拡張連鎖E表記

拡張連鎖E表記(xE^)とは、Sbiis Saibianによる配列型の表記法で、拡張型Eシステムの最新の表記法である。この表記の増加率の極限は\(f_{\varphi(\omega,0,0)}(n)\)ほどである。

拡張型EシステムはxE^やそれ以下の全てを含んでいる。

定義

a₁からa_nを正の整数とし、xE^の表記法をEa&a2& ... &anとする。ここでの全ての&記号はハイパー積である。異なる&はそれぞれ正しいセパレータの一式から選ばれる。

下がxE^の5つのルールである。\(\&_k\)をk番目のハイパー積とし、\(L(\&_k)\)をk番目のハイパー積最後の連結とする。

• Rule 1. 基底ルール ハイペリオンがなければ、\(Ea = 10^a\)
• Rule 2. 分解ルール \(L(\&_{n-1}) \neq \#^n\)なら(最後の列が\(\#^{n}\)の表記でなかったら)、*:\(E@a\text{&}b = E@a\text{&}[b]a\)(@記号は表記の変わらない部分、&[b]は&の基本列を表す)
• Rule 3. 消去ルール 最後の引数が1なら、それは取り除ける: \(E@a\text{&}1 = E@a\)
• Rule 4. 展開ルール \(L(\&_{n-1}) = \#^n\) かつ \(\&_k \neq \#\)なら:

  \(E@a\text{&}*\#b = E@a\text{&}a\text{&}*\#b-1\)

• Rule 5. 再帰ルール それ以外は、\(E@a\#b = E@(E@a\#(b-1))\)

加えて、正しい区切り文字の一式を定義しなければならない。xE^での正しい区切り文字を&としよう。それは次のように再帰的に定義される:

I. #は&の要素

II. もしa、bが&の要素なら、a*bも&の要素

III. もしa、bが&の要素なら(a)^^^...^^^^(b)(^の個数は任意)も&の要素。

IV. a、bが&の要素でcが&+の要素なら、(a)^^^...^^^(b)>(c)(任意の^、n>1)は&の要素。

V. もしaが&の要素なら、aは&+の要素

VI. もしa,bが&+の要素なら、a+bも&+の要素

最後に分解可能な区切り文字の分解を定義しなければならない。区切り文字、&、は分解可能(&decompの一部)であり、\(L(\text{&}) \neq \#^n\)。分解は次のように定義される。

Case I.

L= (α)^(β) (α,β ∈ &)

A. β = # なら:

IA1. &(α)^(#)[1] = &α

IA2. &(α)^(#)[n] = &α*(α)^(#)[n-1]

B. β = ρ*# なら:

IB1. &(α)^(ρ*#)[1] = &(α)^(ρ)

IB2. &(α)^(ρ*#)[n] = &(α)^(ρ)*(α)^(ρ*#)[n-1]

C. β ∈ &decomp なら:

IC1. &(α)^(β)[n] = &(α)^(β[n])

Case II.

L= (α)^..k..^(β) (α,β ∈ & かつ k>1)

A.β = # なら:

IIA1. &(α)^..k..^(#)[1] = &α

IIA2. &(α)^..k..^(#)[n] = &(α)^..k-1..^((α)^..k..^(#)[n-1])

B.β = ρ*# なら:

IIB1. &(α)^..k..^(ρ*#)[1] = &(α)^..k..^(ρ)

IIB2. &(α)^..k..^(ρ*#)[n] = &(α)^..k..^(ρ)>(α^..k..^(ρ*#)[n-1])

C.β ∈ &decomp なら:

IIC1. &(α)^..k..^(β)[n] = &(α)^..k..^(β[n])

Case III.

L= (α)^..k..^(β)>(γ) (α,β ∈& 、γ ∈ &+、かつ k>1)

A.γ = # なら:

IIIA1. &(α)^..k..^(β)>(#)[1] = &(α)^..k..^(β)

IIIA2. &(α)^..k..^(β)>(#)[n] = &((α)^..k..^(β)>(#)[n-1])^..k..^(β)

B.γ=ρ+# なら:

IIIB1. &(α)^..k..^(β)>(ρ+#)[1] = &((α)^..k..^(β)>(ρ))^..k..^(β)

IIIB2. &(α)^..k..^(β)>(ρ+#)[n] = &((α)^..k..^(β)>(ρ+#)[n-1])^..k..^(β)

C.γ ∈ &decomp なら:

IIIC1. (α)^..k..^(β)>(γ)[n] = (α)^..k..^(β)>(γ[n])

D. γ=ρ+δ where ρ ∈ &+ and δ ∈ &decomp なら:

IIID1. (α)^..k..^(β)>(ρ+δ)[n] = (α)^..k..^(β)>(ρ+(δ[n]))

E.γ=δ*# where δ ∈ & なら:

IIIE1. (α)^..k..^(β)>(δ*#)[1] = (α)^..k..^(β)>(δ)

IIIE2. (α)^..k..^(β)>(δ*#)[n] = (α)^..k..^(β)>(δ+δ*#)[n-1]

F.γ =ρ+δ*# where ρ ∈ &+ and δ ∈ & なら:

IIIF1. (α)^..k..^(β)>(ρ+δ*#)[1] = (α)^..k..^(β)>(ρ+δ)

IIIF2. (α)^..k..^(β)>(ρ+δ*#)[n] = (α)^..k..^(β)>(ρ+δ+δ*#)[n-1]