まえがき[]
ふぃっしゅ数バージョン6の定義に致命的な不備を見つけたのでそれについて書きます。
どれくらい致命的かというと、ふぃっしゅ数バージョン\(6\)の強さが\(f_{\zeta_0+1}(63)\)から\(f_{\omega^{\varepsilon_\omega+\varepsilon_0+1}+1}(63)\)になります。
PS:違いそうです。今計算し直しています。
PS:\(m(2,2)(m(2,2)(m(2,1)))_{1_1}\)が\(f_{\omega^{\varepsilon_\omega+\varepsilon_1}}\)くらいの強さになるとこまでは分かったんですが、それ以降の解析がむずいです。というかどうせ修正されるんだから今のやつを解析しても意味ない気がします。あと寝不足がひどいのでもう解析はやめて仮眠を取ります。
不備[]
突然ですが、m(m,n)変換で\(f_{\varepsilon_\omega2}\)に相当する強さの関数は何でしょうか?
ある程度ふぃっしゅ数に詳しい皆さんはすぐに\(m(1,3)(m(1,2))(m(1,1))_2(m(1,3)(m(1,2))(m(1,1))_1)\)と考えると思います。
しかし、ふぃっしゅ数バージョン\(6\)の定義をよく見てみると、\(m(1,3)(m(1,2))(m(1,1))_2=m(1,1)_2=m(0,2)\)であることが分かります。
つまり、\(m(1,3)(m(1,2))(m(1,1))_2(m(1,3)(m(1,2))(m(1,1))_1)\)は\(f_{\varepsilon_\omega+1}\)の強さしか持たず、\(f_{\varepsilon_\omega2}\)になるには\(m(1,3)(m(1,2))(m(1,3)(m(1,2))(m(1,1)))_1\)まで計算を進めなくてはなりません。
このように最後まで計算していくと、ふぃっしゅ関数バージョン\(6\)の強さは\(f_{\omega^{\varepsilon_\omega+\varepsilon_0+1}}\)であり、ふぃっしゅ数バージョン\(6\)は\(f_{\omega^{\varepsilon_\omega+\varepsilon_0+1}+1}(63)\)で近似できることが分かります。
あとがき[]
今なんだかんだあって徹夜明けなので、私の方がミスってる可能性は十分にあります(もしそうだったとしたらごめんなさい)。
追記(修正案)[]
どう修正すればいいか考えてみたんですが、多分\(M[0,1]\)の元以外の要素も\(x\)が出てくるまで待ってから計算すれば良さそうです。
具体例を出すなら、
\begin{eqnarray*} {m(5,4)(f_{5,3})(f_{5,2})(f_{5,1})_3(f_{4,2})(f_{4,1})_2(f_{3,1})_6(f_{2,5})(f_{2,4})(f_{2,3})(f_{2,2})(f_{2,1})_1}_1(x)&=&{f_{5,3}^x(f_{5,2})(f_{5,1})_3(f_{4,2})(f_{4,1})_2(f_{3,1})_6(f_{2,5})(f_{2,4})(f_{2,3})(f_{2,2})(f_{2,1})_1}_1(x)\\ {m(6,2)(a)_3(f_{5,2})(f_{5,1})_4(f_{4,3})(f_{4,2})(f_{4,1})_2(f_{3,1})_3(f_{2,2})(f_{2,1})_1}_3(f_{0,2})(f_{0,1})(x)&=&{a_{\max(x,3)}(a_{\max(x,3)-1})\ldots(a_4)(a_3)(f_{5,2})(f_{5,1})_4(f_{4,3})(f_{4,2})(f_{4,1})_2(f_{3,1})_3(f_{2,2})(f_{2,1})_1}_3(f_{0,2})(f_{0,1})(x) \end{eqnarray*}
みたいな感じです。
再追記[]
この修正版ふぃっしゅ数バージョン\(6\)の定義を「ふぃっしゅ数バージョン\(5\)について」の「かみ砕いた定義」みたいな書き方で書くのはほぼ不可能というか、仮に書けたとしても逆にそっちの方が分かりにくくなってしまいそうなので、「ふぃっしゅ数バージョン\(6\)について」は書きません。この記事でその代わりとさせてください。
それと、「ふぃっしゅ数バージョン\(7\)について」は現在の自分の実力では相当難しそうなので無期限延期ということにさせてください。
再々追記[]
もう1個不備があるかもしれません。
これはふぃっしゅ関数バージョン\(6\)に\(3\)を代入したものの計算です。
\begin{eqnarray*} &&F_6\left(3\right)\\ &=&{ { {m(3,2)\left(m(3,1)\right)}_{1}}_{1}}_{1}\left(3\right)\\ &=&{ { {m(3,1)}_{3}\left({m(3,1)}_{2}\right)\left({m(3,1)}_{1}\right)}_{1}}_{1}\left(3\right)\\ &=&{ { m(2,3)\left({m(3,1)}_{2}\right)\left({m(3,1)}_{1}\right)}_{1}}_{1}\left(3\right)\\ &=&{ { m(2,3)\left(m(2,2)\right)\left({m(3,1)}_{1}\right)}_{1}}_{1}\left(3\right)\\ &=&{ { m(2,3)\left(m(2,2)\right)\left(m(2,1)\right)}_{1}}_{1}\left(3\right)\\ &=&{ { {m(2,2)}^{3}\left(m(2,1)\right)}_{1}}_{1}\left(3\right)\\ &=&{ {m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)\right)}_{1}}_{1}\left(3\right)\\ &=&{ {m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{3}\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{2}\right)\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{1}\right)}_{1}\left(3\right)\\ &=&{ {m(2,2)\left(m(2,1)\right)}_{3}\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{2}\right)\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{1}\right)}_{1}\left(3\right)\\ &=&{ {m(2,1)}_{3}\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{2}\right)\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{1}\right)}_{1}\left(3\right)\\ &=&{m(1,3)\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{2}\right)\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{1}\right)}_{1}\left(3\right)\\ &=&{ { {m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{2}}^{3}\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{1}\right)}_{1}\left(3\right)\\ &=&{ {m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{2}\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{2}\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{2}\left({m(2,2)\left(m(2,2)\left(m(2,1)\right)\right)}_{1}\right)\right)\right)}_{1}\left(3\right)\\ &\vdots& \end{eqnarray*}
\(9\)行目から\(12\)行目にかけてヤバそうな匂いがしますね。\(m(2,2)(m(2,2)(m(2,1)))_3\)が\(m(1,3)\)になってしまっています。
これでふぃっしゅ数バージョン\(6\)が致命的な壊れ方をするのかそれとも無傷で\(f_{\zeta_0+1}(63)\)に到達してくれるのかは分かりません。私としては多分後者なんじゃないかと思っていますが、万が一のこともあります。
ということで、定義内の\(\max(x,n)\)を\(x+n\)に置き換えることを提案します。
再々々追記[]
なんか前前前世みてぇだな
これは元々ふぃっしゅ数バージョン\(6\)の修正案として書いた記事ですが、
- ふぃっしゅ数バージョン\(6\)は現時点で既にwell-definedに定義されている
(頭痛が痛い)ので問題無い - ふぃっしゅ数が当初の想定と違う挙動をするのには前例(旧バード数を超える事を目的に作られた(旧)ふぃっしゅ数バージョン\(2\)は旧バード数よりも弱い)があるのでなおさら問題無い
- そもそも\(1\)年半経ってもこの定義が公式に採用される気配が無い
これらの理由から、この記事で書いた物は「あくまで俺が考えた非公式のふぃっしゅ数の亜種である」という事にし、呼び名については俺の過去記事を参考にして「ふぃっしゅ数バージョン\(6\)改」と呼ぶ事にします(これは追記で書いた修正案と再々追記で書いた提案を組み合わせた物です)。