反映順序数

$\Gamma$を論理式の集合とする．順序数$\alpha$が$\Gamma$-反映順序数 ($\Gamma$-reflecting ordinal) であるとは，任意の$\varphi \in \Gamma$に対して，$L_{\alpha }\models \varphi$ならばある$\xi<\alpha$が存在して，$L_{\xi }\models \varphi$となることである．

定義

$\Gamma$を集合論の論理式の集合，$X$を順序数のクラスとする．順序数$\alpha$が$X$上で$\Gamma$-反映順序数 ($\Gamma$-reflecting ordinal on $X$) であるとは，任意の$\varphi \in \Gamma$に対して，$L_{\alpha }\models \varphi$ならばある$\xi \in \alpha \cap X$が存在して，$L_{\xi }\models \varphi$となることである．特に$\Gamma$としては高階集合論の論理式の集合$\Pi _{m}^{n},\Sigma _{m}^{n}$が考えられることが多く，その場合は標準意味論を用いる．

性質

命題2.1
以下は互いに同値である． 順序数$\alpha$は$X$上で$\Pi _{0}^{0}$-反映的である． 順序数$\alpha$は$X$上で$\Sigma^0_2$-反映的である． $\alpha =\sup(\alpha \cap X)$である．

命題2.2
以下は同値である． 順序数$\alpha$は$X$上で$\Pi^0_2$-反映的である． 順序数$\alpha$は$X$上で再帰的マーロである．

命題2.3
以下は同値である． 順序数$\alpha$は$X$上で$\Pi^0_n$-反映的である． 順序数$\alpha$は$X$上で$\Sigma^0_{n+1}$-反映的である．

命題2.4
$n > 0$または$m > 2$に対して以下は同値である． 順序数$\alpha$は$X$上で$\Pi^n_m$-反映的である． 順序数$\alpha$は$X\cap \mathrm {Ad}$上で$\Pi^n_m$-反映的である． また$n > 0$または$m>3$に対して以下は同値である． 順序数$\alpha$は$X$上で$\Sigma _{m}^{n}$-反映的である． 順序数$\alpha$は$X\cap \mathrm {Ad}$上で$\Sigma _{m}^{n}$-反映的である． ただし$\mathrm{Ad}$を許容順序数からなるクラスとする．

命題2.5
以下は同値である． 順序数$\alpha$は$\Pi _{3}^{0}$-反映的である． 順序数$\alpha$は$2$-許容的($\Sigma_2$-許容的であることとは異なることに注意すべきである．)である．

弱コンパクト基数が$2$-正則基数であることを命題2.5に合わせて，$\Pi _{3}^{0}$-反映的順序数は，弱コンパクト基数の再帰的類似と言われる．また$\Pi^0_{n+2}$-反映的順序数は一般に$\Pi^1_n$-記述不能基数の再帰的類似と言われる。

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