乗算

乗算は基本的な二項演算で、\(ab\), \(a \times b\), \(a(b)\) あるいは \(a \cdot b\) と書かれる。加算の繰り返し、すなわち、 \(a \times b = \underbrace{a + a + \cdots + a + a}_b\) で定義される。乗算の計算結果を積と言う。

たとえば、 \(3 \times 4\) の結果は4つの3: \(3 + 3 + 3 + 3\) を足した値に等しい。

加算と同様、乗算も 交換法則 \(a \times b = b \times a\) と 結合法則 \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\) が成り立つ。 乗算の繰り返しは冪乗と呼ばれる。

googologyにおいては、乗算は2つ目のハイパー演算子である。

他の性質

• \(0 \times n = 0\)

• \(1 \times n = n\)

• \((-a) \times (-b) = a \times b\)

• \((-a) \times b = a \times (-b) = -(a \times b)\)

• もし乗算と冪乗が同時に存在した場合: \(a \times b \text{^} c = a \times (b \text{^} c)\)

他の記法による近似

記法	近似
急増加関数	\(f_{1}(n)\)
ハーディー階層	\(H_{\omega}(n)\) (exactly equal)
緩成長階層	\(g_{\omega m}(n)\) (exactly equal)

チューリングマシンコード

Given input of form (string of a 1's) (string of b 1's) it outputs string of a*b 1's

0 1 _ r 1
0 _ _ r 9
1 1 1 r 1
1 _ _ r 2
2 1 _ r 3
2 _ _ l 7
3 1 1 r 3
3 _ _ r 4
4 1 1 r 4
4 _ 1 l 5
5 1 1 l 5
5 _ _ l 6
6 1 1 l 6
6 _ 1 r 2
7 1 1 l 7
7 _ _ l 8
8 1 1 l 8
8 _ _ r 0
9 1 _ r 9
9 _ _ r halt