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\( \newcommand\a{\alpha} \newcommand\b{\beta} \newcommand\g{\gamma} \newcommand\k{\kappa} \newcommand\c{\chi} \newcommand\On{\text{On}} \newcommand\Reg{\text{Reg}} \newcommand\Enum{\text{Enum}} \newcommand\CARD{\text{CARD}} \)

前置き

下に進む前に、弱\(\a\)到達不能基数を理解することをおすすめします。

\(I\)関数を強くする

(7)では弱\(\a\)到達不能基数とその極限となる基数の数え上げ関数\(I_\a\)を定義しました。
これを強くするなら、順序数崩壊関数の形にするのが最適です。

しかし、また(4)と同じ問題が発生します。
崩壊対象の基数はどうしましょう?

弱マーロ基数

そういうときに利用される基数が弱マーロ基数です。
弱到達不能基数が通常の非可算基数(\(\Phi_\a(\b)\)など)では絶対に届かないように、
弱マーロ基数は通常の弱到達不能基数(\(I_\a(\b)\)など)では絶対に届かない基数です。

弱マーロ基数を崩壊させる

原理は弱到達不能基数を崩壊させる時と同じです。

\begin{eqnarray} B^0(\a,\b) &=& \b \cup \{0,M\}\\ B^{n + 1}(\a,\b) &=& \{\g \mid \g < \pi \land \pi \in B^n(\a,\b)\}\\ &&\cup\{\c_\nu(\delta) \mid \nu,\delta \in B^n(\a,\b) \land \nu < \a\}\\ B(\a,\b) &=& \bigcup_{n < \omega}B^n(\a,\b)\\ \c_\a &=& \Enum[\text{cl}_M(\{\k \mid \k \notin B(\a,\k)\})] \end{eqnarray}

ただし\(M\)を最小の弱マーロ基数とし、\(\k,\pi\)を\(M\)未満の非可算正則基数とし、
\(\text{cl}_M(X) = X \cup \{\a < M \mid \a = \sup(X \cap \a)\}\)とする。

計算してみましょう。

計算

\begin{eqnarray} \c_0 &=& \Enum[\CARD] &=& I_0\\ \c_1 &=& \Enum[\{\k \mid \k = \c_0(\k)\}] &=& I_1\\ \c_2 &=& \Enum[\{\k \mid \k = \c_1(\k)\}] &=& I_2\\ \c_{\c_0(0)} &=& &=& I_{I_0(0)}\\ \c_M &=& \Enum[\{\k \mid \k = \c_\k(0)\}]\\ \end{eqnarray}

完成です!!