二重メルセンヌ素数 (Double Mersenne prime number) とは、素数である二重メルセンヌ数、即ち素数\(p\)における\(M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1\)が素数であるような数である[1]。これは定義上、メルセンヌ素数の特別な場合である。
二重メルセンヌ数のうち、二重メルセンヌ素数である事が確認されているのは4個のみである。知られている最大の二重メルセンヌ素数は\(M_{M_{7}}=2^{2^7-1}-1=170141183460469231731687303715884105727\)であり、12番目のメルセンヌ素数である[2][3][4]。
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自然数\(n\)における\(M_{n}=2^{n}-1\)が素数であるには、\(n\)が素数でなければならない。一方で逆は成立しない。このため二重メルセンヌ数\(M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1\)が素数であるためには、最低でも\(M_{n}=2^{n}-1\)が素数でなければならない。このため自然数\(n\)は素数\(p\)に限られる。
よって以下の表では、\(M_{p}=2^{p}-1\)が素数であるもののみを挙げる。知られているメルセンヌ素数51個に対して、二重メルセンヌ数が素数であるものは4個、合成数であるものは4個が知られている[1][2][3]。
| \(p\) | \(M_{p}=2^{p}-1\) | \(M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1\) | ステータス | 最小素因数 |
|---|---|---|---|---|
| \(2\) | \(3\) | \(7\) | 素数 (2番目のメルセンヌ素数) | (自分自身) |
| \(3\) | \(7\) | \(127\) | 素数 (4番目のメルセンヌ素数) | (自分自身) |
| \(5\) | \(31\) | \(2147483647\) | 素数 (8番目のメルセンヌ素数) | (自分自身) |
| \(7\) | \(127\) | \(170141183460469231731687303715884105727\) | 素数 (12番目のメルセンヌ素数) | (自分自身) |
| \(13\) | \(8191\) | \(\sim5.45374\times10^{2465}\) | 合成数 | \(338193759479\) |
| \(17\) | \(131071\) | \(\sim2.00707\times10^{39456}\) | 合成数 | \(231733529\) |
| \(19\) | \(524287\) | \(\sim1.29819\times10^{157826}\) | 合成数 | \(62914441\) |
| \(31\) | \(2147483647\) | \(\sim8.80797\times10^{646456992}\) | 合成数 | \(295257526626031\) |
| \(61\) | \(2305843009213693951\) | \(\sim10^{10^{17.84144}}\) | 不明 | \(\gtrsim1.24515\times10^{36}\) |
次の最小の二重メルセンヌ素数の候補は\(M_{M_{61}}=2^{2^{61}-1}-1=2^{2305843009213693951}-1\)である。およそ\(1.694\times10^{694127911065419641}\approx10^{10^{17.84144}}\)であり、そのままでは現代の素数判定法の能力を上回る大きさである[3]。
ただし、二重メルセンヌ数\(M_{M_{p}}\)の素因数は\(2\times k \times M_{p} +1\)の形に限られ、この中の自然数\(k\)は\(k\equiv0,\ 5,\ 8,\ 9\pmod{12}\)を満たすものに限られるため、この制限を下に素因数を絞り込む作業が行われている[5]。\(M_{M_{61}}\)には現時点で\(2\times270000000000000000\times(2^{61}-1)+1\approx1.24515\times10^{36}\)より小さな素因数は見つかっていない[2]。
最初の4つ以外に二重メルセンヌ素数は存在しないという予想もあるが、現時点では肯定否定双方の証明は存在しない[3]。
出典[]
- ↑ 1.0 1.1 A077586 a(n) = 2^(2^prime(n) - 1) - 1. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 "History". Double Mersennes Prime Search.
- ↑ 3.0 3.1 3.2 3.3 Mersenne Primes: History, Theorems and Lists. Prime Pages.
- ↑ A263686 Smallest prime factor of double Mersenne numbers. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "Math". Double Mersennes Prime Search.
関連項目[]
- メルセンヌ素数
- カタラン・メルセンヌ数 - 部分的に二重メルセンヌ数と一致する。