四関数

四関数^[1]は p進大好きbot^[2] が2021年7月23日に公開した巨大数表記である。p進大好きbotは四関数を用いて貴方がきちんと私の定義を理解しているか見に来たので数を定義し第4回東方巨大数へ投稿した。四関数および貴方がきちんと私の定義を理解しているか見に来たので数の名前の由来は東方Projectの登場キャラクターである四季映姫・ヤマザナドゥ^[3]の名前とその口癖である。

拡張ブーフホルツのψ関数の超限変数化\(1\)回を超限変数拡張ブーフホルツのψ関数とするときの、拡張ブーフホルツのψ関数の超限変数化\(\omega\)回が四関数である。

なお第4回東方巨大数に投稿された定義の最終版である2021年8月4日時点の版^[1]に誤植があることや意図通りの挙動を示さないことを西宮七南^[4]とNaruyoko^[5]が指摘し^[6]^[7]、現在までに定義がたびたび修正されている^[8]。以下では第4回東方巨大数に投稿された定義の最終版である2021年8月4日時点の版における定義を解説する。修正後の版はNaruyokoによりjavascriptに翻訳されているので#計算機を参照。

表記[]

文字\(\textbf{四}\)と\((\)と\(,\)と\()\)と\(+\)のみからなる文字列の集合\(T\)と\(DT\)を以下のように同時に再帰的に定める：

\(T\)の定義

\(() \in T\)である。
いかなる\(x \in DT\)に対しても、\(\textbf{四}(x) \in T\)である。
いかなる\((s,t) \in T^2\)に対しても、\(s \neq 0\)かつ\(t \neq 0\)ならば\(s + t \in T\)である。

\(DT\)の定義

いかなる\((s,t) \in T^2\)に対しても、\(s,t \in DT\)である。
いかなる\((x,y) \in DT^2\)に対しても、\((x),y \in DT\)である。

\((s,t) \in T^2\)に対し、\(\textbf{四}(s,t)\)を\(\textbf{四}_s(t)\)と略記する。\(() \in T\)を\(0\)と略記する。\(t \in T\)に対し、\(\textbf{四}_0(t)\)を\(\textbf{四}(t)\)と略記する。\(\textbf{四}(0)\)を\(1\)と略記する。

大雑把に説明すると、\(T\)において\(\textbf{四}\)は関数記号のような機能を持ち、\(DT\)の要素は\(\textbf{四}\)の超限変数のような機能を持つ。従来の超限変数の記法は\(2\)変数を表す際に通常の\(2\)変数の記法と両立しなくなるが、\(DT\)の記法は

通常の\(2\)変数\((s_0,s_1) \in T^2\)を\(s_0,s_1 \in DT\)へ対応させる。
通常の\(3\)変数\((s_0,s_1,s_2) \in T^3\)を\((1+1,s_0),s_1,s_2 \in DT\)へ対応させる。
通常の\(4\)変数\((s_0,s_1,s_2,s_3) \in T^4\)を\((1+1+1,s_0),(1+1,s_1),s_2,s_3 \in DT\)へ対応させる。

のようにすることで\(2\)変数の通常の記法と両立する形で超限変数を表すことが出来る。ここで重要な点は、超限変数が「\(2\)変数の有限列」として表記できる点である。\(DT\)を\(2\)変数の記法と両立するように定式化しているため、超限変数である「\(2\)変数の有限列」より広い「超限変数の有限列」や「「超限集合の有限列」の有限列」といった拡張も自然に含んでいることである。例えば「\(3\)変数の有限列」である\(((1+1,1),0,1),0,0\)は「\(2\)変数の有限列」である超限変数の対角化として機能するので、\(DT\)は単なる超限変数よりも広い変数概念を扱っていることになる。

なお順序数全体を\(\textrm{On}\)と置くと、順序数の超限変数全体は超限変数拡張Buchholz ψ関数の記事で述べた方法で自然と\(2^{\textrm{On}^2} = \textrm{On}^{\textrm{On}}\)と同一視される。このことを踏まえると、\(DT\)と同様の方法で順序数の超限変数を拡張したものの全体は\(2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2^{\textrm{On}^2}}}}}} = \varepsilon_{\textrm{On}+1}\)に対応するだろう。

順序[]

\((s,t) \in T^2\)に関する関係\(s \leq t\)と\(s < t\)と、\((s_0,s_1,t_0,t_1) \in T^4\)に関する関係\([s_0,s_1] < [t_0,t_1]\)と、\((x,y) \in DT^2\)に関する関係\(x \leq y\)と\(x < y\)と、\((x_0,x_1,y_0,y_1) \in DT^4\)に関する関係\([x_0,x_1] < [y_0,y_1]\)を以下のように同時に再帰的に定める：

\(s \leq t\)の定義

\(s = t\)ならば、\(s \leq t\)は真である。
\(s \neq t\)ならば、\(s \leq t\)は\(s < t\)と同値である。

\(s < t\)の定義

\(t = 0\)ならば、\(s < t\)は偽である。
\(t \neq 0\)かつ\(s = 0\)ならば、\(s < t\)は真である。
\(s = \textbf{四}(x)\)を満たす\(x \in DT\)が存在するとする。
1. \(t = \textbf{四}(y)\)を満たす\(y \in DT\)が存在するならば、\(s < t\)は\((x) < (y)\)と同値である。
2. \(t = \textbf{四}(y) + v\)を満たす\((y,v) \in DT \times T\)が存在するならば、\(s < t\)は\(\textbf{四}(x) \leq \textbf{四}(y)\)と同値である。
\(s = \textbf{四}(x)+u\)を満たす\((x,u) \in DT \times T\)が存在するとする。
1. \(t = \textbf{四}(y)\)を満たす\(y \in DT\)が存在するならば、\(s < t\)は\(\textbf{四}(x) < \textbf{四}(y)\)と同値である。
2. \(t = \textbf{四}(y) + v\)を満たす\((y,v) \in DT \times T\)が存在するならば、\(s < t\)は\([\textbf{四}(x),u] < [\textbf{四}(y),v]\)と同値である。

\([s_0,s_1] < [t_0,t_1]\)の定義

\(s_0 < t_0\)ならば、\([s_0,s_1] < [t_0,t_1]\)は真である。
\(s_0 = t_0\)ならば、\([s_0,s_1] < [t_0,t_1]\)は\(s_1 < t_1\)と同値である。
上記のいずれでもない場合、\([s_0,s_1] < [t_0,t_1]\)は偽である。

\(x \leq y\)の定義

\(x = y\)ならば、\(x \leq y\)は真である。
\(x \neq y\)ならば、\(x \leq y\)は\(x < y\)と同値である。

\(x < y\)の定義

\(y = t_0,t_1\)を満たす\((t_0,t_1) \in T^2\)が存在するとする。
1. \(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するならば、\(x < y\)は\([s_0,s_1] < [t_0,t_1]\)と同値である。
2. そのような\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在しないならば、\(x < y\)は偽である。
\(y = (w_0),w_1\)を満たす\((w_0,w_1) \in DT^2\)が存在するとする。
1. \(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するならば、\(x < y\)は真である。
2. \(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するならば、\(x < y\)は\([(z_0),(z_1)] < [(w_0),(w_1)]\)と同値である。

\([x_0,x_1] < [y_0,y_1]\)の定義

\(x_0 < y_0\)ならば、\([x_0,x_1] < [y_0,y_1]\)は真である。
\(x_0 = y_0\)ならば、\([x_0,x_1] < [y_0,y_1]\)は\(x_1 < y_1\)と同値である。
上記のいずれでもない場合、\([x_0,x_1] < [y_0,y_1]\)は偽である。

要するに辞書式順序の超限変数化の拡張である。

成分操作[]

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{増加} \colon T & \to & T \\ s & \mapsto & \textbf{増加}(s) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(s = 0\)ならば、\(\textbf{増加}(s) = 1\)である。
\(s \neq 0\)ならば、\(\textbf{増加}(s) = s+1\)である。

要するに\(s\)を\(1\)増やす写像である。

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{零位} \colon DT & \to & T \\ x & \mapsto & \textbf{零位}(x) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するならば、\(\textbf{零位}(x) = s_1\)である。
\(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するならば、\(\textbf{零位}(x) = \textbf{零位}(z_1)\)である。

要するに\(x\)を超限変数の拡張とみなして\(0\)番目の引数を取得する写像である。

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{零位変更} \colon DT \times T & \to & DT \\ (x,t) & \mapsto & \textbf{零位変更}(x,t) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するならば、\(\textbf{零位変更}(x,t) = s_0,t\)である。
\(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するならば、\(\textbf{零位変更}(x,t) = (z_0),\textbf{零位変更}(z_1,t)\)である。

要するに\(x\)を超限変数の拡張とみなして\(0\)番目の引数を\(t\)に変更する写像である。

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{成分} \colon DT^2 & \to & T \\ (x,y) & \mapsto & \textbf{成分}(x,y) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(\textbf{零位}(y) = 0\)とする。
1. \(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するとする。
  1. \(y = 0,0\)ならば、\(\textbf{成分}(x,y) = s_1\)である。
  2. \(y = 1,0\)ならば、\(\textbf{成分}(x,y) = s_0\)である。
  3. 上記のいずれの場合でもないならば、\(\textbf{成分}(x,y) = 0\)である。
2. \(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するとする。
  1. \(\textbf{零位変更}(z_0,0) = y\)ならば、\(\textbf{成分}(x,y) = \textbf{零位}(z_0)\)である。
  2. \(\textbf{零位変更}(z_0,0) < y\)ならば、\(\textbf{成分}(x,y) = 0\)である。
  3. 上記のいずれの場合でもないならば、\(\textbf{成分}(x,y) = \textbf{成分}(z_1,y)\)である。
\(\textbf{零位}(y) \neq 0\)ならば、\(\textbf{成分}(x,y) = \textbf{成分}(x,\textbf{零位変更}(y,0))\)である。

要するに\(x\)を超限変数の拡張とみなして\(y\)番目の引数を取得する写像である。

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{成分変更} \colon DT^2 \times T & \to & T \\ (x,y,t) & \mapsto & \textbf{成分変更}(x,y,t) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(\textbf{零位}(y) = 0\)とする。
1. \(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するとする。
  1. \(y = 0,0\)ならば、\(\textbf{成分変更}(x,y,t) = s_0,t\)である。
  2. \(y = 1,0\)ならば、\(\textbf{成分変更}(x,y,t) = t,s_1\)である。
  3. 上記のいずれの場合でもないならば、\(\textbf{成分変更}(x,y,t) = (\textbf{零位変更}(y,t)),s_0,s_1\)である。
2. \(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するとする。
  1. \(\textbf{零位変更}(z_0,0) = y\)ならば、\(\textbf{成分変更}(x,y,t) = \textbf{零位変更}(z_0,t),z_1\)である。
  2. \(\textbf{零位変更}(z_0,0) < y\)ならば、\(\textbf{成分変更}(x,y,t) = \textbf{零位変更}(y,t),(z_0),z_1\)である。
  3. 上記のいずれの場合でもないならば、\(\textbf{成分変更}(x,y,t) = (z_0),\textbf{成分変更}(z_1,y,t)\)である。
\(\textbf{零位}(y) \neq 0\)ならば、\(\textbf{成分変更}(x,y,t) = \textbf{成分変更}(x,\textbf{零位変更}(y,0),t)\)である。

要するに\(x\)を超限変数の拡張とみなして\(y\)番目の引数を\(t\)に変更する写像である。

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{成分増加} \colon DT^2 & \to & T \\ (x,y) & \mapsto & \textbf{成分増加}(x,y) \end{eqnarray*} を\(\textbf{成分増加}(x,y) = \textbf{成分変更}(x,y,\textrm{増加}(\textbf{成分}(x,y)))\)と定める。要するに\(x\)を超限変数の拡張とみなして\(y\)番目の引数を\(1\)増やす写像である。

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{右端} \colon DT & \to & DT \cup \{0\} \\ x & \mapsto & \textbf{右端}(x) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するとする。
1. \(s_1 \neq 0\)ならば、\(\textbf{右端}(x) = 0,s_1\)である。
2. \(s_0 \neq 0\)かつ\(s_1 = 0\)ならば、\(\textbf{右端}(x) = 1,s_0\)である。
3. \(s_0 = 0\)かつ\(s_1 = 0\)ならば、\(\textbf{右端}(x) = 0\)である。
\(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するとする。
1. \(\textbf{右端}(z_1) = 0\)かつ\(\textbf{零位}(z_0) = 0\)ならば、\(\textbf{右端}(x) = 0\)である。
2. \(\textbf{右端}(z_1) = 0\)かつ\(\textbf{零位}(z_0) \neq 0\)ならば、\(\textbf{右端}(x) = z_0\)である。
3. \(\textbf{右端}(z_1) \neq 0\)ならば、\(\textbf{右端}(x) = \textbf{右端}(z_1)\)である。

要するに\(x\)を超限変数の拡張とみなして成分が\(0\)でない引数のうち右端を取得する写像である。ただしそのような引数が存在しない時は\(0\)を返している。

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{非右端} \colon DT & \to & DT \\ x & \mapsto & \textbf{非右端}(x) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するとする。
1. \(s_1 \neq 0\)ならば、\(\textbf{非右端}(x) = s_0,0\)である。
2. \(s_1 = 0\)ならば、\(\textbf{非右端}(x) = 0,0\)である。
\(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するとする。
1. \(\textbf{非右端}(z_1) = 0,0\)ならば、\(\textbf{非右端}(x) = 0,0\)である。
2. \(\textbf{非右端}(z_1) \neq 0,0\)ならば、\(\textbf{非右端}(x) = (z_0),\textbf{非右端}(z_1)\)である。

要するに\(x\)を超限変数の拡張とみなして成分が\(0\)でない引数のうち右端の成分を\(0\)に変更する写像である。

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{非零位右端変更} \colon DT \times T & \to & DT \\ (x,t) & \mapsto & \textbf{非零位右端変更}(x,t) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(\textbf{零位}(x) = 0\)とする。
1. \(\textbf{右端}(x) = 0\)ならば、\(\textbf{非零位右端変更}(x,t) = 0,0\)である。
2. \(\textbf{右端}(x) \neq 0\)ならば、\(\textbf{非零位右端変更}(x,t) = \textbf{成分変更}(\textbf{零位変更}(x,0),\textbf{右端}(x),t)\)である。
\(\textbf{零位}(x) \neq 0\)ならば、\(\textbf{非零位右端変更}(x,t) = \textbf{非零位右端変更}(\textbf{零位変更}(x,0),t)\)である。

要するに\(x\)を超限変数の拡張とみなして\(0\)番目の引数を\(0\)に変更し、更に成分が\(0\)でない\(0\)番目以外の引数のうち右端を\(t\)に変更する写像である。

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{非零位右端切上} \colon DT & \to & DT \\ x & \mapsto & \textbf{非零位右端切上}(x) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するとする。
1. \(s_0 = 0\)ならば、\(\textbf{非零位右端切上}(x) = 1,1\)である。
2. \(s_0 \neq 0\)ならば、\(\textbf{非零位右端切上}(x) = (1+1,1),0,1\)である。
\(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するとする。
1. \(\textbf{右端}(z_1) = 0\)ならば、\(\textbf{非零位右端切上}(x) = (\textbf{成分増加}(\textbf{零位変更}(z_0,1),1)),0,0\)である。
2. \(\textbf{右端}(z_1) \neq 0\)とする。
  1. \(\textbf{成分}(\textbf{非零位右端切上}(z_1),z_0) = 0\)ならば、\(\textbf{非零位右端切上}(x) = (z_0),\textbf{非零位右端切上}(z_1)\)である。
  2. \(\textbf{成分}(\textbf{非零位右端切上}(z_1),z_0) \neq 0\)ならば、\(\textbf{非零位右端切上}(x) = \textbf{成分変更}(\textbf{非零位右端切上}(z_1),z_0,\textbf{増加}(\textbf{零位}(z_0)))\)である。

要するに\(x\)を超限変数の拡張とみなして\(0\)番目の引数を\(1\)に変更し、成分が\(0\)でない\(0\)番目以外の引数のうち右端を「切り上げる」写像である。

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{左端非零位右端切上} \colon DT & \to & DT \\ x & \mapsto & \textbf{左端非零位右端切上}(x) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するとする。
1. \(s_0 = 0\)ならば、\(\textbf{左端非零位右端切上}(x) = 1,0\)である。
2. \(s_0 \neq 0\)ならば、\(\textbf{左端非零位右端切上}(x) = ((1+1,1),0,1),0,0\)である。
\(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するならば、\(\textbf{左端非零位右端切上}(x) = (\textbf{非零位右端切上}(z_0)),0,0\)である。

要するに\(x\)を超限変数の拡張とみなして成分が\(0\)でない引数のうち左端を更に超限変数の拡張とみなして非零位右端切上を行い残りの成分を\(0\)にする写像である。

構成可能性[]

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{上界} \colon DT^2 & \to & DT \\ (x,y) & \mapsto & \textbf{上界}(x,y) \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(\textbf{右端}(\textbf{非零位}(y)) = 0\)ならば、\(\textbf{上界}(x,y) = x\)である。
\(\textbf{右端}(\textbf{非零位}(y)) \neq 0\)とする。
1. \(x < \textbf{非零位右端変更}(y,1)\)ならば、\(\textbf{上界}(x,y) = \textbf{非零位右端変更}(y,1)\)である。
2. \(\textbf{非零位右端変更}(y,1) \leq x\)かつ\(x < \textbf{左端非零位右端切上}(y)\)とする。
  1. \(x = \textbf{非零位右端変更}(y,\textbf{成分}(x,\textbf{右端}(\textbf{非零位}(y))))\)ならば、\(\textbf{上界}(x,y) = x\)である。
  2. \(x \neq \textbf{非零位右端変更}(y,\textbf{成分}(x,\textbf{右端}(\textbf{非零位}(y))))\)ならば、\(\textbf{上界}(x,y) = \textbf{非零位右端変更}(y,\textbf{増加}(\textbf{成分}(x,\textbf{右端}(\textbf{非零位}(y)))))\)である。
3. 上記のいずれの場合でもないならば、\(\textbf{上界}(x,y) = x\)である。

要するに\(x\)の上界であって、\(y\)を超限変数の拡張とみなしたて\(0\)番目の引数を\(1\)に変更し成分が\(0\)でない\(0\)番目以外の引数のうち右端を変更して得られるものが存在する場合に、その最小値を取得する写像である。

\((x,y) \in DT^2\)に関する「\(x\)が\(y\)未満で非零位構成可能である」という関係と「\(x\)の各成分が\(y\)未満で非零位構成可能である」という関係と、\((s,y) \in T \times DT\)に関する「\(s\)が\(y\)未満で非零位構成可能である」という関係を、以下のように同時に再帰的に定める：

\(x\)が\(y\)未満で非零位構成可能であることの定義

\(\textbf{零位}(y) = 0\)とする。
1. \(\textbf{左端非零位右端切上}(y) \leq x\)ならば、\(x\)が\(y\)未満で非零位構成可能であることは\(x\)の各成分が\(y\)未満で非零位構成可能であることと同値である。
2. \(x < \textbf{左端非零位右端切上}(y)\)とする。
  1. \(\textbf{右端}(y) = 0\)ならば、\(x\)が\(y\)未満で非零位構成可能でない。
  2. \(\textbf{右端}(y) \neq 0\)ならば、\(x\)が\(y\)未満で非零位構成可能であることは\(\textbf{成分}(\textbf{上界}(x,y),\textbf{右端}(y))\)が\(y\)未満で非零位構成可能であることと同値である。
\(\textbf{零位}(y) \neq 0\)ならば、\(x\)が\(y\)未満で非零位構成可能であることは\(x\)が\(\textbf{零位変更}(y,0)\)未満で非零位構成可能であることと同値である。

\(x\)の各成分が\(y\)未満で非零位構成可能であることの定義

\(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するならば、\(x\)の各成分が\(y\)未満で非零位構成可能であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
1. \(s_0\)が\(y\)未満で非零位構成可能である。
2. \(s_1\)が\(y\)未満で非零位構成可能である。
\(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するならば、\(x\)の各成分が\(y\)未満で非零位構成可能であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
1. \(z_0\)が\(y\)未満で非零位構成可能である。
2. \(z_1\)の各成分が\(y\)未満で非零位構成可能である。

\(s\)が\(y\)未満で非零位構成可能であることの定義

\(\textbf{零位}(y) = 0\)とする。
1. \(\textbf{右端}(y) = 0\)ならば、\(s\)が\(y\)未満で非零位構成可能でない。
2. \(\textbf{右端}(y) \neq 0\)とする。
  1. \(s < \textbf{零位}(\textbf{右端}(y))\)とする。
    1. \(s = 0\)ならば、\(s\)が\(y\)未満で非零位構成可能である。
    2. \(s = \textbf{四}(x)\)を満たす\(x \in DT\)が存在するならば、\(s\)が\(y\)未満で非零位構成可能であることは\(x\)が\(y\)未満で非零位構成可能であることと同値である。
    3. \(s = \textbf{四}(x)+u\)を満たす\((x,u) \in DT \times T\)が存在するならば、\(s\)が\(y\)未満で非零位構成可能であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
      1. \(\textbf{四}(x)\)が\(y\)未満で非零位構成可能である。
      2. \(u\)が\(y\)未満で非零位構成可能である。
  2. \(\textbf{零位}(\textbf{右端}(y)) \leq s\)ならば、\(s\)が\(y\)未満で非零位構成可能でない。
\(\textbf{零位}(y) \neq 0\)ならば、\(s\)が\(y\)未満で非零位構成可能であることは\(s\)が\(\textbf{零位変更}(y,0)\)未満で非零位構成可能であることと同値である。

これは超限変数の時には不要だった関係である。これを導入しないと、超限変数の時には不可能だった非零位のネストを考えると本来非標準系であってほしい\(\textbf{四}((\textbf{四}((\textbf{四}(((1+1,1),0,1),0,0),1),0,0),1),0,0)\)が標準形となり自明な無限ループが生じる。

\((x,y) \in DT^2\)に関する「\(x\)が\(y\)に属す」という関係を以下のように再帰的に定める：

\(y = t_0,t_1\)を満たす\((t_0,t_1) \in T^2\)が存在するならば、\(x\)が\(y\)に属すことは以下のいずれかが成り立つことと同値である：
1. \(x = s,0\)を満たす\(s \in T\)が存在するならば、\(x\)が\(y\)に属すことは\(s = t_1\)と同値である。
2. \(x = s,1\)を満たす\(s \in T\)が存在するならば、\(x\)が\(y\)に属すことは\(s = t_0\)と同値である。
3. 上記のいずれの場合でもないならば、\(x\)が\(y\)に属さない。
\(y = (w_0),w_1\)を満たす\((w_0,w_1) \in DT^2\)が存在するならば、\(x\)が\(y\)に属すことは以下のいずれかが成り立つことと同値である：
1. \(x = w_0\)である。
2. \(x\)が\(w_1\)に属す。

要するに、\(x\)と\(y\)を超限変数の拡張とみなして\(x\)が\(y\)に属するかを判定する関係である。

\((x,y) \in T \times DT\)に関する「\(x\)が\(y\)で零位構成可能である」という関係と\((s,y) \in T \times DT\)に関する「\(s\)が\(y\)で零位構成可能である」という関係を以下のように同時に再帰的に定める：

\(x\)が\(y\)で零位構成可能であることの定義

\(\textbf{右端}(y) = 0\)ならば、\(s\)が\(y\)で零位構成可能でない。
\(\textbf{右端}(y) \neq 0\)とする。
1. \(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するならば、\(x\)が\(y\)で零位構成可能であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
  1. \(s_0\)が\(y\)で零位構成可能である。
  2. \(s_0 < \textbf{零位}(\textbf{右端}(y))\)であるかまたは\(1,s_0\)が\(\textbf{非右端}(y)\)に属す。
  3. \(s_1\)が\(y\)で零位構成可能である。
  4. \(s_1 < \textbf{零位}(\textbf{右端}(y))\)であるかまたは\(0,s_1\)が\(\textbf{非右端}(y)\)に属す。
2. \(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するならば、\(x\)が\(y\)で零位構成可能であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
  1. \(z_0\)が\(y\)で零位構成可能である。
  2. \(\textbf{零位}(z_0) < \textbf{零位}(\textbf{右端}(y))\)であるかまたは\(z_0\)が\(\textbf{非右端}(y)\)に属す。
  3. \(z_1\)が\(y\)で零位構成可能である。

\(s\)が\(y\)で零位構成可能であることの定義

\(s = 0\)ならば、\(s\)が\(y\)で零位構成可能である。
\(s = \textbf{四}(x)\)を満たす\(x \in DT\)が存在するとする。
1. \(s \leq \textbf{四}(\textbf{非右端}(x))\)ならば、\(s\)が\(y\)で零位構成可能である。
2. \(\textbf{四}(\textbf{非右端}(x)) < s\)とする。
  1. \(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するならば、\(s\)が\(y\)で零位構成可能であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
    1. \(s_0\)が\(y\)で零位構成可能である。
    2. \(s_1\)が\(y\)で零位構成可能である。
  2. \(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するならば、\(s\)が\(y\)で零位構成可能であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
    1. \(z_0\)が\(y\)で零位構成可能である。
    2. \(z_1\)が\(y\)で零位構成可能である。
\(s = \textbf{四}(x) + u\)を満たす\((x,u) \in DT \times T\)が存在するならば、\(s\)が\(y\)で零位構成可能であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
1. \(\textbf{四}(x)\)が\(y\)で零位構成可能である。
2. \(u\)が\(y\)で零位構成可能である。

こちらは超限変数の場合と同様の構成可能性判定である。

標準形[]

\(x \in DT\)に関する「\(x\)が簡約である」という関係を以下のように再帰的に定める：

\(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するならば、\(x\)は簡約である。
\(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するならば、\(x\)が簡約であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
1. \(z_0\)は簡約である。
2. \(z_1\)は簡約である。
3. \(\textbf{零位}(z_0) \neq 0\)である。
4. \(z_1 = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するならば、\(1,0 < \textbf{零位変更}(z_0,0)\)である。
5. \(z_1 = (z_2),z_3\)を満たす\((z_2,z_3) \in DT^2\)が存在するならば、\(\textbf{零位変更}(z_2,0) < \textbf{零位変更}(z_0,0)\)である。

要するに\(x\)を超限変数の拡張とみなすために、値が\(0\)の引数を表記していないという性質と引数が順番通りに並んでいるという性質を判定するための関係である。

\(s \in T\)に関する「\(s\)が標準形である」という関係と\(x \in DT\)に関する「\(x\)が標準形である」という関係を以下のように同時に再帰的に定める：

\(s\)が標準形であることの定義：

\(s = 0\)ならば、\(s\)は標準形である。
\(s = \textbf{四}(x)\)を満たす\(x \in DT\)が存在するとする。
1. \(\textbf{右端}(x) = 0\)ならば、\(s\)が標準形であることは\(x = 0,0\)であることと同値である。
2. \(\textbf{右端}(x) \neq 0\)ならば、\(s\)が標準形であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
  1. \(x\)が標準形である。
  2. \(\textbf{四}(\textbf{非右端}(x))\)が標準形である。
  3. \(\textbf{零位}(\textbf{右端}(x))\)が\(x\)で零位構成可能である。
\(s = \textbf{四}(x_0) + \textbf{四}(x_1)\)を満たす\((x_0,x_1) \in DT^2\)が存在するならば、\(s\)が標準形であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
1. \(\textbf{四}(x_0)\)が標準形である。
2. \(\textbf{四}(x_1)\)が標準形である。
3. \(x_1 \leq x_0\)である。
\(s = \textbf{四}(x_0) + \textbf{四}(x_1) + t\)を満たす\((x_0,x_1,t) \in DT^2 \times T\)が存在するならば、\(s\)が標準形であることは以下の全てが成り立つことと同値である：
1. \(\textbf{四}(x_0) + \textbf{四}(x_1)\)が標準形である。
2. \(\textbf{四}(x_1) + t\)が標準形である。

\(x\)が標準形であることの定義：

\(x = s_0,s_1\)を満たす\((s_0,s_1) \in T^2\)が存在するならば、\(x \in DT\)が標準形は以下の全てが成り立つことと同値である：
1. \(s_0\)が標準形である。
2. \(s_1\)が標準形である。
\(x = (z_0),z_1\)を満たす\((z_0,z_1) \in DT^2\)が存在するならば、\(x \in DT\)が標準形は以下の全てが成り立つことと同値である：
1. \(z_0\)が標準形である。
2. \(z_1\)が標準形である。
3. \(z_0\)が\(z_0\)未満で非零位構成可能である。

標準形である\(s \in T\)全体の集合を\(OT\)と置く。\((OT,<)\)が順序数表記であるかどうか不明だが、順序数表記であると期待している。

基本列[]

\(s \in T\)に対し\(\textbf{字数}(s) \in \mathbb{N}\)を\(s\)の文字列としての長さと定める。

写像 \begin{eqnarray*} [ \ ] \colon T \times \mathbb{N} & \to & OT \\ (s,n) & \mapsto & s[n] \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(s = 0\)ならば、\(s[n] = 0\)である。
\(s \neq 0\)ならば、\(s[n]\)は以下を全て満たす唯一の\(t \in OT\)である：
1. \(t < s\)かつ\(\textbf{字数}(t) \leq \textbf{字数}(s) + 9n\)である。
2. \(t < u\)かつ\(u < s\)かつ\(\textbf{字数}(u) \leq \textbf{字数}(s) + 9n\)を満たす\(u \in OT\)は存在しない。

要するに\(\textbf{次数}\)を少し変形したものをノルムとする基本列である。

巨大関数[]

部分写像 \begin{eqnarray*} \textbf{映姫} \colon T \times \mathbb{N}^2 & \to & \mathbb{N} \\ (s,m,n) & \mapsto & s \textbf{映} m \textbf{姫} n \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(m = 0\)ならば\(s \textbf{映} m \textbf{姫} n = n\)である。
\(m = 1\)とする。
1. \(s = 0\)ならば\(s \textbf{映} m \textbf{姫} n = n+1\)である。
2. \(s \neq 0\)ならば\(s \textbf{映} m \textbf{姫} n = s[n] \textbf{映} n \textbf{姫} n\)である。
\(m > 1\)ならば\(s \textbf{映} m \textbf{姫} n = s \textbf{映} 1 \textbf{姫} s \textbf{映} m-1 \textbf{姫} n\)である。

\(\textbf{映姫}\)は全域かどうか不明だが、全域であると期待している。もし\((OT,<)\)が順序数表記であるならば、\(\textbf{映姫}\)は全域である。

写像 \begin{eqnarray*} \textbf{季} \colon \mathbb{N} & \to & DT \\ n & \mapsto & \textbf{季} n \end{eqnarray*} を以下のように再帰的に定める：

\(n = 0\)ならば、\(\textbf{季} n = \textbf{四}(1),1\)である。
\(n \neq 0\)ならば、\(\textbf{季} n = (\textbf{季} n-1),\textbf{四}(1),1\)である。

要するに\(OT\)の限界を構成するための写像である。

部分写像 \begin{eqnarray*} \textbf{王} \colon \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ n & \mapsto & n \textbf{王} \end{eqnarray*} を\(n \textbf{王} = \textbf{四}(\textbf{季} n) \textbf{映} 1 \textbf{姫} n\)と定める。\(\textbf{王}\)は全域かどうか不明だが、全域であると期待している。もし\(\textbf{映姫}\)が全域であるならば、\(\textbf{王}\)は全域である。

巨大数[]

p進大好きbotは、\(10 \textbf{王} \textbf{王} \textbf{王} \textbf{王} \textbf{王} \textbf{王} \textbf{王} \textbf{王} \textbf{王} \textbf{王}\)を貴方がきちんと私の定義を理解しているか見に来たので数と名付けた。

計算例[]

\begin{eqnarray*} \textbf{季} 0 & = & \textbf{四}(1),1 = \textbf{四}_0(\textbf{四}_0(0)),\textbf{四}_0(0) \\ & = & \textbf{四}_{()}(\textbf{四}_{()}(())), \textbf{四}_{()}(()) = \textbf{四}((),\textbf{四}((),())),\textbf{四}((),()) \\ \textbf{季} 1 & = & (\textbf{季} 0),\textbf{四}(1),1 = (\textbf{季} 0),\textbf{季} 0 \\ & = & (\textbf{四}((),\textbf{四}((),())),\textbf{四}((),())),\textbf{四}((),\textbf{四}((),())),\textbf{四}((),()) \\ \textbf{季} 2 & = & (\textbf{季} 1),\textbf{四}(1),1 = (\textbf{季} 1),\textbf{季} 0 \\ & = & ((\textbf{四}((),\textbf{四}((),())),\textbf{四}((),())),\textbf{四}((),\textbf{四}((),())),\textbf{四}((),())),\textbf{四}((),\textbf{四}((),())),\textbf{四}((),()) \end{eqnarray*}

解析[]

p進大好きbotは期待された挙動としてユーザーブログ:P進大好きbot/四関数観察日記を公開している。

計算機[]

Naruyoko, 四 function Implementation, Github page.（2022年5月16日現在の版のjavascriptによる実装）

文献[]

↑ ^1.0 ^1.1 p進大好きbot, "第４回東方巨大数投稿用", ユーザーブログ, 2021年8月4日時点の版.
↑ p進大好きbot の巨大数研究 Wikiユーザーページ
↑ 四季映姫・ヤマザナドゥ - ピクシブ百科事典
↑ 西宮七南の巨大数研究 Wikiユーザーページ
↑ Naruyoko の巨大数研究 Wikiユーザーページ
↑ 西宮七南によるコメント
↑ Naruyoko によるコメント
↑ 第一ソースであるブログの2021年8月4日時点の版と現在の版（最終更新日2022年5月16日）の差分

四関数

目次