とする。
  8. もし$ \lnot Q_1(b) \land \lnot Q_2(b) \land Q_3(b) $ならば、
    1. $ k = \min_{k > b} \operatorname{Type}(\operatorname{Dig}(s, k)) \in \{ III, IV \} \lor \operatorname{Dig}(s, k) = $0 $とする。
    2. $ a = |\{ k > b' > j \mid \operatorname{Type}(\operatorname{Dig}(s, b')) = V \}| $とする。
    3. $ s[n] = \operatorname{Replace}_{s, l - 1}(\operatorname{Simplenest}(\max(a - 1, 0), n)) $とする。
  9. もし$ \lnot Q_1(b) \land \lnot Q_2(b) \land \lnot Q_3(b) $ならば、
    1. このケースに入ることはあってほしくないのでできるだけ壊れそうな挙動を設定しておく。
    2. $ M $をあなたが投げたことのある最も重い物体の質量(単位はポンド)とする。
    3. $ s[n] = \operatorname{Replace}_{s, M \% l}($n) $とする。
      - このパーセント記号は剰余の意味である。

巨大数[]

Λ[]

$ n \in \mathbb{N} $に対し、$ \Lambda(n) \in T $を以下で定義する:

$ n = 0 $であれば、$ \Lambda(n) = 0 $である。
そうでなければ、$ n = k + 1 $となる$ k \in \mathbb{N} $が一意に存在するので$ \Lambda(n) = A(\Lambda(k)) $である。

IsSucc[]

$ s \in T $に対し、$ \operatorname{IsSucc}(s) \in \mathrm{Boolean} $を以下で定義する:

$ s = 0 $ならば、$ \operatorname{IsSucc}(s) = \mathrm{false} $である。
$ s = a + b (a \in PT, b \in T) $ならば、$ \operatorname{IsSucc}(s) = \operatorname{IsSucc}(b) $である。
$ s = \psi(a) (a \in T) $ならば、$ \operatorname{IsSucc}(s) = ( a = 0 ) $である。
$ s = \psi_A(a) (a \in T) $ならば、$ \operatorname{IsSucc}(s) = ( a = 0 ) $である。
$ s = A(a) (a \in T) $ならば、$ \operatorname{IsSucc}(s) = \mathrm{false} $である。

FGH[]

$ (s, n) \in T \times \mathbb{N} $に対し、$ f_s(n) $を以下で定義する:

もし$ s = 0 $であれば、$ f_s(n) = n + 1 $である。
もし$ s \neq 0 \land \operatorname{IsSucc}(s) $であれば、$ f_s(n) = f^n_{s[0]}(n) $である。
もし$ s \neq 0 \land \lnot \operatorname{IsSucc}(s) $であれば、$ f_s(n) = f_{s[n]}(n) $である。

巨大数[]

$ f_{\psi(\Lambda(100))}(100) $を「$ \Omega_{\omega} $は後続基数である」とする。

解析[]

後半は何を意味するか私にもわかりません。

表記	順序数とは限らない
$ 0 $	$ 0 $
$ \psi(0) = $0 $	$ 1 $
$ \psi($A) $	$ \varepsilon_0 $
$ \psi($A + $A) $	$ \varepsilon_1 $
$ \psi(A(1)) $	$ \varepsilon_{\omega} $
$ \psi(A(\psi($A))) $	$ \varepsilon_{\varepsilon_0} $
$ \psi(A(\psi_A($A))) $	$ \zeta_0 $
$ \psi(A(\psi_A($A))+A(\psi_A($A)))) $	$ \zeta_1 $
$ \psi(A(\psi_A($A + $A))) $	$ \eta_0 $
$ \psi(A(\psi_A(A(\psi_A($A))))) $	$ \Gamma_0 $
$ \psi(A($A)) $	$ \psi_0(\Omega_2) $
$ \psi(A($A)+$A) $	$ \psi_0(\Omega_2 + \Omega) $
$ \psi(A($A)+A($A)) $	$ \psi_0(\Omega_2 + \psi_1(\Omega_2)) $
$ \psi(A($A + $A)) $	$ \psi_0(\Omega_2 \cdot 2) $
$ \psi(A(A($1))) $	$ \psi_0(\Omega_2 \cdot \omega) $
$ \psi(A(A(\psi($A))) $	$ \psi_0(\Omega_2 \cdot \varepsilon_0) $
$ \psi(A(A(\psi(A($A)))) $	$ \psi_0(\Omega_2 \cdot \psi_0(\Omega_2)) $
$ \psi(A(A(\psi_A($A)))) $	$ \psi_0(\Omega_2 \cdot \Omega) $
$ \psi(A(A(\psi_A(A(\psi_A(A($A))))))) $	$ \psi_0(\Omega_2 \cdot \psi_1(\Omega_2)) $
$ \psi(A(A(\psi_A(A($A))))) $	$ \psi_0(\Omega_2^2) $
$ \psi(A(A($A))) $	$ \psi_0(\Omega_3) $
$ \psi(A(A($A))+$A) $	$ \psi_0(\Omega_3 + \Omega) $
$ \psi(A(A($A))+A($A)) $	$ \psi_0(\Omega_3 + \psi_1(\Omega_2)) $
$ \psi(A(A($A))+A(A($A))) $	$ \psi_0(\Omega_3 + \psi_1(\Omega_3)) $
$ \psi(A(A($A)+$1)) $	$ \psi_0(\Omega_3 + \psi_1(\Omega_3 + 1)) $
$ \psi(A(A($A)+$A)) $	$ \psi_0(\Omega_3 + \Omega_2) $
$ \psi(A(A($A)+A($A))) $	$ \psi_0(\Omega_3 + \psi_2(\Omega_3)) $
$ \psi(A(A($A+$1))) $	$ \psi_0(\Omega_3 + \psi_2(\Omega_3 + 1)) $
$ \psi(A(A($A+$A))) $	$ \psi_0(\Omega_3 \cdot 2) $
$ \psi(A(A(A($A))) $	$ \psi_0(\Omega_4) $
$ \psi(A(A(A(A(\cdots))))) $	$ \psi_0(\Omega_{\Omega}) $
$ \psi_A($A) $	$ \Omega $
$ \psi_A(A(1)) $	$ \Omega \cdot \omega $
$ \psi_A(A($A)) $	$ \Omega_2, \psi_1(\Omega_2) $
$ \psi_A(A(A($A))) $	$ \Omega_3, \psi_2(\Omega_3), \psi_1(\Omega_3) $
$ A(0) = $A $	$ \Omega_{\omega - 1} $
$ A(1) $	$ \Omega_{\omega - 1} \cdot \omega $
$ A($A) $	$ \Omega_{\omega - 1}^2 $
$ A(A($A)) $	$ \Omega_{\omega - 1}^{\Omega_{\omega - 1}} $
$ A(A(A($A))) $	$ \Omega_{\omega - 1}^{\Omega_{\omega - 1}^{\Omega_{\omega - 1}}} $
$ A(A(A(A(\cdots)))) $	$ \varepsilon_{\Omega_{\omega - 1} + 1} $

表記	順序数とは限らない
\( 0 \)	\( 0 \)
\( \psi(0) = $0 \)	\( 1 \)
\( \psi($A) \)	\( \varepsilon_0 \)
\( \psi($A + $A) \)	\( \varepsilon_1 \)
\( \psi(A(1)) \)	\( \varepsilon_{\omega} \)
\( \psi(A(\psi($A))) \)	\( \varepsilon_{\varepsilon_0} \)
\( \psi(A(\psi_A($A))) \)	\( \zeta_0 \)
\( \psi(A(\psi_A($A))+A(\psi_A($A)))) \)	\( \zeta_1 \)
\( \psi(A(\psi_A($A + $A))) \)	\( \eta_0 \)
\( \psi(A(\psi_A(A(\psi_A($A))))) \)	\( \Gamma_0 \)
\( \psi(A($A)) \)	\( \psi_0(\Omega_2) \)
\( \psi(A($A)+$A) \)	\( \psi_0(\Omega_2 + \Omega) \)
\( \psi(A($A)+A($A)) \)	\( \psi_0(\Omega_2 + \psi_1(\Omega_2)) \)
\( \psi(A($A + $A)) \)	\( \psi_0(\Omega_2 \cdot 2) \)
\( \psi(A(A($1))) \)	\( \psi_0(\Omega_2 \cdot \omega) \)
\( \psi(A(A(\psi($A))) \)	\( \psi_0(\Omega_2 \cdot \varepsilon_0) \)
\( \psi(A(A(\psi(A($A)))) \)	\( \psi_0(\Omega_2 \cdot \psi_0(\Omega_2)) \)
\( \psi(A(A(\psi_A($A)))) \)	\( \psi_0(\Omega_2 \cdot \Omega) \)
\( \psi(A(A(\psi_A(A(\psi_A(A($A))))))) \)	\( \psi_0(\Omega_2 \cdot \psi_1(\Omega_2)) \)
\( \psi(A(A(\psi_A(A($A))))) \)	\( \psi_0(\Omega_2^2) \)
\( \psi(A(A($A))) \)	\( \psi_0(\Omega_3) \)
\( \psi(A(A($A))+$A) \)	\( \psi_0(\Omega_3 + \Omega) \)
\( \psi(A(A($A))+A($A)) \)	\( \psi_0(\Omega_3 + \psi_1(\Omega_2)) \)
\( \psi(A(A($A))+A(A($A))) \)	\( \psi_0(\Omega_3 + \psi_1(\Omega_3)) \)
\( \psi(A(A($A)+$1)) \)	\( \psi_0(\Omega_3 + \psi_1(\Omega_3 + 1)) \)
\( \psi(A(A($A)+$A)) \)	\( \psi_0(\Omega_3 + \Omega_2) \)
\( \psi(A(A($A)+A($A))) \)	\( \psi_0(\Omega_3 + \psi_2(\Omega_3)) \)
\( \psi(A(A($A+$1))) \)	\( \psi_0(\Omega_3 + \psi_2(\Omega_3 + 1)) \)
\( \psi(A(A($A+$A))) \)	\( \psi_0(\Omega_3 \cdot 2) \)
\( \psi(A(A(A($A))) \)	\( \psi_0(\Omega_4) \)
\( \psi(A(A(A(A(\cdots))))) \)	\( \psi_0(\Omega_{\Omega}) \)
\( \psi_A($A) \)	\( \Omega \)
\( \psi_A(A(1)) \)	\( \Omega \cdot \omega \)
\( \psi_A(A($A)) \)	\( \Omega_2, \psi_1(\Omega_2) \)
\( \psi_A(A(A($A))) \)	\( \Omega_3, \psi_2(\Omega_3), \psi_1(\Omega_3) \)
\( A(0) = $A \)	\( \Omega_{\omega - 1} \)
\( A(1) \)	\( \Omega_{\omega - 1} \cdot \omega \)
\( A($A) \)	\( \Omega_{\omega - 1}^2 \)
\( A(A($A)) \)	\( \Omega_{\omega - 1}^{\Omega_{\omega - 1}} \)
\( A(A(A($A))) \)	\( \Omega_{\omega - 1}^{\Omega_{\omega - 1}^{\Omega_{\omega - 1}}} \)
\( A(A(A(A(\cdots)))) \)	\( \varepsilon_{\Omega_{\omega - 1} + 1} \)