小ファクズル群

小ファクズル群 (Minor Faxul Group) とは、ファクズル (Faxul) を基本として定義および命名された巨大数のグループである。Lawrence Hollomによって考案された超階乗配列表記によって定義される。

概要

ファクズル群

小ファクズル群や超階乗配列表記の命名の基本となるのはファクズルであり、それは\(200!\approx7.88658\times10^{374}\)である。これに接頭辞を付け、例えばキロファクズル (Kilofaxul) は\((\text{Faxul})!=(200!)!\)、メガファクズル (Megafaxul) は\((\text{Kilofaxul})!=((200!)!)!\)、……となる。途中まで接頭辞はSI接頭辞と一致するが、ヨタより上はブロント (Bronto-)、ジオ (Geo(p)-)、セーガン (Sagan-)、ピジャ (Pija-)、アルファ (Alpha-)、クリャ (Krya-) 、アモス (Amos-)、ペクトロル (Pectrol-) と続く。

グランド (Grand-) が付くと、記号の繰り返しを意味する。例えばグランドファクズル (Grand Faxul) は\((((\cdots((200\underbrace{!)!)!\cdots)!)!)!}_{\text{Faxul}=200!}\)となり、同様にグランドキロファクズル (Grand Kilofaxul) は\((((\cdots((200\underbrace{!)!)!\cdots)!)!)!}_{\text{Kilofaxul}=(200!)!}\)、グランドメガファクズルは \((((\cdots((200\underbrace{!)!)!\cdots)!)!)!}_{\text{Megafaxul}=((200!)!)!}\)、……となる。グランドにはラテン語の倍数接頭辞を付けることができ、バイグランドファクズル (Bigrand Faxul) は\((((\cdots((200\underbrace{!)!)!\cdots)!)!)!}_{\text{Grand Faxul}}\)、トリグランドファクズルは\((((\cdots((200\underbrace{!)!)!\cdots)!)!)!}_{\text{Bigrand Faxul}}\)となる。バイグランドはグランドグランド、トリグランドはグランドグランドグランドの略である。

ファクズルに掛かる倍数接頭辞と、グランドに掛かる倍数接頭辞は重ね掛けが可能である。例えばバイグランドキロファクズル (Bigrand Kilofaxul) は\((((\cdots((200\underbrace{!)!)!\cdots)!)!)!}_{\text{Grand Kilofaxul}}\)、トリグランドメガファクズル (Trigrand Megafaxul) は\((((\cdots((200\underbrace{!)!)!\cdots)!)!)!}_{\text{Bigrand Megafaxul}}\)である。

これらは全て階乗の範囲内で表され、まとめてファクズル群 (Faxul group) と呼ばれる。

エクスポファクズル群

通常のファクズルは\(200!=200\times199\times198\times\cdots3\times2\times1\)であるが、演算子の掛け算を冪乗に置き換えたものをエクスポファクズル (Expofaxul) と呼び、エクスポファクズルを基本とする数をエクスポファクズル群 (Expofaxul group) と呼ぶ。ここでエクスポファクズルは\(200!1\)と表記され、\(200!1=200^{199^{198^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3^{2^{1}}}}}}}}\)である。

エクスポファクズル群でも上記ファクズル群で登場した表記を使用できる。例えばキロエクスポファクズル (Kiloexpofaxul) は\((200!1)!1\)であり、メガエクスポファクズル (Megaexpofaxul) は\(((200!1)!1)!1\)であり……と繰り返される。グランドについても同様であり、グランドエクスポファクズル (Grand Expofaxul) は\((((\cdots((200\underbrace{!1)!1)!1\cdots)!1)!1)!1}_{\text{Expofaxul}}\)であり、バイグランドエクスポファクズルは\((((\cdots((200\underbrace{!1)!1)!1\cdots)!1)!1)!1}_{\text{Grand Expofaxul}}\)であり、バイグランドメガエクスポファクズル (Bigrand Megaexpofaxul) は\((((\cdots((200\underbrace{!1)!1)!1\cdots)!1)!1)!1}_{\text{Grand Megaexpofaxul}}\)であり……となる。

それ以降

ファクズル群が掛け算、エクスポファクズル群が累乗で表されたように、更に上の段階を定義可能である。テトレーションで表されるのをテトロファクズル群 (Tetrofaxul group) 、ペンテーションで表されるのをペントファクズル群 (Pentofaxul group) 、ヘキセーションで表されるのをヘクソファクズル群 (Hexofaxul Group) 、……と表現する。

それぞれ基本となる数は、テトロファクズル\(=200!2=200\uparrow\uparrow199\uparrow\uparrow198\cdots3\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow1=200\uparrow^{2}199\cdots2\uparrow^{2}1\)、ペントファクズル\(=200!3=200\uparrow^{3}199\cdots2\uparrow^{3}1\)、ヘクソファクズル\(=200!4=200\uparrow^{4}199\cdots2\uparrow^{4}1\)、……となる。つまり\(200!n\)の\(n\)は矢印表記における\(\uparrow^{n}\)に相当し、\(a\uparrow^{1}b=a^{b}\)であることから、エクスポファクズル群もこの法則に従っていることになる。

ハイパーファクズル群

ハイパーファクズル群 (Hyperfaxul group) は、小ファクズル群における最大のグループである。基本となるハイパーファクズル (Hyperfaxul) は\(200!200\)であり、\(200![1]\)と表記される。つまり\(200![1]=200!200=200\uparrow^{200}199\uparrow^{200}198\cdots3\uparrow^{200}2\uparrow^{200}1\)である。無論、これらの数字にこれまでの接頭辞を付けることは可能である。例えばグランドハイパーファクズル (Grand Hyperfaxul) は\(((\cdots((200\underbrace{![1])!1[1])!1[1]\cdots!1[1])!1[1])!1[1]}_{\text{Hyperfaxul}}\)であり、これは\((200![1])![2]\)と表記される。この\([n]\)が\([200]\)に達すると大ファクズル群 (Major Faxul Group) となる。

例

上記の通り、例示は無数に可能であるため、代表的なものに絞って表記する。

ファクズル群の例

ファクズル群に属する巨大数の例

和名	英名	表記	近似値または展開
ファクズル	Faxul	\(200!\)	\(200\times199\times198\cdots3\times2\times1\approx7.88658\times10^{374}\)
キロファクズル	Kilofaxul	\((200!)!\)	\(10^{10^{377.47030}}\)
メガファクズル	Megafaxul	\(((200!)!)!\)	\(10^{10^{10^{377.47030}}}\)
ギガファクズル	Gigafaxul	\((((200!)!)!)!\)	\(10^{10^{10^{10^{377.47030}}}}\approx169\uparrow\uparrow5\)
テラファクズル	Terafaxul	\(((((200!)!)!)!)!\)	\(169\uparrow\uparrow6\)
ペタファクズル	Petafaxul	\((((((200!)!)!)!)!)!\)	\(169\uparrow\uparrow7\)
エクサファクズル	Exafaxul	\(((((((200!)!)!)!)!)!)!\)	\(169\uparrow\uparrow8\)
ゼタファクズル	Zettafaxul	\((((((((200!)!)!)!)!)!)!)!\)	\(169\uparrow\uparrow9\)
ヨタファクズル	Yottafaxul	\(((((((((200!)!)!)!)!)!)!)!)!=(\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{9}\)	\(169\uparrow\uparrow10\)
ブロントファクズル	Brontofaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{10}\)	\(169\uparrow\uparrow11\)
ジオファクズル	Geofaxul (Geophaxul)	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{11}\)	\(169\uparrow\uparrow12\)
セーガンファクズル	Saganfaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{12}\)	\(169\uparrow\uparrow13\)
ピジャファクズル	Pijafaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{13}\)	\(169\uparrow\uparrow14\)
アルファファクズル	Alphafaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{14}\)	\(169\uparrow\uparrow15\)
クリャファクズル	Kryafaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{15}\)	\(169\uparrow\uparrow16\)
アモスファクズル	Amosfaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{16}\)	\(169\uparrow\uparrow17\)
ペクトロルファクズル	Pectrolfaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{17}\)	\(169\uparrow\uparrow18\)
グランドファクズル	Grand Faxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{200!}\)	\(10\uparrow\uparrow7.88658\times10^{374}\)
グランドキロファクズル	Grand Kilofaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{(200!)!}\)	\(10\uparrow\uparrow10^{10^{377.47030}}\approx10\uparrow\uparrow(169\uparrow\uparrow3)\)
グランドメガファクズル	Grand Megafaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{((200!)!)!}\)	\(10\uparrow\uparrow(169\uparrow\uparrow4)\)
グランドギガファクズル	Grand Gigafaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{(((200!)!)!)!}\)	\(10\uparrow\uparrow(169\uparrow\uparrow5)\)
バイグランドファクズル	Bigrand Faxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{\text{Grand Faxul}}\)	\(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(7.88658\times10^{374}))\)
トリグランドファクズル	Trigrand Faxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{\text{Bigrand Faxul}}\)	\(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(7.88658\times10^{374})))\)
クアドグランドファクズル	Quadgrand Faxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{\text{Trigrand Faxul}}\)	\(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(7.88658\times10^{374}))))\)
クイングランドファクズル	Quingrand Faxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{\text{Quadgrand Faxul}}\)	\(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(7.88658\times10^{374})))))\)
バイグランドキロファクズル	Bigrand Kilofaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{\text{Grand Kilofaxul}}\)	\(10\uparrow\uparrow10^{10^{377.47030}}\)
バイグランドメガファクズル	Bigrand Megafaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{\text{Grand Megafaxul}}\)	\(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow10^{10^{377.47030}})\)
トリグランドキロファクズル	Trigrand Kilofaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{\text{Bigrand Kilofaxul}}\)	\(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow10^{10^{377.47030}}))\)
トリグランドメガファクズル	Trigrand Megafaxul	\((\cdots(200\underbrace{!)!\cdots!)!}_{\text{Bigrand Megafaxul}}\)	\(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow10^{10^{377.47030}})))\)

それ以上の例

エクスポファクズル群などに属する巨大数の例

和名	英名	表記	近似値または展開	群
エクスポファクズル	Expofaxul	\(200!1\)	\(200^{199^{198^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3^{2^{1}}}}}}}}\approx10\uparrow\uparrow198\)	エクスポファクズル群
キロエクスポファクズル	Kiloexpofaxul	\((200!1)!1\)	\(10\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow198\)
メガエクスポファクズル	Megaexpofaxul	\(((200!1)!1)!1\)	\(10\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow198\)
グランドエクスポファクズル	Grand Expofaxul	\((\cdots(200\underbrace{!1)!1\cdots!1)!1}_{200!1}\)	\(10\uparrow\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow198\)
グランドキロエクスポファクズル	Grand Kiloexpofaxul	\((\cdots(200\underbrace{!1)!1\cdots!1)!1}_{(200!1)!1}\)	\(10\uparrow\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow198\)
バイグランドエクスポファクズル	Bigrand Expofaxul	\((\cdots(200\underbrace{!1)!1\cdots!1)!1}_{\text{Grand Expofaxul}}\)	\(10\uparrow\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow198\)
バイグランドキロエクスポファクズル	Bigrand Kiloexpofaxul	\((\cdots(200\underbrace{!1)!1\cdots!1)!1}_{\text{Grand Kiloexpofaxul}}\)	\(10\uparrow\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow198\)
テトロファクズル	Tetrofaxul	\(200!2\)	\(200\uparrow\uparrow199\uparrow\uparrow198\cdots3\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow1=200\uparrow^{2}199\cdots2\uparrow^{2}1\)	テトロファクズル群
キロテトロファクズル	Kilotetrofaxul	\((200!2)!2\)	\(10\uparrow\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow\uparrow198\)
グランドテトロファクズル	Grand tetrofaxul	\((\cdots(200\underbrace{!2)!2\cdots!2)!2}_{200!2}\)	\(10\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow\uparrow198\)
ペントファクズル	Pentofaxul	\(200!3\)	\(200\uparrow^{3}199\uparrow^{3}198\cdots3\uparrow^{3}2\uparrow^{3}1\)	ペントファクズル群
ヘクソファクズル	Hexofaxul	\(200!4\)	\(200\uparrow^{4}199\uparrow^{4}198\cdots3\uparrow^{4}2\uparrow^{4}1\)	ヘクソファクズル群
ハイパーファクズル	Hyperfaxul	\(200![1]\)	\(200!200=200\uparrow^{200}199\uparrow^{200}198\cdots3\uparrow^{200}2\uparrow^{200}1\)	ハイパーファクズル群
キロハイパーファクズル	Kilohyperfaxul	\((200![1])![1]\)	\(10\rightarrow198\rightarrow(10\rightarrow198\rightarrow201)\)
グランドハイパーファクズル	Grand Hyperfaxul	\((200![1])![2]\)	\((\cdots(200\underbrace{![1])!1[1]\cdots!1[1])!1[1]}_{\text{Hyperfaxul}}\)