ラティエンのψ関数

\( \newcommand\a{\alpha} \newcommand\b{\beta} \newcommand\g{\gamma} \newcommand\k{\kappa} \newcommand\p{\pi} \newcommand\d{\delta} \newcommand\e{\eta} \newcommand\c{\chi} \newcommand\x{\xi} \newcommand\dom{\text{dom}} \newcommand\cl{\text{cl}} \newcommand\enum{\text{enum}} \)

ラティエンの\(\psi\)関数とは、最小の弱マーロ基数を用いる順序数崩壊関数である。最小の弱マーロ基数を使用して、弱到達不能基数の階層を対角化する。

定義

以下\(\mathsf{ ZFC+MC }\)で作業する。
\(M\)は最小の弱マーロ基数である。
\(\p\)と\(\k\)は\(M\)未満の非加算正則基数である。
\(\dom(f)\)は関数\(f\)の定義域である。
\(\cl_M(X)\)は\(X \cup \{\a\lt M : \a\text{は}X\text{に属する順序数の極限}\}\)である。
\(\enum(X)\)は集合\(X\)の数え上げ関数である。
順序数\(\a\)が強臨界であるとは、\(\a = \varphi_\a(0)\)を満たすということである。

\(\b < M\)と\(\a < \Gamma_{M + 1}\)に対する、\(B(\a,\b)\)および\(\c_\a\)を帰納的に定義する:

\begin{eqnarray} B^n(\a,\b) &\subseteq& \b \cup \{0,M\}\\ B^{n+1}(\a,\b) &=& \{\g_0+\dots+\g_k:\g_0,\dots,\g_k \in B^n(\a,\b)\}\\ &&\cup \{\varphi_{\g_0}(\g_1):\g_0,\g_1 \in B^n(\a,\b)\}\\ &&\cup \{\g:\p \in B^n(\a,\b) \land \g < \p\}\\ &&\cup \{\c_\d(\e):\d,\e \in B^n(\a,\b) \land \d < \a \land \e < \dom(\c_\d)\}\\ B(\a,\b) &:=& \bigcup_{n < \omega}B^n(\a,\b)\\ \c_\a &=& \enum(\cl_M(\{\k:\k \notin B(\a,\k) \land \a \in B(\a,\k)\})) \end{eqnarray}

\(\a < \Gamma_{M + 1}\)に対し、\(SC_M(\a)\)を以下で定める。

1. \(SC_M(0) := SC_M(M) = \{\}\)
2. \(SC_M(\a) := \{\a\} ~ (\a < M \land \aは強臨界)\)
3. \(\displaystyle SC_M(\a) := \bigcup_{m \leq n} SC_M(\a_m) ~ (\a = \a_1 + \dots + \a_n)\)
4. \(SC_M(\a) := SC_M(\g) \cup SC_M(\d) ~ (\a = \varphi_\g(\d))\)

\(\text{R} := \{\c_\a(0) : \a < \Gamma_{M + 1}\} \cup \{\c_\a(\b + 1) : \a < \Gamma_{M + 1} \land \b < M\}\)と定める。

以下\(\k,\p\)は\(\text{R}\)の要素を表す変数とする。

\(\k\)に対し、\(\k^-\)を以下で定める。

1. もし\(\k=\c_\a(\b + 1)~((\a,\b)\in\Gamma_{M+1}\times M)\)ならば、\(\k^- =\c_\a(\b)\)である。
2. もし\(\k=\c_\a(0)~(\a\in\Gamma_{M+1})\)ならば、\(\k^{-}=\sup(SC_M(\a)\cup\{0\})\)である。

\(C_\k(\a)\)と\(\psi_\k(\a)\)を\(\a < \Gamma_{M + 1}\)の再帰によって帰納的に定義する:

\begin{eqnarray} C^n_\k(\a) &\supset& \k^- \cup \{\k^-, M\}\\ C^{n+1}_\k(\a) &=& \{\g_0+\dots+\g_k:\g_0,\dots,\g_k \in C^n_\k(\a)\}\\ &&\cup \{\varphi_{\g_0}(\g_1):\g_0,\g_1 \in C^n_\k(\a)\}\\ &&\cup \{\g:\p \in C^n_\k(\a)\cap \k \land \g < \p\}\\ &&\cup \{\c_\d(\e):\d,\e \in C^n_\k(\a)\}\\ &&\cup \{\Phi_\d(\e):\d,\e \in C^n_\k(\a) \cap M \land 0 < \d\}\\ &&\cup \{\psi_\p(\b):\p,\b \in C^n_\k(\a) \land \b < \a \land \b\in C_\p(\b)\}\\ C_\k(\a) &:=& \bigcup_{n < \omega}C^n_\k(\a)\\ \psi_\k(\a) &=& \min(\{\x:\x \notin C_\k(\a)\}) \end{eqnarray}