基本列

順序数あるいは順序数表記の項の基本列 (fundamental sequence) とは，可算な極限順序数（あるいはそれに対応した表記）$\alpha$に対して定義される，狭義単調増加で自然数の添え字を持ち$\alpha$に収束する順序数（あるいは項）の列である．基本列の集まりを用いて急増加関数やハーディ階層を定義することができるため，全域な巨大関数の研究において非常に重要な役割を持つ．

文脈によっては長さ0，1，ないし一般の正則基数$\kappa$である場合も基本列と呼ぶことがある．

更に巨大数研究においては，順序数表記の構造を持たない表記に対しても同様の機能を持つ可算列を基本列や展開規則と呼ぶことがある．その場合は順序が定義されていないため，基本列からいくつかの方法で2項関係を定め順序の代わりに用いる．もちろんその2項関係が整列順序である保証は必ずしもなく，実際しばしば整礎でないことがある．整礎でない場合，そのような基本列を用いて急増加関数やハーディ階層の類似として定義される関数階層は基本的に定義が意味をなさない．（計算過程に無限ループを含んだり，一意に値を特徴付けることができない不完全な定義となる）

定義

$\alpha$は可算な0でない極限順序数（従って$\omega \leq \alpha <\omega _{1}$）とする．このとき，$\alpha$の共終数は$\omega$である．すなわち，以下を満たす順序数の列$\{\alpha _{n}\}_{n<\omega }$が存在する．

1. 順序数列$\{\alpha _{n}\}_{n<\omega }$は狭義単調増加．
   すなわち，任意の自然数$n<\omega$に対して$\alpha _{n}<\alpha _{n+1}$．
2. $\{\alpha _{n}\}_{n<\omega }$の極限は$\alpha$．
   すなわち，$\lim _{n\to \omega }\alpha _{n}:=\sup\{\alpha _{n}\mid n<\omega \}=\alpha$．

このような順序数列を，$\alpha$に収束する単調$\omega$-列と呼ぶ．

$\mathfrak{X}$を適当な大きさの可算な順序数とおく．いま，何らかの方法で$\omega \leq \alpha \leq {\mathfrak {X}}$である極限順序数に対して，それぞれ$\alpha$に収束する単調$\omega$-列を1つ定めたとする．このとき，それぞれの数列を$\{\alpha [n]\}_{n<\omega }$と書き，$\alpha$の基本列と呼ぶ．

注意：$\alpha$に収束する単調な$\omega$-列は一般に複数あるため，基本列を構成する方法も原理的に複数存在しており，何らかの特徴づけによって標準的(canonical)に基本列を与えられているわけではない．ただし，ある程度の範囲において既存の基本列の定義は一致している．

例

括弧の中はその定義で基本列が与えられた極限順序数の上限を表す．

• ワイナーの基本列（ε₀）
• ヴェブレン階層での基本列（Γ₀）
• 多変数ヴェブレン関数の極限順序数に対する基本列（SVO）
• 超限変数ヴェブレン関数の極限順序数に対する基本列（LVO）

拡張

上述の説明においては基本列は共終数が$\omega$の順序数に対してしか定義できないが，定義を拡張することで列の長さが$\omega$でない場合も基本列ということがある．この場合の定義でも，順序数に対する基本列は他のなんらかの方法によって割り当てられたものである．

共終数$\kappa$の順序数$\alpha$の基本列は，以下を満たす写像$\kappa \to \alpha ,\ \gamma \mapsto \alpha [\gamma ]$である．

• 任意の$\gamma <\delta <\kappa$に対し$\alpha [\gamma ]<\alpha [\delta ]$である．
• $\alpha$は$\{\alpha [\gamma ]\mid \gamma \in \kappa \}$を含む最小の順序数である．

この定義に則ると，$0$の基本列は空写像である恒等写像$0\to 0$に限られ，後続順序数$\alpha+1$の基本列は写像$1\to \alpha +1,\ 0\mapsto \alpha$（つまり$1 = \{0\}$を定義域とし$\alpha =\{\beta \mid \beta <\alpha \}$を終域とする写像であって定義域の唯一の元$0$を$\alpha$に送る唯一のもの）に限られる．

例

カッコの中はその定義で基本列が与えられた可算順序数の上限と基本列が与えられた順序数全体の集合を表す．

• ブーフホルツのψ関数の基本列（$\psi_0(\Omega_{\omega})$, $C_{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})$）
• 拡張ブーフホルツのψ関数の基本列（$\psi_0(\Omega_{\Omega_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}})$, $C_{0}(\Omega _{\Omega _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}})$）

展開規則

As we clarified above, the notion of an expansion rule of a general notation does not admit an agreed-upon mathematical formulation. One typical mistake in googology is the confounding of a notation with an expansion rule with an ordinal notation. As a Japanese Googology Wiki user p進大好きbot has pointed out, those two notions are not equivalent at any rate.

One important aspect of an ordinal notation is that every term canonically corresponds to the ordinal given as the order type. On the other hand, a term in a notation with an expansion rule does not necessarily correspond to an ordinal in a way compatible with the expansion. However, the correspondence is at least unique under a suitable formulation.

For example, the following is a formulation given by p進大好きbot. Let \(T\) be a set. An expansion rule on \(T\) is a map \([] \colon T \times \mathbb{N} \to T\). Then the map \(o \colon T \to \omega_1\) satisfying the following is unique under mild assumptions:

1. If \(t = t[n]\) for any \(n \in \mathbb{N}\), then \(o(t) = 0\).
2. If \(t \neq t[0] = t[n]\) for any \(n \in \mathbb{N}\), then \(o(t) = o(t[0])+1\).
3. Otherwise, then \(o(t) = \sup_{n \in \mathbb{N}} o(t[n])\).

We note that \(o\) is not even unique if we do not assume any mild assumptions. A similar chracterisation works also when we deal with an expansion rule formulated as a partial function \([] \colon T \times \mathbb{N} \to T\). For example, replace the conditions in the following way:

1. If \((t,0)\) does not belong to the domain of \([]\), then \(o(t) = 0\).
2. If \((t,n)\) belongs to the domain of \([]\) for any \(n \in \mathbb{N}\) and \(t[0] \neq t[1]\), then \(o(t) = \sup_{n \in \mathbb{N}} o(t[n])\).
3. Otherwise, then \(o(t) = o(t[0])+1\).

It is also a typical mistake that \(o\) always exists, and there are many typical circular logics in googology on the termination of a given notation based on the wrong belief.

Assuming the existence of \(o\) for a given notation, we can consider that a term "expresses" an ordinal. In that sense, we refer to "the corresponding ordinal" for a term in a notation which is not an ordinal notation, e.g. バシク行列システム.

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