再帰的到達不能順序数

再帰的到達不能順序数 (recursively inaccessible ordinal) は許容順序数の極限でかつ許容順序数となる順序数のことである．

定義

順序数$\alpha$が再帰的到達不能順序数であるとは許容順序数であり，かつ下に非有界に許容順序数が存在することである．許容順序数が正則基数の再帰的類似で，また弱到達不能基数は下に非有界に正則基数を含んでいることから，再帰的到達不能順序数は到達不能基数の再帰的類似と見做される．

性質

$\alpha$が再帰的到達不能順序数であることと$L_\alpha\models\mathsf{KPi}$であることは同値である，また$\langle \mathbb{N},L_\alpha\cap\mathcal{P}(\mathbb{N}),+,\times,< \rangle\models \Delta^1_2\text{-}\mathsf{CA}+\mathsf{Bi}$となることとも同値である．また$L_\alpha\models\mathsf{KP}\beta$となることとも同値である．$\mathsf{KP}\beta$は$\mathsf{KP}\omega$にモストウスキの崩壊定理を加えた体系である．

また順序数のクラス$X$に対し$L(X):=\{\alpha\in X\mid \sup(\alpha\cap X)=\alpha\}$とし，$\lambda$を極限順序数とし，$L^{0}(X):=X,L^{\alpha +1}(X)=L(L^{\alpha }(X)),L^{\lambda }(X):=\bigcap _{\xi <\lambda }L^{\xi }(X)$とする．このとき$\mathrm{Ad}$を許容順序数のクラスとすれば$L^0(\mathrm{Ad})$は許容順序数のクラス，$L^1(\mathrm{Ad})$は再帰的到達不能順序数のクラス，$L^\alpha(\mathrm{Ad})$は$\alpha$-再帰的到達不能順序数のクラス，となる．この作用素を対角化することで超再帰的到達不能順序数なども定義される．

参考文献

• P.G. Hinman. Recursion-theoretic hierarchies. Vol. 9. Cambridge University Press, 2017.
• J. Barwise. Admissible sets and structures. Vol. 7. Cambridge University Press, 2017.

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