(メタ的に言うと、これはBuchholz's ψの解説記事の続きです。)
(背景は白一色で、画面には黒い髪と黄色い髪の生首[要出典]饅頭?がそれぞれ右下と左下に映っている。以下それぞれの生首をA,Bとする。黒髪であるにもかかわらずAの字幕は赤で書かれている)
A: さて、今日もゆっくり実況やっていきましょう
B: 実況するのは
A: ゆっくり霊夢と
B: ゆっくり魔理沙だぜ
B: それで、今回は何を実況するんだぜ?
A: そこは、「それで、前回は何を実況したんだぜ?」でしょ
B: なんでなんだぜ? パート1は毎回これを言ってるんだぜ
A: これはパート1じゃないよ。パート4だよ
B: パート3の記憶がないんだぜ。いつ投稿したんだぜ?
A: 2019年12月5日(字幕は画面中央に大きく)
B: 半年も前なんだぜ
A: 投稿が遅れて、すみませんでしたああああああ
B: すみませんでしたああああああ
B: それで結局、前回は何を実況したんだぜ?
A: \( \psi_0(1) \)を求めたよ。\( \psi_0(1) = \omega \)だったね
B: 前回の動画を見てきたぜ。そんなことも言ってたぜ
A: 今回は、有限の\( n \)に対して\( \psi_0(n) \)を全部求めちゃおうか
B: 全部って、そんなことできるんだぜ?
A: できるよ。すうがくのちからってすげー
B: それじゃあ、ステージ\( 2 \)からなんだぜ
\( C_0^0(2) = \Omega_0 = 1 = \{ 0 \} \)
B: 最初は変わらないんだぜ
A: \( \nu \)しか使わないからね。ワールド\( 0 \)ではずっと\( \{ 0 \} \)だよ
B: それはありがたいんだぜ
A: 次を見てみよう
\( C_0^1(2) = \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \)
B: これもステージ\( 1 \)と変わらないんだぜ
A: 変わったのは\( \alpha \)だけだから、変わるとしたら\( \xi \in \alpha \cap C_{\nu}^n(\alpha) \)の部分だね。でも、\( C_0^0(2) = \{ 0 \} \)だから、\( \alpha \)が\( 1 \)になっても\( 2 \)になっても、\( \xi \in \alpha \cap C_{\nu}^n(\alpha) \)を満たす\( \xi \)は\( 0 \)しかないよ。つまり、\( C_0^1(2) \)全体も変わらないことになるね。
B: ということは\( \psi_0(2) \)も\( \omega \)なのぜ? 面白くないんだぜ
A: そんなことないよ。次で変わるよ
\( C_0^1(2) = \{ 0, 1, 2, \cdots, \Omega_1, \Omega_1 2 + 1, \Omega_2, \Omega_{72} 91 + \Omega_{55}, \Omega_{\omega}, \omega, \Omega_1 \omega, \Omega_2 \omega, \cdots, \Omega_{\omega} \omega \text{ etc.} \} \)
B: ついにetcで省略し始めたんだぜ。でも、ぱっと見ステージ\( 1 \)のときと同じに見えるんだぜ
A: 微妙に違うよ。今のところ見てほしいのは可算順序数のところだけだから、\( \Omega \)との共通部分がどうなったか見てみようね
B: \( \Omega \)は最小の非可算順序数だから、可算順序数全体の集合になるわけなんだぜ
\( C_0^1(2) \cap \Omega = \{ 0, 1, 2, \cdots, \omega \} \)
B: ステージ\( 1 \)のときには、\( \omega \)は入ってなかったんだぜ
A: そうだね。この\( \omega \)がどこから来たか、定義を調べてみよう。ここからは可算順序数だけを考えるけど、実際には非可算順序数も入ってくることに注意してね
B: 定義を持ってきたぜ
(定義が画面を覆いつくす)
\( C_\nu^{n+1}(\alpha) = C_\nu^n(\alpha) \cup \{\gamma | P(\gamma) \subseteq C_\nu^n(\alpha)\} \cup \{\psi_\mu(\xi) | \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \wedge \xi \in C_\mu(\xi) \wedge \mu \leq \omega\} \)
A: ここでは可算順序数だけを見たいから、こうするよ。\( (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\)に注意してね
\( \small{C_\nu^{n+1}(\alpha) \cap \Omega = (C_\nu^n(\alpha) \cap \Omega) \cup (\{\gamma | P(\gamma) \subseteq C_\nu^n(\alpha)\} \cap \Omega) \cup (\{\psi_\mu(\xi) | \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \wedge \xi \in C_\mu(\xi) \wedge \mu \leq \omega\} \cap \Omega)} \)
A: そのままだと画面からはみ出したから、少し文字サイズを小さくしたよ
B: おおメタいメタい
A: まず、第1項はそのままだね
B: 可算順序数だけだから、\( 0 \)と\( 1 \)なんだぜ
A: 第2項も、今までと同じように計算できるよ。非可算順序数が1つでも入ると全部足した時に非可算になるから、可算順序数だけで考えればいいね
B: \( 0, 1, 2, \cdots \)は作れるけど、\( \omega \)は作れないんだぜ
A: それでいいよ。\( \omega \)は、第3項から出てくるよ
B: じゃあさっそく、第3項を計算してみるんだぜ
A: 第3項には条件が3つあるから、順番に見ていこうね
B: 最初は\( \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \)なんだぜ。\( \alpha = \{ 0, 1 \} \)だから、\( 0 \)と\( 1 \)の両方が条件を満たすんだぜ
A: 次は2つ目といきたいけど、やっぱり3つ目から見るよ
B: \( \mu < \omega \)だから、\( \mu = 1, 2, 3, \cdots \)なんだぜ
A: いいね。最後に2つ目の条件を見てみよう
B: \( \xi = 0 \)のときは前のパートでも調べたように\( \mu \)は何でもいいんだぜ。でも、\( \xi = 1 \)のときはどうするんだぜ? \( C_0(1) \)は求めたけど、\( C_1(1) \)とかはまだ求めてないんだぜ
A: 結論から言うと、\( \mu \)は\( 0 \)から\( \omega \)まで全部条件を満たすよ。しばらくの間は、\( \mu \)は\( 0 \)から\( \omega \)までの任意の順序数と考えていいよ
B: じゃあ、そういうことにしておくんだぜ。ということは、第3項はこうなるんだぜ?
\( \{ \psi_0(0), \psi_1(0), \cdots, \psi_{\omega}(0), \psi_0(1), \psi_1(1), \cdots, \psi_{\omega}(1)\} \)
A: そうだね
B: でも、\( \psi_1(1) \)は何だぜ? まだ求めてないんだぜ
A: ここでは省略するけど、\( \psi \)の添え字が\( 1 \)以上なのは非可算順序数だよ。またこれもどこかで説明するね
B: わかったぜ。ということは、第3項のうち可算順序数なのは、\( \psi_0(0) = 1 \)と\( \psi_0(1) = \omega \)だけなんだぜ
A: そうだね。つまり、全部合わせるとこうなるよ
\( \small{C_\nu^{n+1}(\alpha) \cap \Omega = \underbrace{(C_\nu^n(\alpha) \cap \Omega)}_{\{ 0, 1 \}} \cup \underbrace{(\{\gamma | P(\gamma) \subseteq C_\nu^n(\alpha)\} \cap \Omega)}_{\{ 0, 1, 2, \cdots\}} \cup \underbrace{(\{\psi_\mu(\xi) | \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \wedge \xi \in C_\mu(\xi) \wedge \mu \leq \omega\} \cap \Omega)}_{\{ 1, \omega \}}} \)
B: これらの和集合を取ると、\( \{ 0, 1, 2, \cdots, \omega \} \)になるんだぜ
A: そうだね
B: だったら、\( \psi_0(2) \)は、この中にない最小の順序数だから、\( \omega + 1 \)なのぜ?
A: いや、もう少し続くよ
\( C_0^2(2) \cap \Omega = \{ 0, 1, 2, \cdots, \omega, \omega+1, \cdots, \omega2, \cdots, \omega3, \cdots \cdots \} \)
B: 可算順序数が増えたけど、何が起こったんだぜ１
A: これは第2項から来た順序数だよ。第1項と第3項はもう変わらないけど、\( \omega \)が入ったから第2項に\( \omega \)と\( 1 \)の有限和で表される順序数が増えたよ
B: 何か順序数が入ったら、その足し算も次のステップで入るということなんだぜ?
A: そうだね。もう少し時間を進めて、どうなるか見てみよう
\( C_0^3(2) \cap \Omega = \{ 0, 1, 2, \cdots, \omega, \omega+1, \cdots, \omega2, \cdots, \omega3, \cdots \cdots \} \)
\( C_0^4(2) \cap \Omega = \{ 0, 1, 2, \cdots, \omega, \omega+1, \cdots, \omega2, \cdots, \omega3, \cdots \cdots \} \)
\( \vdots \)
\( C_0(2) \cap \Omega = \{ 0, 1, 2, \cdots, \omega, \omega+1, \cdots, \omega2, \cdots, \omega3, \cdots \cdots \} \)
B: もう変わらなくなったんだぜ
A: 第1項は変わらないし、第2項は集合が足し算でもう閉じているから集合全体になるし、第3項は\( \xi \in \alpha \cap C_\nu^n(\alpha) \)のせいで増えないから、これ以上は変わらないね
B: ということは、もう\( \psi_0(2) \)が計算できるんだぜ
A: そうだね
\( \psi_0(2) = \min\{\gamma | \gamma \not\in C_0(2)\} = \omega^2 \)
B: \( \omega^2 \)なんだぜ
A: 次はこのまま\( \psi_0(3) \)を計算するよ。基本的な流れはもう3回やったから、ざっくりいくね
\( C_0^0(3) = \Omega_0 = 1 = \{ 0 \} \)
\( C_0^1(3) = \{ 0, 1, \Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_{\omega} \} \)
\( C_0^1(3) \cap \Omega = \{ 0, 1 \} \)
\( C_0^2(3) \cap \Omega = \{ 0, 1, 2, \cdots, \omega \} \)
B: ここまでは同じなんだぜ
A: そうだね。ワールド\( 0 \)ではここは変わらないよ。次で少し変化があるよ
\( C_0^3(3) \cap \Omega = \{ 0, 1, 2, \cdots, \omega+1, \cdots, \omega2, \cdots, \omega^2 \} \)
B: \( \omega^2 \)が入ったんだぜ
A: 3つ目の条件だよ。\( \alpha = 3 = \{ 0, 1, 2 \} \)だから、\( \psi_0(2) \)が使えるんだね
B: この後は、\( \omega^2 \)以下の足し算で作れる順序数が全部ここに入って、終了なんだぜ
\( C_0^4(3) \cap \Omega = \{ 0, 1, 2, \cdots, \omega+1, \cdots, \omega2, \cdots, \omega^2, \cdots, \omega^2+\omega, \cdots, \omega^2 2 \cdots \} \)
B: この中にない最小の順序数は、\( \omega^3 \)なんだぜ
A: そうだね。これ以上集合は変わらないから、\( \psi_0(3) = \omega^3 \)だね
\( \psi_0(3) = \omega^3 \)
B: 大体わかった気がするぜ。\( \psi(\alpha+1) \)は、\( \psi(\alpha) \)の\( \omega \)倍になってるんだぜ
A: そうとは限らないけど、それはまた後で話そうね。今は残りを全部一気にやってしまおう
B: いちいち追いかけるのはめんどくさいんだぜ
(AとBの代わりに、それらをそれぞれ頭部に持つ2体の人型実体が表示される)
人型実体A: そうだね。オートプレイにして、私たちは待つだけにしようか。待つと言っても、ちゃんと有限の時間で終わるようにしてあるから、安心してね
人型実体B: わかったぜ。ところで、なんで私たちの立ち絵が出てるんだぜ?
人型実体A: この動画で、待つと言えば何かな?
人型実体B: おいばかやめろそれは別の実況者のネタだしここでやることじゃないんだぜ
人型実体A: そうだね████ダンスだね(人型実体Bの直前の発言を遮るように)(字幕は画面上部に大きく)
(\( 4 \)以上の自然数に対する\( \psi_0(n) \)の計算過程を背景に、リコーダーとマリンバののんびりした感じの曲に合わせて人型実体が踊る映像が流れる。人型実体Aは伊る動作、人型実体Bは佐う動作を基調とした踊りを踊っている。曲にはAの声で「████ ████ █████」「████ ████ █████」という歌詞が付けられている。)
(踊る映像が終了するとともに、人型実体は消え、生首が再び現れる)
A: しばらくたって、どうなったか見てみよう
\( \psi_0(4) = \omega^4 \)
\( \psi_0(5) = \omega^5 \)
\( \psi_0(6) = \omega^6 \)
\( \vdots \)
B: \( \psi_0(\alpha) = \omega^{\alpha} \)が成り立っているんだぜ
A: \( \alpha \)が自然数の時はそうだね。でも、それが成り立たなくなる時もあるよ。後でその話もしようね
B: わかったんだぜ
A: 有限の\( n \)に対して\( \psi_0(n) \)が全部求まったから、今日の目標は達成できたね。動画もここで終わりだよ。動画を最後まで見てくれてありがとう。高評価をよろしくね
B: チャンネル登録もよろしくだぜ
A: 次回予告。ステージ数は無限に突入し、表記はさらに複雑に。中の人は果たして次回を投稿することができるのか
A: 次回「カントール標準形」おたのしみに