ルーミア数

ルーミア数はポトフが2018年3月17日に考案した東方巨大数である。第2回東方巨大数の計算可能部門 Easy ランクで優勝した。近似値は 10↑↑↑↑10↑39。

ルーミア(Rumia)は東方Projectのキャラクターで、東方紅魔郷1面のボス。

定義

ルーミア変換は、以下の３ステップで定義される多価関数である。

• ステップ1: 与えられた数を十進法で表示した時の数字のうちの1文字を●で隠す。
• ステップ2: ●で隠された箇所に0〜9の数字か、↑を代入する。ただし、右端または左端の●に↑を代入することはできない。また、0で始まる数字はその0を除いた数字として扱う。
• ステップ3: 1を足す。

ルーミアゲームは、ある自然数nが与えられた時に、n回のルーミア変換によって数字を大きくしていくゲームである。

ルーミア函数 L(n) は、nについてルーミアゲームを行った時に得られる最大の数である。

ルーミア演算子●は、右辺の値を左辺の値の回数だけルーミア函数に代入する演算子である。

Exルーミア変換は、ルーミア変換のステップ２を次のルールに変更したものである。

• ステップ2: ●で隠された箇所に0〜9の数字か、↑を代入するか、●をルーミア演算子として評価する。ただし、右端または左端の●は、↑を代入することや、ルーミア演算子として評価するはできない。また、0で始まる数字はその０を除いた数字として扱う。

Exルーミアゲームは、ある自然数nが与えられた時に、n回のExルーミア変換によって数字を大きくしていくゲームである。

Exルーミア函数 L_ex(n) は、nについてExルーミアゲームを行った時に得られる最大の数である。

そーなのかー数は 1007澗 = 1007 x 10³⁶ である。そーなのかーと音が似ている。

ルーミア数はExルーミア函数にそーなのかー数を代入して得られた数である。

近似

ルーミア変換の最大値は単調増大でない一価関数である。例えば正整数nに対し10ⁿを高々(9×10ⁿ)+1にしか変換しないが、201×10ⁿを(2 ↑ 10ⁿ)+1に変換することが出来る。一般に上から1桁目が1ではなく上から3桁目が0ではない場合は指数関数レベルの変換をすることができる。このことを用いると以下のような近似が可能である。

• L(n) ≈ 10↑↑n
• n●10 ≈ 10↑↑↑n
• L_ex(n) ≈ 10↑↑↑↑n
• そーなのかー数 ≈ 10↑39
• ルーミア数 ≈ 10↑↑↑↑10↑39