ダウングレード現象
本来は非常に大きい基数であるものが、ある範囲においてそれより小さい基数に見える現象のことをダウングレード現象と命名する。
- BMSの(1,1,1)はΩ_ωに対応するが、ユーザーブログ:Hexirp/2023-10-15_のメモ#16ではもっと大きい基数に対応するのではないかと指摘されている。
- 2-シフトψでは、ψ_0(ψ_0(ψ_1(0))+ψ_0(ψ_1(0)))はUNOCFのψ(Ω*2)、ψ_0(ψ_0(ψ_1(ψ_1(0)))+ψ_0(ψ_1(ψ_1(0))))はUNOCFのψ(I*2)に対応するが、ψ_0(ψ_0(ψ_1(ψ_1(ψ_1(0))))+ψ_0(ψ_1(ψ_1(ψ_1(0)))))はUNOCFのψ(I(2,0,0))に対応する。ψ(何か*2)の形でないため、その「何か」がダウングレードしてそう見えている可能性がある。
急増加関数を非可算に拡張することは不可能か?
この記事は未完成です。とくに、問題も未解決です。
集合\( S \)を\( \{ x \in \mathrm{Ord} \mid x \leq \Omega \} \)とする。\( \mathbb{N} \to \mathbb{N} \)の写像の族\( \{ f_{\alpha} \}_{\alpha \in S} \)であって、\( \forall \alpha, \beta \in S (\alpha < \beta \Rightarrow f_{\alpha} \prec f_{\beta}) \)が成り立つものは存在するか? ただし、\( \prec \)は支配とする。
答えがNOであることを背理法で証明する。
条件を満たす関数の族が存在すると仮定しこれを1つ仮定する。\( \Omega \in S \)なので、その中に\( f_{\Omega} \)が存在することに注意せよ。
\( n \in \mathbb{N} \)ごとに、集合\( S_n \)を\( \{ x \in S \mid f_x(n) < f_{\Omega}(n) \} \)とする。
\( \beta = \limsup_{n \in \mathbb{N}} (\sup S_n) \)とする。
共終数の性質から\( \exists n \in \mathbb{N} \sup S_n = \Omega \)である。
・・・ここからどうするんだ？
横ネストについて考える
私は何を書いたか理解していません。
- 1 第-1章 はじまり
- 2 第0章 0段階横ネスト
- 3 第1章 1段階横ネスト
- 4 第2章 2段階横ネスト
- 5 第3章 3段階横ネスト
- 6 第n章 n段階横ネスト
- 7 第ω章 ω段階横ネスト
加法で閉じている順序数、つまりAPから始めよう
これを列挙する関数をfと書く
つまり、f(α)=ω^αである
これだけでは全く面白くない
さて、fをこのように拡張して、2変数にしよう
f(β,α)=γ→f(γ)のβ番目の不動点のα個先のAP
難しいことはない
単にf(β,α)=ε_β×ω^αというだけだ
〇関数と同じである
限界はζ₀であり、SGHに入れたらペンテーションにしかならない
そこで、これをわんだほいにしよう
ε₀よりも、ζ₀よりも、ずっとずっとずーーーーーっと大きい順序数Ωを用意する
これを使って、ψ(Ωβ+α)=f(β,α)とする
ということは、
ψ(Ω)=ψ(ψ(ψ(...)))
ψ(Ω+Ω)=ψ(Ω+ψ(Ω+ψ(Ω+...)))
ψ(Ω+Ω+Ω)=ψ(Ω+Ω+ψ(Ω+Ω+ψ(Ω+Ω+...)))
である
Ωは単体で展開されず、その外側のψから全部をネストする
なぜなら+Ωの正体はεであり、ε全体が指数タワーで重なるからである
さて、ψ(Ω×Ω)はなんだろう?
ψ(Ω+Ω)はα→ψ(Ω+α)の最小の不動点である
それと同じように、α→ψ(Ω×α)の最小の不動点となってくれると都合がよい
これはζ₀である
解析を続けよう
- ψ(Ω^3)=η₀
- ψ(Ω^ω)=φ(ω,0)
- ψ(Ω^Ω)=φ(1,0,0)
- ψ(Ω^Ω+Ω^Ω)=φ(1,0,1)
- ψ(Ω^(Ω+1))=φ(1,1,0)
- ψ(Ω^(Ω+Ω))=φ(2,0,0)
- ψ(Ω^Ω^2)=φ(1,0,0,0)
- ψ(Ω^Ω^ω)=SVO
おっと! ヴェブレンのφを使い切ってしまった
Ωの…
お祓い棒の分析
現在の進捗: 2涅槃寂静
ただし涅槃寂静を10^-24と定義する。
ユーザーブログ:P進大好きbot/東方巨大数５投稿用を分析する。
- 1 N(s)=1
- 2 N(s)=2
- 2.1 \( {\textrm{☯}}_{[0]} \)
- 2.1.1 1.
- 2.1.2 2.
- 2.1.3 3.
- 2.1.4 4.
- 2.1.5 5.
- 2.1.6 6.
- 2.1.7 7.
- 2.2 大小比較
- 2.2.1 3.3.2.1
- 2.1 \( {\textrm{☯}}_{[0]} \)
N(s)=1であるs∈Tは\( 0 \)と\( \textrm{☯} \)しかない。証明は自明なので読者への演習問題とする。
これらはともに標準形である。
\( 0 \)は最小元、\( \textrm{☯} \)は最大元であるから、ここまでの元を昇順に並べると以下のようになる。
- \( 0 \)
- \( \textrm{☯} \)
N(s)=2であるs∈Tは4つある。
- \( 0_{[0]} \)
- \( 0_{[\textrm{☯}]} \)
- \( {\textrm{☯}}_{[0]} \)
- \( {\textrm{☯}}_{[\textrm{☯}]} \)
上2つが標準形でないことは標準形の定義6.から即座に従う。残り2つを調べる。
\( \textrm{☯} \)が標準形であることから即座に従う。
\( 0 \)が標準形であることから即座に従う。
\( \textrm{☯} \triangleleft {\textrm{☯}}_{[0]} \) かどうかを調べればよい。
\( \triangleleft \)の定義を見に行く。1.2.から即座に真であることが従う。
\( 0 \triangleleft {\textrm{☯}}_{[0]} \) かどうかを調べればよい。
\( \triangleleft \)の定義を見に行く。1.2.から即座に真であることが従う。
\(…
東方巨大数5ではない
Nを0以上の整数の集合とする。
- 1 表記
- 2 基本列
- 3 急増加関数
- 4 巨大数
表記の集合Tを以下で定義する。
- 0∈Tである。
- a∈T, b∈PTのとき、a+b∈Tである。
- n∈N, a_1,...,a_n∈Tのとき、中(a_n,...,a_1)∈Tである。
- n=0のとき、中()∈Tである。
Tの部分集合PT,ZT,UT,ST,LTを以下で定義する。PはPrinciple、ZはZero、UはUnity、SはSuccessor、LはLimitを意味する。 各項目は、その全体を「任意のx∈Tに対し」で量化されているものとする。
- x=0とx∈ZTは同値である。
- あるn∈Nとa_1,...,a_n∈ZTが存在し、x=中(a_n,...,a_1)であることと、x∈UTは同値である。
- あるn∈Nとa_1,...,a_n∈Tが存在し、x=中(a_n,...,a_1)かつ￢(x∈UT)であることと、x∈PTは同値である。
- (x∈UTまたはあるa∈Tとb∈UTが存在しx=a+b)とx∈STは同値である。
- ￢(x∈ZT∨x∈ST)とx∈LTは同値である。
写像[]: T×N->T, (a,n)|->a[n]を以下で定義する。
- a∈ZTのとき、a[n]=0とする。
- a∈UTのとき、a[n]=0とする。
- ￢(a∈ZT∨a∈UT)とする。
- あるb∈T, c∈PTが存在してa=b+cと書けるとき
- もしc[n]∈ZTなら、a[n]=bとする。
- そうでなければ、a[n]=b+c[n]とする。
- そうでないとき、あるm∈N, a_1,...,a_m∈Tが存在してa=中(a_m,...,a_1)と書ける。
- a_n,...,a_1の中にはZTに属さないものが存在するので、iを(∀j(j=1とする。
- qを(∀j(1=1とする。
- a[n]=b_nとする。
- そうでないくて、もし…
- あるb∈T, c∈PTが存在してa=b+cと書けるとき