(メタ的に言うと、これはBuchholz's ψの解説記事の続きです。)
(背景は白一色で、画面には黒い髪と黄色い髪の生首[要出典]饅頭?がそれぞれ右下と左下に映っている。以下それぞれの生首をA,Bとする。黒髪であるにもかかわらずAの字幕は赤で書かれている)
A: さて、今日もゆっくり実況やっていきましょう
B: 実況するのは
A: ゆっくり霊夢と
B: ゆっくり魔理沙だぜ
B: それで、前回は何を実況したんだぜ?
A: \( \psi_k(0) \)を求めたよ。\( \psi_k(0) = \Omega_k \)だったね
B: 前回の動画が1か月以上前だから、そんなこと覚えてないぜ
A: 覚えてないって人は前回の動画を見てね
B: ダイマ乙
A: 今回は、いよいよステージ\( 1 \)をプレイするよ
B: やっと次のステージに進めるんだぜ
A: 今回も定義通りに計算を進めていこうね
B: 今回から第3項がどうとか言ってたから、難しくなるのぜ?
A: 理解すれば自明だよ。さっそく、ゲームスタート
(画面全体にゲーム画面が表示される)
\( C_0^0(1) = \Omega_0 = 1 = \{ 0 \} \)
B: これはワールド\( 0 \)のステージ\( 0 \)と変わらないんだぜ
A: そうだね。今は\( \psi_0(1) \)を計算しているから、\( \nu = 0 \)になるね。\( \nu = 0 \)だから、\( C_0^0(1) = \{ 0 \} \)になるよ
B: わかったぜ。この後はどうなるんだぜ?
A: 時間を進めるよ
\( C_0^1(1) = \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \)
B: なんかいろいろと追加されたんだぜ
A: これが、前に言った第3項の効果だよ。定義を見ながら何が起こるか確認してみようね
B: というわけで定義を持ってきたぜ
(定義の2行目が画面左から移動してゲーム画面を覆いつくす)
\( C_\nu^{n+1}(\alpha) = C_\nu^n(\alpha) \cup \{\gamma | P(\gamma) \subseteq C_\nu^n(\alpha)\} \cup \{\psi_\mu(\xi) | \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \wedge \xi \in C_\mu(\xi) \wedge \mu \leq \omega\} \)
A: \( \nu = 0, n = 0, \alpha = 1 \)だから、\( C_\nu^n(\alpha) \)は\( C_0^0(1) = \{ 0 \} \)になるね
B: これは前回と変わらないんだぜ
A: 第2項も変わらないよ。\( C_\nu^n(\alpha) \)は\( C_0^0(1) = \{ 0 \} \)だから、\( P(\gamma) \)を\( \{ 0 \} \)の部分集合にするには、\( \gamma = 0 \)にするしかないね
B: \( P(\gamma) \)は\( \gamma \)を足し算に分解したときの各項だったんだぜ。足し算で表した時に\( 0 \)しか出てこないようにするためには、元々\( 0 \)にするしかないんだぜ
A: そういうことだよ。もっと詳しく知りたい人は、Part1を見てね
B: 唐突なダイマ乙
A: つまり、今ここまで来たね。あとは第3項だよ
\( C_\nu^{n+1}(\alpha) = \underbrace{C_\nu^n(\alpha)}_{\{ 0 \}} \cup \underbrace{\{\gamma | P(\gamma) \subseteq C_\nu^n(\alpha)\}}_{\{ 0 \}} \cup \{\psi_\mu(\xi) | \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \wedge \xi \in C_\mu(\xi) \wedge \mu \leq \omega\} \)
B: 第3項がわかれば\( \psi_0(1) \)の値もわかるのぜ?
A: いや、それはまだ早いよ。今は\( C_0^1(1) \)を求めているだけだよ
B: わかったぜ
A: ところで魔理沙、\( \alpha = 0 \)のときは第3項はどうなったか覚えてる?
B: 覚えてないからPart1を見直してきたんだぜ。空集合になったんだぜ
A: そうだね。なんで空集合になったかわかる?
B: \( \xi \in \alpha \)を満たす\( \xi \)が存在しなかったんだぜ
A: でも今は、\( \alpha = 1 \)だね。ということは?
B: \( \xi \in \alpha \)を満たす\( \xi \)として、\( \xi = 0 \)が取れるんだぜ
A: そうだね。\( 1 = \{ 0 \} \)だから、\( \xi = 0 \)がこの条件を満たすね
B: ちょっと待つんだぜ
A: 何? 魔理沙
B: たしかに\( \xi = 0 \)は\( \xi \in \alpha \)を満たすけど、元々の条件は\( \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \)なんだぜ。\( \xi = 0 \)はこの条件も満たすのぜ?
A: そうだね。じゃあこの\( \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \)を実際に計算して、\( 0 \)がこの条件を本当に満たすか確認してみよう。
B: \( \alpha = 1 = \{ 0 \}, C_\nu^n(\alpha) = C_0^0(1) = \{ 0 \} \)なんだぜ
A: つまり、\( \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) = \{ 0 \} \cap \{ 0 \} = \{ 0 \} \)だね
B: たしかに\( \xi = 0 \)は\( \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \)を満たすんだぜ
A: 条件はまだあと2つあるから、それも見ていこうね
B: 次の条件は何だぜ?
A: 次の条件は...と行きたいところだけど、説明の都合上3つ目を先に見ることにするね。
B: おおメタいメタい
\( \mu \leq \omega \)
B: \( \omega \)はわかるけど、\( \mu \)って何なんだぜ?
A: \( \mu \)は第3項の中でしか使わない順序数だよ。プログラミングをしたことのある人には、ローカル変数というとわかりやすいかもしれないよ。
B: \( \mu \leq \omega \)ということは、\( \mu \)は\( 0, 1, 2, \cdots, \omega \)のどれかなんだぜ
A: そうだね。この条件の説明はこれだけで、これはどのワールドのどのステージでも変わらないよ
B: たしかに、\( \nu \)とか\( \alpha \)がどこにも出てきてないんだぜ
A: だから、\( \mu \)は\( \mu \leq \omega \)を満たす順序数、と思ってもいいよ
B: そういうことにしておくぜ
A: じゃあ、次は先延ばしにした2つ目の条件だね
B: これなんだぜ
\( \xi \in C_\mu(\xi) \)
A: 1つ目の条件を満たすのが\( \xi = 0 \)しかないから、\( \xi = 0 \)だけ調べればいいね
B: \( \mu \)はどうするんだぜ?
A: 今のところ\( \mu \leq \omega \)しか条件がないから、\( 0 \)から\( \omega \)まで全部調べるしかないね
B: そんなことできるんだぜ?
A: そのためにPart2で先にステージ\( 0 \)を全部クリアしておいたよ。最後のほうで、\( C_k(0) = \Omega_k \)を求めたね
B: そうだったんだぜ
A: \( \mu \)がどんな順序数でも\( \Omega_{\mu} \)は必ず\( 0 \)より大きいから、\( 0 \in C_\mu(0) = \Omega_{\mu} \)は必ず成り立つよ
B: つまり、\( \mu \)は何でもいいんだぜ...あれ?
A: どうした? 魔理沙
B: 今求めてるのって、何の条件なんだぜ? 3つの条件を満たす\( \xi \)を求めてた気がするのに、いつの間にか\( \mu \)の条件にすり替わっているんだぜ
A: 両方だよ
B: どういうことだぜ?
A: \( (\xi, \mu) \)という組に対する条件を考えているよ。\( \xi = 0 \)で、\( \mu \)は\( \omega \)以下なら何でもいいから、条件を満たす組を集合で書くと
\( \{ (\xi, \mu) \mid \xi = 0 , \mu \leq \omega \} \)
A: こうなるね
B: わかったぜ。それで、その後はどうなるんだぜ?
A: 条件が出そろったから、今度は\( \mid \)の左側を見るよ。この条件を満たす各\( (\xi, \mu) \)に対して、\( \psi_{\mu}(\xi) \)を考えるよ
B: \( \xi = 0 \)だから、\( \psi_{\mu}(0) \)になるんだぜ
A: そうだね。そして、\( \omega \)以下の\( \mu \)に対する\( \psi_{\mu}(0) \)は、前回求めたね
B: \( \Omega_{\mu} \)だったんだぜ
A: \( \omega \)以下の\( \mu \)に対して、\( \psi_{\mu}(0) \)が全部第3項に入るから、第3項はこうなるね
\( \{ 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \)
B: 第3項が求まったんだぜ
A: 今までのことをまとめると、こうなるよ
\( C_\nu^{n+1}(\alpha) = \underbrace{C_\nu^n(\alpha)}_{\{ 0 \}} \cup \underbrace{\{\gamma | P(\gamma) \subseteq C_\nu^n(\alpha)\}}_{\{ 0 \}} \cup \underbrace{\{\psi_\mu(\xi) | \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \wedge \xi \in C_\mu(\xi) \wedge \mu \leq \omega\}}_{\{ 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \}} \)
B: あとはこれらの和集合をとればいいんだぜ
A: そうだね。するとこうなるよ
\( \{ 0 \} \cup \{ 0 \} \cup \{ 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} = \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \)
B: 最初に見た\( C_0^1(1) \)と同じになったんだぜ
A: これで、定義から\( C_0^1(1) \)を求めたことになるよ
B: でもまだ\( \psi_0(1) \)の計算はこれで終わりじゃないんだぜ?
A: そうだよ。まだ、\( C_0^1(1) \)を求めただけだよ
B: 先が長そうなんだぜ
A: 大丈夫。もうたぶん動画時間の半分を過ぎてるよ
B: ならよかったんだぜ
A: さて、時間を進めて次は\( C_0^2(2) \)がどうなるか見てみよう
\( C_0^2(1) = \{ \Omega_{\omega} \alpha_{\omega} + \Omega_{n} \alpha_{n} + \cdots + \Omega_2 \alpha_2 + \Omega_1 \alpha_1 + \alpha_0 \mid n, \alpha_{\omega}, \alpha_n, \cdots, \alpha_2, \alpha_1, \alpha_0 < \omega \} \)
B: 何かよくわからないことになったぜ
A: じゃあ、また定義から見てみようか
\( C_\nu^{n+1}(\alpha) = C_\nu^n(\alpha) \cup \{\gamma | P(\gamma) \subseteq C_\nu^n(\alpha)\} \cup \{\psi_\mu(\xi) | \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \wedge \xi \in C_\mu(\xi) \wedge \mu < \omega\} \)
A: \( \nu = 0, n = 1, \alpha = 0 \)だね。第1項は\( C_0^1(0) \)だから、こうなるね
\( C_\nu^{n+1}(\alpha) = \underbrace{C_\nu^n(\alpha)}_{\{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \}} \cup \{\gamma | P(\gamma) \subseteq C_\nu^n(\alpha)\} \cup \{\psi_\mu(\xi) | \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \wedge \xi \in C_\mu(\xi) \wedge \mu < \omega\} \)
A: 先に第3項を見るよ。\( \xi \in \alpha \)の条件があるから、この部分は\( C_0^1(0) \)の時と変わらないよ
B: \( C_\nu^n(\alpha) \)が変わったのに、全体としては変わらないのぜ?
A: \( \xi \in \alpha \)を満たす\( \xi \)は\( \xi = 0 \)だけで、これは前の時も\( C_\nu^n(\alpha) \)に入っていたから、結局変わらないよ
B: \( \xi = 0 \)だから、残りの条件も前と変わらないんだぜ
A: そうだね。つまり第3項は前と変化がないから、こうなるよ
\( C_\nu^{n+1}(\alpha) = \underbrace{C_\nu^n(\alpha)}_{\{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \}} \cup \{\gamma | P(\gamma) \subseteq C_\nu^n(\alpha)\} \cup \underbrace{\{\psi_\mu(\xi) | \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \wedge \xi \in C_\mu(\xi) \wedge \mu < \omega\}}_{\{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \}} \)
B: あとは第2項なんだぜ
A: この第2項が今回の主役だよ。第2項では、\( P(\gamma) \)が\( C_0^1(0) = \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \)の部分集合になるものを全部集めているよ
B: \( P(\gamma) \)は\( \gamma \)を足し算の形で表した時の各項だったんだぜ
A: そうだね。つまり、足し算の形で表した時に\( \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \)だけで表せるものになるよ
B: \( 1 \)が入ってるから、\( 1+1+1+\cdots \)でどんな順序数も表せるんじゃないのぜ?
A: 有限和だけだよ。例えば、\( \omega \)は足し算の形で表しても\( \omega \)だね
B: そうだったぜ。つまり、\( \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \)を有限個組み合わせて作れる順序数ならいいのかぜ?
A: そうだよ。逆に、そういう順序数なら必ずそれらの足し算で表せるよ
B: ということは、自然数は全部入るのぜ?
A: そうだね。集合で表すと、第2項はこうなるよ
\( \{ \Omega_{\omega} \alpha_{\omega} + \Omega_{n} \alpha_{n} + \cdots + \Omega_2 \alpha_2 + \Omega_1 \alpha_1 + \alpha_0 \mid n, \alpha_{\omega}, \alpha_n, \cdots, \alpha_2, \alpha_1, \alpha_0 < \omega \} \)
B: \( C_0^2(1) \)と同じなんだぜ
A: 結果的にはそうなるね。でも、まだもう少し早いよ
B: まだ何かあるんだぜ?
A: 3つの集合の和集合を取るよ
\( \begin{align} & \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \\ &\cup \{ \Omega_{\omega} \alpha_{\omega} + \Omega_{n} \alpha_{n} + \cdots + \Omega_2 \alpha_2 + \Omega_1 \alpha_1 + \alpha_0 \mid n, \alpha_{\omega}, \alpha_n, \cdots, \alpha_2, \alpha_1, \alpha_0 < \omega \} \\ &\cup \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \\ &= \{ \Omega_{\omega} \alpha_{\omega} + \Omega_{n} \alpha_{n} + \cdots + \Omega_2 \alpha_2 + \Omega_1 \alpha_1 + \alpha_0 \mid n, \alpha_{\omega}, \alpha_n, \cdots, \alpha_2, \alpha_1, \alpha_0 < \omega \} \end{align} \)
A: これで、\( C_0^2(1) \)が求まったね
B: 結局第2項だけ残ったんだぜ
A: 第1項と第3項の\( 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \)はそれ自身がそれぞれ\( 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega}\)の1個だけの和として表されるから、第1項も第3項も第2項に含まれてしまうんだぜ
B: 次はどうするんだぜ? \( C_0^3(1) \)なのぜ?
A: そうだね。じゃあ時間を進めてみよう
\( C_0^3(1) = \{ \Omega_{\omega} \alpha_{\omega} + \Omega_{n} \alpha_{n} + \cdots + \Omega_2 \alpha_2 + \Omega_1 \alpha_1 + \alpha_0 \mid n, \alpha_{\omega}, \alpha_n, \cdots, \alpha_2, \alpha_1, \alpha_0 < \omega \} \)
B: \( C_0^2(1) \)と同じなんだぜ
A: 第1項は\( C_0^2(1) \)で、第3項は\( \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \)だから、第2項だけ考えればいいね
B: 第1項と第3項はもうおなじみなんだぜ
A: \( C_0^2(1) \)は、\( 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \)の有限和だったね。ということは、今回の第2項は\( 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \)の有限和の有限和になるよ
B: 有限和の有限和は、結局有限和になるんだぜ
A: そうだね。有限を何個足しても有限にしかならないからね。
B: ということは、\( 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \)の有限和の有限和は\( 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \)の有限和、つまり\( C_0^2(1) \)になるのぜ?
A: そうだよ
B: わかったぜ。\( C_0^3(1) \)は、\( C_0^2(1) \)と\( \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \)と\( C_0^2(1) \)の和集合だから、こうなるんだぜ
\( C_0^3(1) = C_0^2(1) \cup \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \cup C_0^2(1) = C_0^2(1) \)
A: そうなるね。\( \psi_0(1) \)まであと少しだよ。
\( C_0^4(1) = \{ \Omega_{\omega} \alpha_{\omega} + \Omega_{n} \alpha_{n} + \cdots + \Omega_2 \alpha_2 + \Omega_1 \alpha_1 + \alpha_0 \mid n, \alpha_{\omega}, \alpha_n, \cdots, \alpha_2, \alpha_1, \alpha_0 < \omega \} \)
\( C_0^5(1) = \{ \Omega_{\omega} \alpha_{\omega} + \Omega_{n} \alpha_{n} + \cdots + \Omega_2 \alpha_2 + \Omega_1 \alpha_1 + \alpha_0 \mid n, \alpha_{\omega}, \alpha_n, \cdots, \alpha_2, \alpha_1, \alpha_0 < \omega \} \)
\( \vdots \)
\( C_0(1) = \{ \Omega_{\omega} \alpha_{\omega} + \Omega_{n} \alpha_{n} + \cdots + \Omega_2 \alpha_2 + \Omega_1 \alpha_1 + \alpha_0 \mid n, \alpha_{\omega}, \alpha_n, \cdots, \alpha_2, \alpha_1, \alpha_0 < \omega \} \)
B: \( C_0^3(1) \)以降は何回やっても変わらないんだぜ
A: そうだね。これで\( C_0(1) \)が求まったから、\( \psi_0(1) \)が求まるよ
\( \psi_0(1) = \min\{\gamma | \gamma \not\in C_0(1)\} = \omega \)
B: \( \psi_0(1) = \omega \)なんだぜ
A: \( C_0(1) \)にはいろいろ入っているけど、「\( C_0(1) \)に入っていない最小の順序数」は\( \omega \)だね
B: \( \Omega \)がどうとかあんまり関係なかったんだぜ
A: 今はそうだけど、そのうち必要になってくるよ
B: わかったぜ
A: じゃあ、\( \psi_0(1) \)が求まったから、今日の動画はここで終わりにしようか。動画を最後まで見てくれてありがとう。高評価をよろしくね
B: チャンネル登録もよろしくだぜ
A: 次回予告。ステージ\( 2 \)に突入し、そこで使われる集合はさらに複雑に。中の人は果たして編集を終わらせることができるのか
A: 次回「多項式」おたのしみに