ライトの定理 (Wright's Theorem) とは、E. M. Wrightが1951年に発表した素数に関する定理である[1]。
概要[]
1951年にWrightは、ある正実数\(\alpha\)が存在して以下のように実数列\((g_n)_{n \in \mathbb{N}}\)を定めると全ての正整数\(n\geqq1\)に対して\(g_n\)の整数部\(\lfloor g_n \rfloor\)が素数になるという事を証明した。
\[\begin{eqnarray*} g_{0}&=&\alpha \\ g_{n+1}&=&2^{g_{n}} \end{eqnarray*}\]
すなわち、\(\left\lfloor g_{1} \right\rfloor=\left\lfloor 2^{\alpha} \right\rfloor,\ \left\lfloor g_{2} \right\rfloor=\left\lfloor 2^{2^{\alpha}} \right\rfloor,\ \left\lfloor g_{3} \right\rfloor=\left\lfloor 2^{2^{2^{\alpha}}} \right\rfloor,\ \cdots\)となる。この関数は、1947年にMillsが証明したミルズの定理に着想を経ている。
定数\({\alpha}\)とライト素数[]

ライトの定理の類似が主張された戦闘シーン
この関数で重要なのは定数\({\alpha}\)である。Wrightは\({\alpha}=1.9287800\)を与え、\(\left\lfloor g_{3} \right\rfloor=\left\lfloor 2^{2^{2^{1.9287800}}} \right\rfloor=16381\)までのライト素数を与えた[1]。
より多くの素数を与えるには\({\alpha}\)を詳細に知る必要があるが、そのためには算出される素数を知らなければならないため、ライトの定理で新しい素数を与える事はできない。このため、4つ目のライト素数\(\left\lfloor g_{4} \right\rfloor\)は長らく未知であった。2019年にRobert Baillieによって4つ目のライト素数が判明した[2]。
\[\begin{eqnarray*} \left\lfloor g_{4} \right\rfloor &=& \left\lfloor2^{2^{2^{2^{\alpha}}}}\right\rfloor \approx 1.913966420463\times10^{4931} \\ \alpha&=&1.9287800+8.2843\times10^{-4933} \end{eqnarray*}\]
\(\left\lfloor g_{5} \right\rfloor \)は\(\sim5.98\times10^{5.76161\times10^{4930}}\)程度の大きさの素数である。ライト素数の逆数和はリウヴィルの定理により超越数となる[2]。
\(n\) | \(\left\lfloor g_{n} \right\rfloor\) | ステータス |
---|---|---|
\(1\) | \(3\) | 素数[1] |
\(2\) | \(13\) | 素数[1] |
\(3\) | \(16381\) | 素数[1] |
\(4\) | \(\sim1.91397\times10^{4931}\) | 素数[2] |
\(5\) | \(\sim5.98\times10^{5.76161\times10^{4930}}\) | ライトの定理により素数 (具体的な値は不明) [2] |
ライトの定理の1つの証明はハードアナリシスという手法を用いるものであり、p進大好きbotは数学者のワヘイヘイを題材とした漫画においてハードアナリシスの使い手が技の一部としてライトの定理の類似(\(2\)を\(10\)に変更した主張)が成り立つことを主張する戦闘シーンを描いた。