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## 定義

### 表記

• $$k,m,n:$$自然数
• $$a_{x,y}:$$非負整数
• $$S_x=(a_{x,0},a_{x,1},...a_{x,m})$$

• 正規形$$:S_0,S_1,...S_k[n]$$

### 計算法

• $$Z:$$零ベクトル
• $$b,c,e,x,y:$$非負整数
rule1:$$Z[n]=n+1$$
rule2:$$S_0S_1...S_{k-1}Z[n]=S_0S_1...S_{k-1}[n+1]$$
rule3:
• $$dim(x)=Max\{b|a_{x,b}>0\}$$
• $$p_0(x)=Max\{b|(a_{b,0}+1=a_{x,0})∧(b<x)\}$$
• $$p_{y+1}(x)=Max\{b|(a_{b,y+1}+1=a_{x,y+1})∧(b<x)∧(∃c[p_y^c(x)=b])\}$$
• $$r=Max\{b|(∀y,y≤dim(k)[∃c[p_y^c(k)=b]])∧$$
$$((p_{dim(k)}(b)≠b-1)∨(∃e[(e>dim(k))∧(p_e(b)≠b-1)∧(a_{b,e}>0)]))\}$$
• $${\Delta}=D_0D_1...D_{k-1-r}$$
• $$D_x=(d_{x,0},d_{x,1},...d_{x,m})$$
• $$d_{0,y}=\begin{cases}a_{k,y}-a_{r,y}&\text{if} y<dim(k)\\a_{k,y}-a_{r,y}-1&\text{if} y=dim(k)\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$
• $$d_{x+1,y}=\begin{cases}d_{0,y}&\text{if} ∃b[p_y^b(r+x+1)=r]\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$
• $$A=S_0S_1...S_{r-1}$$
• $$B_0=S_rS_{r+1}...S_{k-1}$$
• $$B_b=B_0+b×{\Delta}$$
$$S_0S_1...S_k[n]=AB_0B_1...B_n[n]$$

### 命名

• $$B_1(x)=(0,0,0)(1,1,1)[x]$$
• $$B_2(x)=(\underbrace{0,0,...0}_x)(\underbrace{1,1,...1}_x)[x]$$
• E3:B-01-Hs$$=B_1^{108}(108)$$
• E3:B-02-Hs$$=B_2^{108}(108)$$

## 計算例

• $$(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,3,0)(4,4,4,0)(5,0,0,0)(4,4,4,0)[1]$$
• $$dim(6)=2$$
• $$p_0(6)=3,p_0^2(6)=2,p_0^3(6)=1,p_0^4(6)=0$$
• $$p_1(6)=3,p_1^2(6)=2,p_1^3(6)=1,p_1^4(6)=0$$
• $$p_2(6)=3,p_2^2(6)=2,p_2^3(6)=1,p_2^4(6)=0$$
• $$r=2 (e=3)$$
• $$D_0=(2,2,1,0)$$
• $${\Delta}=(2,2,1,0)(2,2,1,0)(2,2,1,0)(2,0,0,0)$$
• $$A=(0,0,0,0)(1,1,1,1)$$
• $$B_0=(2,2,2,1)(3,3,3,0)(4,4,4,0)(5,0,0,0)$$
• $$B_1=(4,4,3,1)(5,5,4,0)(6,6,5,0)(7,0,0,0)$$

$$\begin{pmatrix} 0&1&2&3&4&5&4\\ 0&1&2&3&4&0&4\\ 0&1&2&3&4&0&4\\ 0&1&1&0&0&0&0\\ \end{pmatrix}[1]= \begin{pmatrix} 0&1&2&3&4&5&4&5&6&7\\ 0&1&2&3&4&0&4&5&6&0\\ 0&1&2&3&4&0&3&4&5&0\\ 0&1&1&0&0&0&1&0&0&0\\ \end{pmatrix}[1]$$

## 評価

### 1行

\begin{array}{ll} (0)(1)&=&{\omega}\\ (0)(1)(0)(1)&=&{\omega×2}\\ (0)(1)(1)&=&{\omega^2}\\ (0)(1)(1)(2)&=&{\omega^{\omega}}\\ (0)(1)(1)(2)(1)(2)&=&{\omega^{\omega×2}}\\ (0)(1)(1)(2)(2)&=&{\omega^{\omega^2}}\\ (0)(1)(1)(2)(2)(3)&=&{\omega^{\omega^{\omega}}}\\ (0)(1)(2)&=&{\varepsilon_0}\\ (0)(1)(2)(1)&=&{\varepsilon_0×{\omega}}\\ (0)(1)(2)(1)(2)&=&{\varepsilon_0×{\omega^{\omega}}}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(3)&=&{\varepsilon_0^2}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)&=&{\varepsilon_0^{\omega}}\\ (0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)(3)(4)&=&{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}\\ (0)(1)(2)(2)&=&{\varepsilon_1}\\ (0)(1)(2)(2)(1)(2)(3)&=&{\varepsilon_1×{\varepsilon_0}}\\ (0)(1)(2)(2)(1)(2)(3)(3)&=&{\varepsilon_1^2}\\ (0)(1)(2)(2)(1)(2)(3)(3)(2)(3)(4)(4)&=&{\varepsilon_1^{\varepsilon_1}}\\ (0)(1)(2)(2)(2)&=&{\varepsilon_2}\\ (0)(1)(2)(2)(3)&=&{\varepsilon_{\omega}}\\ (0)(1)(2)(2)(3)(4)&=&{\varepsilon_{\varepsilon_0}}\\ (0)(1)(2)(3)&=&{\zeta_0}\\ (0)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)&=&{\zeta_0^2}\\ (0)(1)(2)(3)(2)&=&{\varepsilon_{\zeta_0+1}}\\ (0)(1)(2)(3)(2)(3)(4)(5)&=&{\varepsilon_{\zeta_0×2}}\\ (0)(1)(2)(3)(2)(3)(4)(5)(4)&=&{\varepsilon_{\varepsilon_{\zeta_0+1}}}\\ (0)(1)(2)(3)(3)&=&{\zeta_1}\\ (0)(1)(2)(3)(3)(4)&=&{\zeta_{\omega}}\\ (0)(1)(2)(3)(3)(4)(5)(6)&=&{\zeta_{\zeta_0}}\\ (0)(1)(2)(3)(4)&=&{\varphi(3,0)}\\ (0)(1)(2)(3)(4)(5)...&=&{\varphi({\omega},0)}\\ \end{array}

### 2行

2行以上の大偽行列システムの強さはの限界は知られていない。 \begin{array}{ll} (0,0)(1,1)&=&{\varphi({\omega},0)}={\psi_0({\Omega^{\omega}})}\\ (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}})^2}\\ (0,0)(1,1)(2,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}+1})}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(2,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}+2})}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}+{\Omega}})}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×2})}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(4,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×2+{\Omega^2}})}\\ (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(4,0)(5,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×3})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}+1})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(2,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}+{\Omega}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}+{\Omega×{\omega}}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(3,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×{\omega}+{\Omega^2}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(3,1)(4,0)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega}×({\omega}+1)})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(3,1)(4,0)(3,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\omega+1}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(3,1)(4,0)(4,1)&=&{\psi_0({\Omega^{\Omega}})}\\ (0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(4,0)&=&{\psi_0({\psi_1(0)})}\\ \end{array}

## 改良

### 表記

• $$k,m,n:$$自然数
• $$a_{x,y}:$$非負整数
• $$S_x=(a_{x,0},a_{x,1},...a_{x,m})$$

• 正規形$$:S_0,S_1,...S_k[n]$$

### 定義

• $$Z:$$零ベクトル
• $$b,c,e,x,y:$$非負整数
rule1:$$Z[n]=n+1$$
rule2:$$S_0S_1...S_{k-1}Z[n]=S_0S_1...S_{k-1}[n+1]$$
rule3:
• $$dim(x)=Max\{b|a_{x,b}>0\}$$
• $$p_0(x)=Max\{b|(b<x)∧(a_{b,0}+1=a_{x,0})\}$$
• $$p_{y+1}(x)=Max\{b|(b<x)∧(a_{b,0}+1=a_{x,0})∧(∃c[p_y^c(x)=b])\}$$
• $$P_0(x)=Max\{b|(b<x)∧(a_{b,0}<a_{x,0})∧((P_0(b)≠b)∨(a_{b,0}=0))\}$$
• $$P_{y+1}(x)=Max\{b|(a_{b,y+1}<a_{x,y+1})∧$$
$$((P_{y+1}(b)≠b-1)∨(a_{b,y+1}=0))∧(∃c[P_y^c(x)=b])\}$$
• $$r=\begin{cases}Max\{b|∀y,y≥dim(k)[∃c[p_y^c(k)=b]]\}&\text{if} a_{k-1,0}+1=a_{k,0}\\\\Max\{b|(∀y,y≥dim(k)[∃c[P_y^c(k)=b]])∨\\((∀y,y≥dim(k)[∃c[p_y^c(k)=b]])∧(∃c[(c>dim(k))∧\\(p_c(b)≠b-1)∧(a_{b,c}>0)]))\}&\text{otherwise}\end{cases}$$
• $${\Delta}=D_0D_1...D_{k-1-r}$$
• $$D_x=(d_{x,0},d_{x,1},...d_{x,m})$$
• $$d_{0,y}=\begin{cases}a_{k,y}-a_{r,y}&\text{if} y<dim(k)\\a_{k,y}-a_{r,y}-1&\text{if} y=dim(k)\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$
• $$d_{x+1,y}=\begin{cases}d_{0,y}&\text{if} ∃b[P_y^b(r+x+1)=r]\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$
• $$A=S_0S_1...S_{r-1}$$
• $$B_0=S_rS_{r+1}...S_{k-1}$$
• $$B_b=B_0+b×{\Delta}$$
$$S_0S_1...S_k[n]=AB_0B_1...B_n[n]$$

## 出典

Aeton: おこじょ数N成長階層
mrna: 段階配列表記降下段階配列表記多変数段階配列表記横ネスト段階配列表記
Kanrokoti: くまくまψ関数亜原始ψ関数ハイパー原始ψ関数TSS-ψ関数
クロちゃん: 第一クロちゃん数第二クロちゃん数第三クロちゃん数第四クロちゃん数
たろう: 多変数アッカーマン関数2重リストアッカーマン関数多重リストアッカーマン関数
Nayuta Ito: フラン数第一形態第二形態第四形態改三）・N原始東方巨大数4の規則の境界を突いた巨大数
バシク: 原始数列数大数列数ペア数列数バシク行列システム

108Hassium: E2:B-01-HsL-階差数列類E3:B-02-Hs

p進大好きbot: 超限急増加関数表記拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記四関数三関数巨大数庭園数
ふぃっしゅ: ふぃっしゅ数バージョン1バージョン2バージョン3バージョン4バージョン5バージョン6バージョン7）・ マシモ関数マシモスケールTR関数I0関数
ゆきと: 亜原始数列ハイパー原始数列Y数列