大偽行列システム

大偽行列システム は 108Hassiumが2019年5月12日に公開した巨大数生成システムである^[1]。第3回東方巨大数のエントリーであるE3:B-01-Hs、E3:B-02-Hsの定義に使用された。E3:B-02-Hsは殿堂入りしており、大偽行列システムの停止性は不明である。

定義[]

表記[]

\(k,m,n:\)自然数
\(a_{x,y}:\)非負整数
\(S_x=(a_{x,0},a_{x,1},...a_{x,m})\)

正規形\(:S_0,S_1,...S_k[n]\)

計算法[]

\(Z:\)零ベクトル
\(b,c,e,x,y:\)非負整数

rule1:\(Z[n]=n+1\)

rule2:\(S_0S_1...S_{k-1}Z[n]=S_0S_1...S_{k-1}[n+1]\)

rule3:

\(dim(x)=Max\{b|a_{x,b}>0\}\)
\(p_0(x)=Max\{b|(a_{b,0}+1=a_{x,0})∧(b<x)\}\)
\(p_{y+1}(x)=Max\{b|(a_{b,y+1}+1=a_{x,y+1})∧(b<x)∧(∃c[p_y^c(x)=b])\}\)
\(r=Max\{b|(∀y,y≤dim(k)[∃c[p_y^c(k)=b]])∧\)

\(((p_{dim(k)}(b)≠b-1)∨(∃e[(e>dim(k))∧(p_e(b)≠b-1)∧(a_{b,e}>0)]))\}\)

\({\Delta}=D_0D_1...D_{k-1-r}\)

\(D_x=(d_{x,0},d_{x,1},...d_{x,m})\)

\(d_{0,y}=\begin{cases}a_{k,y}-a_{r,y}&\text{if}　y<dim(k)\\a_{k,y}-a_{r,y}-1&\text{if}　y=dim(k)\\0&\text{otherwise}\end{cases}\)
\(d_{x+1,y}=\begin{cases}d_{0,y}&\text{if}　∃b[p_y^b(r+x+1)=r]\\0&\text{otherwise}\end{cases}\)

\(A=S_0S_1...S_{r-1}\)
\(B_0=S_rS_{r+1}...S_{k-1}\)
\(B_b=B_0+b×{\Delta}\)

\(S_0S_1...S_k[n]=AB_0B_1...B_n[n]\)

命名[]

\(B_1(x)=(0,0,0)(1,1,1)[x]\)
\(B_2(x)=(\underbrace{0,0,...0}_x)(\underbrace{1,1,...1}_x)[x]\)
E3:B-01-Hs\(=B_1^{108}(108)\)
E3:B-02-Hs\(=B_2^{108}(108)\)

計算例[]

\((0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,3,0)(4,4,4,0)(5,0,0,0)(4,4,4,0)[1]\)

\(dim(6)=2\)
\(p_0(6)=3,p_0^2(6)=2,p_0^3(6)=1,p_0^4(6)=0\)
\(p_1(6)=3,p_1^2(6)=2,p_1^3(6)=1,p_1^4(6)=0\)
\(p_2(6)=3,p_2^2(6)=2,p_2^3(6)=1,p_2^4(6)=0\)
\(r=2　(e=3)\)
\(D_0=(2,2,1,0)\)
\({\Delta}=(2,2,1,0)(2,2,1,0)(2,2,1,0)(2,0,0,0)\)
\(A=(0,0,0,0)(1,1,1,1)\)
\(B_0=(2,2,2,1)(3,3,3,0)(4,4,4,0)(5,0,0,0)\)
\(B_1=(4,4,3,1)(5,5,4,0)(6,6,5,0)(7,0,0,0)\)

\(\begin{pmatrix} 0&1&2&3&4&5&4\\ 0&1&2&3&4&0&4\\ 0&1&2&3&4&0&4\\ 0&1&1&0&0&0&0\\ \end{pmatrix}[1]= \begin{pmatrix} 0&1&2&3&4&5&4&5&6&7\\ 0&1&2&3&4&0&4&5&6&0\\ 0&1&2&3&4&0&3&4&5&0\\ 0&1&1&0&0&0&1&0&0&0\\ \end{pmatrix}[1]\)

評価[]

以下は108Hassium 本人による解析だが、使用された\(\psi\)の定義が不明である。

1行[]

\begin{array}{ll} (0)(1)&=&{\omega}\\ (0)(1)(0)(1)&=&{\omega×2}\\ (0)(1)(1)&=&{\omega^2}\\ (0)(1)(1)(2)&=&{\omega^{\omega}}\\ (0)(1)(1)(2)(1)(2)&=&{\omega^{\omega×2}}\\ (0)(1)(1)(2)(2)&=&{\omega^{\omega^2}}\\ (0)(1)(1)(2)(2)(3)&=&{\omega^{\omega^{\omega}}}\\ (0)(1)(2)&=&{\varepsilon_0}\\ (0)(1)(2)(1)&=&{\varepsilon_0×{\omega}}\\ (0)(1)(2)(1)(2)&=&{\varepsilon_0×{\omega^{\omega}}}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(3)&=&{\varepsilon_0^2}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)&=&{\varepsilon_0^{\omega}}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)(3)(4)&=&{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}\\ (0)(1)(2)(2)&=&{\varepsilon_1}\\ (0)(1)(2)(2)(1)(2)(3)&=&{\varepsilon_1×{\varepsilon_0}}\\ (0)(1)(2)(2)(1)(2)(3)(3)&=&{\varepsilon_1^2}\\ (0)(1)(2)(2)(1)(2)(3)(3)(2)(3)(4)(4)&=&{\varepsilon_1^{\varepsilon_1}}\\ (0)(1)(2)(2)(2)&=&{\varepsilon_2}\\ (0)(1)(2)(2)(3)&=&{\varepsilon_{\omega}}\\ (0)(1)(2)(2)(3)(4)&=&{\varepsilon_{\varepsilon_0}}\\ (0)(1)(2)(3)&=&{\zeta_0}\\ (0)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)&=&{\zeta_0^2}\\ (0)(1)(2)(3)(2)&=&{\varepsilon_{\zeta_0+1}}\\ (0)(1)(2)(3)(2)(3)(4)(5)&=&{\varepsilon_{\zeta_0×2}}\\ (0)(1)(2)(3)(2)(3)(4)(5)(4)&=&{\varepsilon_{\varepsilon_{\zeta_0+1}}}\\ (0)(1)(2)(3)(3)&=&{\zeta_1}\\ (0)(1)(2)(3)(3)(4)&=&{\zeta_{\omega}}\\ (0)(1)(2)(3)(3)(4)(5)(6)&=&{\zeta_{\zeta_0}}\\ (0)(1)(2)(3)(4)&=&{\varphi(3,0)}\\ (0)(1)(2)(3)(4)(5)...&=&{\varphi({\omega},0)}\\ \end{array}

2行[]

2行以上の大偽行列システムの強さはの限界は知られていない。 \begin{array}{ll} (0,0)(1,1)&=&{\varphi({\omega},0)}={\psi_0({\Omega^{\omega}})}\\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}})^2}\\ (0,0)(1,1)(2,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}+1})}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(2,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}+2})}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}+{\Omega}})}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×2})}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(4,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×2+{\Omega^2}})}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(4,0)(5,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×3})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}+1})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}+{\Omega}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}+{\Omega×{\omega}}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(3,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}+{\Omega^2}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(3,1)(4,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×({\omega}+1)})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(3,1)(4,0)(3,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega+1}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(3,1)(4,0)(4,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\Omega}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,0)&=&{\psi_0({\psi_1(0)})}\\ \end{array}

改良[]

東方巨大数3の終了後、108Hassiumにより一部の不規則な挙動の改善を目的とした改良版の作成が試みられた。以下の定義は2019年10月18日^[2]に作成された最新版である。

表記[]

\(k,m,n:\)自然数
\(a_{x,y}:\)非負整数
\(S_x=(a_{x,0},a_{x,1},...a_{x,m})\)

正規形\(:S_0,S_1,...S_k[n]\)

定義[]

\(Z:\)零ベクトル
\(b,c,e,x,y:\)非負整数

rule1:\(Z[n]=n+1\)

rule2:\(S_0S_1...S_{k-1}Z[n]=S_0S_1...S_{k-1}[n+1]\)

rule3:

\(dim(x)=Max\{b|a_{x,b}>0\}\)
\(p_0(x)=Max\{b|(b<x)∧(a_{b,0}+1=a_{x,0})\}\)
\(p_{y+1}(x)=Max\{b|(b<x)∧(a_{b,0}+1=a_{x,0})∧(∃c[p_y^c(x)=b])\}\)
\(P_0(x)=Max\{b|(b<x)∧(a_{b,0}<a_{x,0})∧((P_0(b)≠b)∨(a_{b,0}=0))\}\)
\(P_{y+1}(x)=Max\{b|(a_{b,y+1}<a_{x,y+1})∧\)

\(((P_{y+1}(b)≠b-1)∨(a_{b,y+1}=0))∧(∃c[P_y^c(x)=b])\}\)

\(r=\begin{cases}Max\{b|∀y,y≥dim(k)[∃c[p_y^c(k)=b]]\}&\text{if}　a_{k-1,0}+1=a_{k,0}\\\\Max\{b|(∀y,y≥dim(k)[∃c[P_y^c(k)=b]])∨\\((∀y,y≥dim(k)[∃c[p_y^c(k)=b]])∧(∃c[(c>dim(k))∧\\(p_c(b)≠b-1)∧(a_{b,c}>0)]))\}&\text{otherwise}\end{cases}\)
\({\Delta}=D_0D_1...D_{k-1-r}\)

\(D_x=(d_{x,0},d_{x,1},...d_{x,m})\)

\(d_{0,y}=\begin{cases}a_{k,y}-a_{r,y}&\text{if}　y<dim(k)\\a_{k,y}-a_{r,y}-1&\text{if}　y=dim(k)\\0&\text{otherwise}\end{cases}\)
\(d_{x+1,y}=\begin{cases}d_{0,y}&\text{if}　∃b[P_y^b(r+x+1)=r]\\0&\text{otherwise}\end{cases}\)