巨大数研究 Wiki
Advertisement

ライトの定理 (Wright's Theorem) とは、E. M. Wrightが1951年に発表した素数に関する定理である[1]

概要[]

1951年にWrightは、ある正実数\(\alpha\)が存在して以下のように実数列\((g_n)_{n \in \mathbb{N}}\)を定めると全ての正整数\(n\geqq1\)に対して\(g_n\)の整数部\(\lfloor g_n \rfloor\)が素数になるという事を証明した。

\[\begin{eqnarray*} g_{0}&=&\alpha \\ g_{n+1}&=&2^{g_{n}} \end{eqnarray*}\]

すなわち、\(\left\lfloor g_{1} \right\rfloor=\left\lfloor 2^{\alpha} \right\rfloor,\ \left\lfloor g_{2} \right\rfloor=\left\lfloor 2^{2^{\alpha}} \right\rfloor,\ \left\lfloor g_{3} \right\rfloor=\left\lfloor 2^{2^{2^{\alpha}}} \right\rfloor,\ \cdots\)となる。この関数は、1947年にMillsが証明したミルズの定理に着想を経ている。

定数\({\alpha}\)とライト素数[]

ライトの定理

ライトの定理の類似が主張された戦闘シーン

この関数で重要なのは定数\({\alpha}\)である。Wrightは\({\alpha}=1.9287800\)を与え、\(\left\lfloor g_{3} \right\rfloor=\left\lfloor 2^{2^{2^{1.9287800}}} \right\rfloor=16381\)までのライト素数を与えた[1]

より多くの素数を与えるには\({\alpha}\)を詳細に知る必要があるが、そのためには算出される素数を知らなければならないため、ライトの定理で新しい素数を与える事はできない。このため、4つ目のライト素数\(\left\lfloor g_{4} \right\rfloor\)は長らく未知であった。2019年にRobert Baillieによって4つ目のライト素数が判明した[2]

\[\begin{eqnarray*} \left\lfloor g_{4} \right\rfloor &=& \left\lfloor2^{2^{2^{2^{\alpha}}}}\right\rfloor \approx 1.913966420463\times10^{4931} \\ \alpha&=&1.9287800+8.2843\times10^{-4933} \end{eqnarray*}\]

\(\left\lfloor g_{5} \right\rfloor \)は\(\sim5.98\times10^{5.76161\times10^{4930}}\)程度の大きさの素数である。ライト素数の逆数和はリウヴィルの定理により超越数となる[2]

\(n\) \(\left\lfloor g_{n} \right\rfloor\) ステータス
\(1\) \(3\) 素数[1]
\(2\) \(13\) 素数[1]
\(3\) \(16381\) 素数[1]
\(4\) \(\sim1.91397\times10^{4931}\) 素数[2]
\(5\) \(\sim5.98\times10^{5.76161\times10^{4930}}\) ライトの定理により素数 (具体的な値は不明) [2]

ライトの定理の1つの証明はハードアナリシスという手法を用いるものであり、p進大好きbotは数学者のワヘイヘイを題材とした漫画においてハードアナリシスの使い手が技の一部としてライトの定理の類似(\(2\)を\(10\)に変更した主張)が成り立つことを主張する戦闘シーンを描いた。

出典[]

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 E. M. Wright. "A Prime-Representing Function". The American Mathematical Monthly, 1951; 58 (9) 616-618. DOI: 10.2307/2306356
  2. 2.0 2.1 2.2 2.3 Robert Baillie. "Wright's Fourth Prime". arXiv, math.NT; 2019. arXiv:1705.09741v4

関連項目[]

Advertisement