まえがき[]
2002年10月1日、ふぃっしゅっしゅ氏によって巨大数探索スレッドにふぃっしゅ数バージョン2が投稿されました。しかし、これは現在のふぃっしゅ数バージョン2とは定義が微妙に違います。このブログ記事ではふぃっしゅ数バージョン\(2\)の当時の定義を暫定的に「旧ふぃっしゅ数バージョン\(2\)」と呼ぶことにします。
定義[]
旧ふぃっしゅ数バージョン\(2\)の定義を引用します。
47 名前：Fish ◆2GtW187g ：02/10/01 09:22
- OK, then, let us introduce the algorizm of making
- large function in the definition of Fish number.
- From now on, I will add version number to Fish
- number to avoid confusion. Let >>9 and >>15 be
- the Fish number version 1. I define Fish number
- version 2 by defining SS conversion as follows
- (rest of the definition is same as version 1)
- SS:[m,f(x),S]-->[n,g(x),S2]
- where S2=S^f(m)
- S2:[m,f(x)]-->[n,p(x)]
- S2^x:[m,f(x)]-->[q(x),g(x)]
(中略)
78 名前：Fish ◆2GtW187g ：02/10/04 06:21
- g(x) wa,
- x=1 no toki f(x) in S2 henkan wo 1 kai kurikaesita
- kannsuu ni x=1 wo dainyuu sita kazu
- x=2 no toki f(x) in S2 henkan wo 2 kai kurikaesita
- kannsuu ni x=2 wo dainyuu sita kazu
- :
- toitta kansuu desu.
- f(x) ni S2 henkan wo doredake kurikae sitemo,
- kono g(x) kansuu yorimo ookii kansuu wo tukuru
- koto wa dekimasen.
- Kakikata ga yoku nakatta kamo siremasen.
- Motto wakariyasui kakikataga attara osiete kudasai.
- Gutaiteki na keisan wa honnin mo amari yaritaku
- nai toiu...
- >>73
- SS..SS no S no kazu wo hensuu to suruto kansuuga
- dekimasune.
- Toriisogi siturei simasu.
かみ砕いた定義[]
- ここで定義するものは名前が同じでも文字の色が違えば別物である
- ペアとは非負整数と非負整数関数のペアのことである
- \(S\)変換とはペアからペアへの写像のことである
- 組とは非負整数と非負整数関数と\(S\)変換の組のことである
- 写像とは組から組への写像のことである
- ペア\(P\)と\(2\)以下の正整数\(n\)に対し\(P\)の\(n\)番目の要素を\(P_n\)と書く
- 組\(T\)と\(T\)の長さ以下の正整数\(n\)に対し\(T\)の\(n\)番目の要素を\(T_n\)と書く
\(S\)変換\(\textcolor{red}{S}\)を以下のように定義する。 \[\textcolor{red}{S}(P)=(g(\textcolor{red}{m}),g)\] ただし非負整数関数\(g\)は以下で与えられる。 \[g(x)=B(x,x)\] ただし\(2\)変数非負整数関数\(B\)は以下で与えられる。 \begin{eqnarray*} B(0,n)&=&f(n)\\ B(\textcolor{blue}{m}+1,0)&=&B(\textcolor{blue}{m},1)\\ B(\textcolor{blue}{m}+1,n+1)&=&B(\textcolor{blue}{m},B(\textcolor{blue}{m}+1,n)) \end{eqnarray*} ただし非負整数関数\(f\)は以下で与えられる。 \[f=P_2\] また非負整数\(\textcolor{red}{m}\)は以下で与えられる。 \[\textcolor{red}{m}=P_1\] 写像\(SS\)を以下のように定義する。 \[SS(T)=(n,g,S2)\] ただし非負整数\(n\)は以下で与えられる。 \[n=S2((m,f))_1\] ただし\(S\)変換\(S2\)は以下で与えられる。 \[S2=\textcolor{blue}{S}^{f(m)}\] ただし\(S\)変換\(\textcolor{blue}{S}\)は以下で与えられる。 \[\textcolor{blue}{S}=T_3\] また非負整数関数\(f\)は以下で与えられる。 \[f=T_2\] また非負整数\(m\)は以下で与えられる。 \[m=T_1\] また非負整数関数\(g\)は以下で与えられる。 \[g(x)=S2^x((m,f))_2(x)\] 非負整数関数\(f_0\)を以下のように定義する。 \[f_0(x)=x+1\] 非負整数\(\textcolor{red}{F_2}\)(旧ふぃっしゅ数バージョン\(2\))を以下のように定義する。 \[\textcolor{red}{F_2}=SS^{63}((3,f_0,\textcolor{red}{S}))_1\] 非負整数関数\(\textcolor{blue}{F_2}\)(旧ふぃっしゅ関数バージョン\(2\))を以下のように定義する。 \[\textcolor{blue}{F_2}=SS^{63}((3,f_0,\textcolor{red}{S}))_2\]
現在のふぃっしゅ数バージョン2のかみ砕いた定義[]
- ここで定義するものは名前が同じでも文字の色が違えば別物である
- ペアとは非負整数と非負整数関数のペアのことである
- 写像とはペアからペアへの写像のことである
- 変換とは非負整数関数から非負整数関数への写像のことである
- 組とは非負整数と非負整数関数と変換の組のことである
- 写像とは組から組への写像のことである
- ペア\(P\)と\(2\)以下の正整数\(n\)に対し\(P\)の\(n\)番目の要素を\(P_n\)と書く
- 組\(T\)と\(T\)の長さ以下の正整数\(n\)に対し\(T\)の\(n\)番目の要素を\(T_n\)と書く
写像\(\textcolor{red}{S}\)を以下のように定義する。 \[\textcolor{red}{S}(P)=(g(\textcolor{red}{m}),g)\] ただし非負整数関数\(g\)は以下で与えられる。 \[g(x)=B(x,x)\] ただし\(2\)変数非負整数関数\(B\)は以下で与えられる。 \begin{eqnarray*} B(0,n)&=&f(n)\\ B(\textcolor{blue}{m}+1,0)&=&B(\textcolor{blue}{m},1)\\ B(\textcolor{blue}{m}+1,n+1)&=&B(\textcolor{blue}{m},B(\textcolor{blue}{m}+1,n)) \end{eqnarray*} ただし非負整数関数\(f\)は以下で与えられる。 \[f=P_2\] また非負整数\(\textcolor{red}{m}\)は以下で与えられる。 \[\textcolor{red}{m}=P_1\] 変換\(\textcolor{blue}{S}\)を以下のように定義する。 \[\textcolor{blue}{S}(f)=g\] ただし非負整数関数\(g\)は以下で与えられる。
任意の非負整数\(n\)に対し\(\textcolor{red}{S}((n,f))_2\)は等しくなり、これを\(g\)とする
任意の変換\(\textcolor{green}{S}\)に対し変換\(\textcolor{green}{S}^*\)を以下のように定義する。 \[\textcolor{green}{S}^∗(f)=g\] ただし非負整数関数\(g\)は以下で与えられる。 \[g(x)=\textcolor{green}{S}^x(f)(x)\] 写像\(SS\)を以下のように定義する。 \[SS(T)=(\textcolor{green}{S}^{f(m)}(f)(m),{\textcolor{green}{S}^{f(m)}}^∗(f),\textcolor{green}{S}^{f(m)})\] ただし変換\(\textcolor{green}{S}\)は以下で与えられる。 \[\textcolor{green}{S}=T_3\] また非負整数関数\(f\)は以下で与えられる。 \[f=T_2\] また非負整数\(m\)は以下で与えられる。 \[m=T_1\] 非負整数\(m_0\)を以下のように定義する。 \[m_0=3\] 非負整数関数\(f_0\)を以下のように定義する。 \[f_0(x)=x+1\] 変換\(S_0\)を以下のように定義する。 \[S_0=\textcolor{blue}{S}\] 非負整数\(\textcolor{red}{F_2}\)(ふぃっしゅ数バージョン\(2\))を以下のように定義する。 \[\textcolor{red}{F_2}=SS^{63}((m_0,f_0,S_0))_1\] 非負整数関数\(\textcolor{blue}{F_2}\)(ふぃっしゅ関数バージョン\(2\))を以下のように定義する。 \[\textcolor{blue}{F_2}=SS^{63}((m_0,f_0,S_0))_2\]
ふぃっしゅ数バージョン2と旧ふぃっしゅ数バージョン\(2\)の違い[]
多変数アッカーマン関数\(A\)を使います。
ふぃっしゅ数バージョン2では
\[SS((m_0,f_0,S_0))_1=A(3,3,3)\]
旧ふぃっしゅ数バージョン\(2\)では
\[SS((3,f_0,\textcolor{red}{S}))_1=A(4,1,1)\]
解析[]
多変数アッカーマン関数\(A\)を使って解析します。
ふぃっしゅ数バージョン2では
\[A(63,0,1,1)<\textcolor{red}{F_2}<A(63,0,1,2)\]
旧ふぃっしゅ数バージョン\(2\)では
\[A(63,0,1,1)<\textcolor{red}{F_2}<A(63,0,1,2)\]