亜原始ψ関数

亜原始ψ関数^[1]は Kanrokoti^[2] が2021年6月21日に公開した巨大数表記である。

亜原始ψ関数は拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記の添字に亜原始数列を組み込んだ表記である。ネスト表記と数列表記を組み合わせた数少ない表記の一つであり、添字上昇システムを持つ数少ない表記の一つである。亜原始ψ関数はその構成より、$\psi_0(\psi_{$\omega}(0))$がバシク行列システム$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0)$に対応すると考えられており、表記の限界の大きさは不明である。

Kanrokotiは亜原始ψ関数の展開チートシートと、Ψ₀(Ωω)までの変換写像による解析を公開している。
Naruyoko^[3]は亜原始ψ関数計算機を公開している。
Mrna den^[4]は亜原始ψからBM4への一部の対応写像を公開している。
巨大数解説channel-西宮七南^[5]は解説動画を公開している。

定義

表記

ここでは、表記に用いる文字列について定義する。

$0$と$+$と$\psi$と$($と$)$のみからなる文字列の集合$T$と$PT$を以下のように同時に再帰的に定める:

$0 \in T$である。
いかなる$(a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})$に対しても、$a+b \in T$である。
いかなる$(a,b) \in T^2$に対しても、$\psi_a(b) \in PT \cap T$である。

略記

$0$を$$0$と略記し、$\psi_0(0)$を$$1$と略記し、$n \in (\mathbb{N} \setminus \{0,1\})$に対し$\underbrace{$1+ \dots +$1}_{$1がn個}$を$$n$と略記し、$\psi_0($1)$を$$\omega$と略記する。

順序

ここでは、表記における大小関係を辞書式順序で定義する。

$T$上の$2$項関係$s \le t$と$s \lt t$を以下のように同時に再帰的に定める:

$s \le t$の定義

$s = t$ならば、$s \le t$は真である。
$s \neq t$ならば、$s \le t$は$s \lt t$と同値である。

$s \lt t$の定義

$t = 0$ならば、$s \lt t$は偽である。
$t \neq 0$かつ$s = 0$ならば、$s \lt t$は真である。
$t \neq 0$かつ$s = a+b$を満たす$(a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})$が存在するとする。
1. $t = c+d$を満たす$(c,d) \in PT \times (T \setminus \{0\})$が存在するならば、$s \lt t$は以下のいずれかが成り立つことと同値である:
  1. $a \lt c$である。
  2. $a = c$かつ$b \lt d$である。
2. $t = \psi_c(d)$を満たす$(c,d) \in T^2$が存在するならば、$s \lt t$は$a \lt t$と同値である。
$t \neq 0$かつ$s = \psi_a(b)$を満たす$(a,b) \in T^2$が存在するとする。
1. $t = c+d$を満たす$(c,d) \in PT \times (T \setminus \{0\})$が存在するならば、$s \lt t$は$s \le c$と同値である。
2. $t = \psi_c(d)$を満たす$(c,d) \in T^2$が存在するならば、$s \lt t$は以下のいずれかが成り立つことと同値である:
  1. $a \lt c$である。
  2. $a = c$かつ$b \lt d$である。

コード関数

ここでは、コード関数を定義する。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{code} \colon T & \to & \mathbb{N} \\ s & \mapsto & \textrm{code}(s) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = $1$ならば、$\textrm{code}(s) := 1$である。
$s = S+$1$を満たす$S \in (T \setminus \{0\})$が存在するならば、$\textrm{code}(s) := \textrm{code}(S)+1$である。
上記のいずれの条件も満たさないならば、$\textrm{code}(s) := 0$である。

上昇関数

ここでは、上昇関数を定義する。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \Delta \colon T \times (\mathbb{N} \setminus \{0\}) \times \mathbb{N} & \to & T \\ (s,t,u) & \mapsto & \Delta(s,t,u) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$\Delta(s,t,u) := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})$が存在するならば、$\Delta(s,t,u) := \Delta(a,t,u)+\Delta(b,t,u)$である。
$s = \psi_a(b)$を満たす$(a,b) \in T^2$が存在するとする。
1. $u \lt \textrm{code}(a)$ならば、$\Delta(s,t,u) := \psi_{a+$t}(\Delta(b,t,u))$である。
2. そうでないならば、$\Delta(s,t,u) := \psi_a(b)$である。

共終数

ここでは、表記における共終数を定義する。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \textrm{dom} \colon T & \to & T \\ s & \mapsto & \textrm{dom}(s) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$\textrm{dom}(s) := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})$が存在するならば、$\textrm{dom}(s) := \textrm{dom}(b)$である。
$s = \psi_a(b)$を満たす$(a,b) \in T^2$が存在するとする。
1. $\textrm{dom}(b) = 0$とする。
  1. $\textrm{dom}(a) \in \{0,$1\}$ならば、$\textrm{dom}(s) := s$である。
  2. そうでないならば、$\textrm{dom}(s) := \textrm{dom}(a)$である。
2. $\textrm{dom}(b) \in \{$1,$\omega\}$ならば、$\textrm{dom}(s) := $\omega$である。
3. $\textrm{dom}(b) \notin \{0,$1,$\omega\}$とする。
  1. $\textrm{dom}(b) \lt s$ならば、$\textrm{dom}(s) := \textrm{dom}(b)$である。
  2. そうでないならば、$\textrm{dom}(s) := $\omega$である。

基本列

ここでは、表記の基本列を定義する。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} [ \ ] \colon T^2 & \to & T \\ (s,t) & \mapsto & s[t] \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$s = 0$ならば、$s[t] := 0$である。
$s = a+b$を満たす$(a,b) \in PT \times (T \setminus \{0\})$が存在するならば、$b' := b[t]$と置く。
1. $b' = 0$ならば、$s[t] := a$である。
2. そうでないならば、$s[t] := a+b'$である。
$s = \psi_a(b)$を満たす$(a,b) \in T^2$が存在するとする。
1. $\textrm{dom}(b) = 0$とする。
  1. $\textrm{dom}(a) \in \{0,$1\}$ならば、$s[t] := t$である。
  2. そうでないならば、$s[t] := \psi_{a[t]}(b)$である。
2. $\textrm{dom}(b) = $1$とする。
  1. $t = t[0]+$1$ならば、$s[t] := s[t[0]]+s[$1]$である。
  2. そうでないならば、$s[t] := \psi_a(b[0])$である。
3. $\textrm{dom}(b) = $\omega$ならば、$s[t] := \psi_a(b[t])$である。
4. $\textrm{dom}(b) \notin \{0,$1,$\omega\}$とする。
  1. $\textrm{dom}(b) \lt s$ならば、$s[t] := \psi_a(b[t])$である。
  2. そうでないならば、$\textrm{dom}(b) = \psi_c(0)$を満たす$c \in (T \setminus \{0\})$が存在する。$(a',c',\delta) \in \mathbb{N}^2 \times \mathbb{Z}$を以下のように定める:
    1. $a' := \textrm{code}(a)$である。
    2. $c' := \textrm{code}(c)$である。
    3. $\delta := c'-a'-1$である。
  3. $\delta \gt 0$とする。
    1. $t = $i$を満たす$i \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})$が存在し、かつ$s[t[0]] = \psi_a(\Gamma)$を満たす$\Gamma \in T$が一意に存在するならば、$s[t] := \psi_a(b[\psi_{c[0]}(\Delta(\Gamma,\delta,a'))])$である。
    2. そうでないならば、$s[t] := \psi_a(b[\psi_{c[0]}(0)])$である。
  4. $\delta \le 0$とする。
    1. $t = $i$を満たす$i \in (\mathbb{N} \setminus \{0\})$が存在し、かつ$s[t[0]] = \psi_a(\Gamma)$を満たす$\Gamma \in T$が一意に存在するならば、$s[t] := \psi_a(b[\psi_{c[0]}(\Gamma)])$である。
    2. そうでないならば、$s[t] := \psi_a(b[\psi_{c[0]}(0)])$である。

急増加関数

ここでは、表記を使った急増加関数を定義する。

計算可能部分写像 \begin{eqnarray*} f \colon T \times \mathbb{N}^2 & \to & \mathbb{N} \\ (s,m,n) & \mapsto & f_s^m(n) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$m = 0$ならば、$f_s^m(n) := n$である。
$m = 1$とする。
1. $s = 0$ならば、$f_s^m(n) := n+1$である。
2. $s \neq 0$とする。
  1. $\textrm{dom}(s) = $1$ならば、$f_s^m(n) := f_{s[0]}^n(n)$である。
  2. そうでないならば、$f_s^m(n) := f_{s[$n]}^1(n)$である。
$m \notin \{0,1\}$ならば、$f_s^m(n) := f_s^1(f_s^{m-1}(n))$である。

限界関数

ここでは、表記の限界を定める。

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} \Lambda \colon \mathbb{N} & \to & PT \\ n & \mapsto & \Lambda(n) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める:

$n = 0$ならば、$\Lambda(n) := \psi_0(0)$である。
$n \neq 0$ならば、$\Lambda(n) := \psi_{\Lambda(n-1)}(0)$である。

標準形

ここでは、表記の標準形を定める。

部分集合$OT \subset T$を以下のように再帰的に定める:

いかなる$n \in \mathbb{N}$に対しても、$\psi_0(\Lambda(n)) \in OT$である。
いかなる$(s,n) \in OT \times \mathbb{N}$に対しても、$s[$n] \in OT$である。

Kanrokotiは$(OT,\lt)$が順序数表記になること、すなわち$OT$が再帰的かつ$\lt$の$OT$への制限が整列順序になることを期待している。

命名

計算可能全域写像 \begin{eqnarray*} F \colon \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ n & \mapsto & F(n) \end{eqnarray*} を$F(n) = f_{\psi_0(\Lambda(n))}(n)$と定める。

Kanrokotiは$F^{10^{100}}(10^{100})$を「亜原始ψ数」と名付け、表記の限界に対応する順序数を「Subspecies Primitive psi ordinal」(SPPO)と名付けた。

亜原始ψ関数

目次

定義

表記

略記

順序

コード関数

上昇関数

共終数

基本列

急増加関数

限界関数

標準形

命名

文献

関連項目

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