回文素数 (Palindromic Prime) とは、回文数な素数である。つまり、左から読んでも右から読んでも同じ素数になる[1]。全ての基数に対して回文素数を定義できるが、以下断りが無い場合は十進数を前提として記述する。
性質[]
1桁の素数である\(2,\ 3,\ 5,\ 7\)は、その定義上回文素数となる。偶数桁の回文数は\(11\)の倍数になるため、偶数桁の回文素数は\(11\)に限られる。全ての桁が同じ数字で構成される回文素数はレピュニットに限られる。
エマープは定義の似ている素数のグループであるが、エマープは逆読みで異なる数となる素数を指す言葉なので、エマープに回文素数は含まれない[2]。また、回文素数の一部は二面素数と四面素数である[3][4]。
回文素数は極めて少なく、全ての基数においてほとんど全ての回文数は合成数である[5]。
ある素数\(p\)が\(q\)桁であり、桁数\(q\)が\(r\)桁である時、\(p,\ q,\ r\)全てが回文素数であるものを三重回文素数 (Triply-palindromic prime) と呼ぶ。最小の例は\(10000500001\)である。\(10000500001\)は\(11\)桁の回文素数であり、\(11\)は\(2\)桁の回文素数である[6]。
大きな回文素数[]
| 正確な値 | 表記 | |
|---|---|---|
| 1 | \(10^{1888529}-10^{944264}-1\) | \(\underbrace{999\cdots999}_{944264}8\underbrace{999\cdots999}_{944264}\) |
| 2 | \(10^{1234567}-20342924302\times10^{617278}-1\) | \(\underbrace{999\cdots999}_{617278}79657075697\underbrace{999\cdots999}_{617278}\) |
| 3 | \(10^{1234567}-3626840486263\times10^{617277}-1\) | \(\underbrace{999\cdots999}_{617277}6373159513736\underbrace{999\cdots999}_{617277}\) |
| 4 | \(10^{1234567}-4708229228074\times10^{617277}-1\) | \(\underbrace{999\cdots999}_{617277}5291770771925\underbrace{999\cdots999}_{617277}\) |
| 5 | \(10^{490000}+3\times\frac{(10^{7383}-1)}{9}\times10^{241309}+1\) | \(1\underbrace{000\cdots000}_{241308}\underbrace{333\cdots333}_{7383}\underbrace{000\cdots000}_{241308}1\) |
その他[]
回文素数の逆数和はホナカー定数 (Honaker's constant) に収束する。\(10^{21}\)以下の回文素数の逆数和によれば、ホナカー定数は\(1.323982146806\cdots\)である。次の数字は\(51\)と続くと予想される[8]。
出典[]
- ↑ "Palindromic Prime". Wolfram MathWorld.
- ↑ "Emirp". Wolfram MathWorld.
- ↑ "Dihedral Prime".Wolfram MathWorld.
- ↑ "Tetradic Number".Wolfram MathWorld.
- ↑ William D. Banks, Derrick N. Hart, Mayumi Sakata. "Almost all palindromes are composite". arXiv, math.NT, 2004. arXiv:math/0405056v1
- ↑ "10000500001". The PrimePages.
- ↑ "Palindrome". The PrimePages.
- ↑ A118064: Decimal expansion of the sum of the reciprocals of the palindromic primes A002385 (Honaker's constant). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.