横ネスト段階配列表記

横ネスト段階配列表記
型	配列
急増加関数	\(f_{??}(n)\)

\(\newcommand{\a}{\alpha}\newcommand{\b}{\beta}\newcommand{\g}{\gamma}\newcommand{\d}{\delta}\newcommand{\e}{\varepsilon}\newcommand{\z}{\zeta}\)横ネスト段階配列表記はmrnaが2021年3月7日に公開した巨大数表記である。

横ネスト段階配列表記は同氏が作成した段階配列表記の拡張である。

横ネスト段階配列数は横ネスト段階配列表記を用いて定義された巨大数である。

この表記は2023年7月28日にmrna自身によって定義が改められているが、この記事は旧定義に基づいていることに注意が必要である。

定義

文字列集合\(S\)

0 ( ) , + のみから成る文字列の集合\(S\)を以下のように定義する。

1. 0は\(S\)に属する。
2. いかなる\(\a,\b \in S\setminus\{0\}\)に対しても、文字列"\(\a+\b\)"は\(S\)に属する。
3. いかなる\(\a,\b \in S\)に対しても、文字列"\((\a,\b)\)"は\(S\)に属する。

文字列集合\(P\)

\(S\)の部分集合\(P\)を以下のように定義する。

1. いかなる\(\a,\b \in S\)に対しても、文字列"\((\a,\b)\)"は\(P\)に属する。

文字列集合\(D\)

\(S\)の部分集合\(D\)を以下のように定義する。

1. 文字列"\((0,0)\)"は\(D\)に属する。
2. いかなる\(\a\in S\setminus\{0\} \)に対しても、文字列"\(\a+(0,0)\)"は\(D\)に属する。

写像\(d(\a)\)の定義

写像 \begin{aligned} d \colon D & \to S \\ \a & \mapsto d(\a) \end{aligned} を以下のように定義する。

1. \(\a = (0,0)\)と表せられるならば、 \(d(\a) = 0\)
2. \(\a = \b + (0,0)~ (\b \in S\setminus\{0\})\)と表せられるならば、 \(d(\a) = \b\)

\(S\)上の大小関係\(\a \lt \b\)の定義

1. \(\a = 0\)のとき、\(\a \lt \b\)は\(\b \neq 0\)と同値。
2. \(\a \neq 0\)かつ\(\b = 0\)のとき、\(\a \lt \b\)は成り立たない。
3. \(\a \neq 0\)かつ\(\b \neq 0\)のとき、
   1. \(\a \in P\)かつ\(\b \in P\)のとき、\(\a = (\g,\d)\)かつ\(\b \in(\e,\z)~(\g,\d,\e,\z \in S)\)のとき、
      \(\a \lt \b\)は\(\g \lt \e\)または(\(\g = \e\)かつ\(\d \lt \zeta\))と同値。
   2. \(\a \in P\)かつ\(\b \in S\setminus P\)のとき、\(\b =\g+\d~(\g\in P,\d\in S\setminus\{0\})\)のとき、
      \(\a \lt \b\)は\(\a \lt \g\)または\(\a = \g\)と同値。
   3. \(\a \in S\setminus P\)かつ\(\b \in P\)のとき、\(\a =\g+\d~(\g\in P,\d\in S\setminus\{0\})\)のとき、
      \(\a \lt \b\)は\(\g \lt \b\)と同値。
   4. \(\a \in S\setminus P\)かつ\(\b \in S\setminus P\)のとき、\(\a =\g+\d\)かつ\(\b = \e+\z~(\g,\e\in P,\d,\z\in S\setminus\{0\})\)のとき、
      \(\a \lt \b\)は\(\g \lt \e\)または(\(\g=\e\)かつ\(\d \lt \z\))と同値。

文字列集合\(TB_\a\)の定義

\(\a\in S\)としたとき、0 k ( ) , + のみから成る文字列の集合\(TB_\a\)を以下のように定義する。

1. 文字kは\(TB_\a\)に属する。
2. いかなる\(\b \in S\setminus \{0\}\)と\(\g \in TB_\a\)に対しても、文字列の"\(\b+\g\)"は\(TB_\a\)に属する。
3. いかなる\(\b \in TB_\a\)に対しても、文字列"\((\b,0)\)"は\(TB_\a\)に属する。
4. いかなる\(\b \in TB_\a\)と\(\g \in S\)に対しても、\(\g \lt \a\)でないなら文字列"\((\g,\b)\)"は\(TB_\a\)に属する。

\(TB_{\a,\b}(\g)\)を\(TB_\a\)の要素\(\b\)の文字\(k\)を文字列\(\g\)に置き換えた文字列とする。

文字列集合\(RB_{\a,\b}\)の定義

\(\a\in S,\b\in TB_\a\)としたとき、0 k ( ) , + のみから成る文字列の集合\(RB_{\a,\b}\)を以下のように定義する。

1. \(TB_\a \subset RB_{\a,\b}\)である。
2. いかなる\(\g \in RB_{\a,\b}\)と\(\d \in D\)と\(\e \in TB_\a\)に対しても、\(d(\d) \lt \a\)かつ\(TB_{\a,\b}((\a,0)) \lt TB_{\a,\e}((\d,0))\)なら文字列"\(TB_{\a,\e}((d(\d),\g))\)"は\(RB_{\a,\b}\)に属する。

\(RB_{\a,\b,\g}(\d)\)を\(RB_{\a,\b}\)の要素\(\g\)の文字\(k\)を文字列\(\d\)に置き換えた文字列とする。

写像\(f(\a,n)\)の定義

正整数全体の集合を\(\mathbb N_+\)と置き、写像 \begin{aligned}f:S \times \mathbb N_+ &\rightarrow S\\(\a,n)&\mapsto f(\a,n)\end{aligned} を以下のように定義する。

1. \(\a=0\)または\((\g,0)~(\g \in S)\)と表せられるとき、\(f(\a,n)=0\)
2. \(\a = \b+(\g,0)~(\b\in S\setminus \{0\},\g \in S )\)と表せられるとき、\(f(\a,n)=\b\)
3. \(\a = \b+\g~(\b\in S\setminus \{0\},\g \in P\setminus \{(\d,0)\mid\d\in S\} )\)と表せられるとき、\(f(\a,n)=\b+f(\g,n)\)
4. \(\a = (\b,\g)~(\b\in S\setminus \{0\},\g \in S)\)と表せられるとき、\(f(\a,n)=(0,\g)\)
5. \(\a = (0,a)~(a\in S\setminus \{0\},\g \in S)\)のとき
   1. \(\a = TB_{0,\b}((\g,\d))~(\b\in TB_0,\g\in S,\d\in D) \)と表せられるとき、
      \( f(\a,n) = TB_{0,\b}((\underbrace{\g,d(\d))+(\g,d(\d))+\cdots+(\g,d(\d)}_{(\g,d(\d))~n個})) \)
   2. \(\a = TB_{0,c}((b,TB_{\d,\b}((\d,0)) ))~(c\in TB_0,b\in S,\b\in TB_\d ,\d\in D) \)と表せられるとき、
      1. \(\a = (0,RB_{\d,\b,\g}((\d,0)))~(\g\in RB_{\d,\b},\d\in D)\)と表せられるとき、
         \( f(\a,n) = (0,\underbrace{RB_{\d,\b,\g}((d(\d),RB_{\d,\b,\g}((d(\d),\cdots RB_{\d,\b,\g}((d(\d),0))\cdots))))}_{RB_{\d,\b,\g}~n個}) \)
      2. \(\a=TB_{0,\eta}((\z,TB_{\d,\e}((Ι,RB_{\d,\b,\g}((\d,0))))))\)
         \((\e∈TB_\d,\g∈RB_{\d,\b},\d∈D,\z∈S,\z<\d,TB_{\d,\b}((\d,0)) \nless TB_{\d,\e}((Ι + (0,0),0)),\eta∈TB_0, Ι \in S\setminus \{0\}, Ι<\a)\)と表せられるとき、
         \( f(\a,n)=TB_{0,\eta}((\z,TB_{\d,\e}\underbrace{((Ι,RB_{\a,\b,\g}((d(\d),RB_{\a,\b,\g}((d(\d),...RB_{\a,\b,\g}((d(\d),0))...))))))}_{RB_{\a,\b,\g}~n個})) \)

巨大数表記

1. \(0[n] = n\times 2\)
2. \(\a[n] = f(\a,n)[n\times 2]~(\a \neq 0)\)

写像\(g(n):\mathbb{N}_+\rightarrow S;n\mapsto g(n)\)の定義

1. \(g(1)=(0,0)\)
2. \(g(n+1)=(g(n),0)\)

巨大数

\(h(n)=(0,g(n))[n]\)としたとき\(h^{100}(100)\)を横ネスト段階配列数と名付ける。

脚注

日本の巨大数論

Aeton: おこじょ数・N成長階層
mrna: 段階配列表記・降下段階配列表記・多変数段階配列表記・横ネスト段階配列表記
Kanrokoti: くまくまψ関数・亜原始ψ関数・ハイパー原始ψ関数・TSS-ψ関数
クロちゃん: クロちゃん数（第一・第ニ・第三・第四）
じぇいそん: ふにゃふにゃぜぇたかんすう・\(\zeta\)関数
たろう: 多変数アッカーマン関数・2重リストアッカーマン関数・多重リストアッカーマン関数
Nayuta Ito: フラン数（第一形態・第二形態・第四形態改三）・N原始・東方巨大数4の規則の境界を突いた巨大数
バシク: 原始数列数・大数列数・ペア数列数・バシク行列システム
長谷川由紀路: 紅魔館のメイドナンバー・恋符マスタースパーク数・みくみく順序数
108Hassium: E2:B-01-Hs・L-階差数列類・E3:B-02-Hs
公太郎: 弱亜ペア数列・肉ヒドラ数列・弱ハイパーペア数列
p進大好きbot: 超限急増加関数表記・拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記・四関数・三関数・巨大数庭園数
ふぃっしゅ: ふぃっしゅ数（バージョン1・バージョン2・バージョン3・バージョン4・バージョン5・バージョン6・バージョン7）・ マシモ関数・マシモスケール・TR関数（I0関数）
ゆきと: 亜原始数列･ハイパー原始数列・Y数列
本: 巨大数論・寿司虚空編
大会: 東方巨大数・幻想巨大数・即席巨大数・式神巨大数・お料理巨大数
掲示板: 巨大数探索スレッド
外部リンク: 日本語の巨大数関連サイト