混成階乗

混成階乗 (Mixed factorial)は、次のように再帰的に定義される関数である。Googology WikiユーザーのSpongeTechXによって定義された。2013年の定義時、混成階乗は\(n^{*}\)と表記されたが、現在TeSpongeTechXは\(M!(n)\)の使用を推奨している。

\begin{eqnarray} M!(1)=1^{*}&=&1 \\ M!(n)=n^{*}&=&M!(n-1)+^{n-1}n \end{eqnarray}

ここで\(+^{n}\)は\(n\)番目のハイパー演算子で、加算から始まる。 例えば、\(M!(5)= (((1 + 2)\times3)\uparrow4)\uparrow\uparrow5\)である。つまり、1から始まり、2を加え、3を掛け、4で冪乗し、5でテトレーションし…と続く。

拡張表記

\(n^{*}\)の表記で定義されていた時、拡張混成階乗が定義されていた。現在推奨されている\(M!(n)\)への書き換えは未定義であるが、前者については重ねることで書き換えは可能である。

\[n^{*}_{x}=n\underbrace{^{***\cdots***}}_{x}=((\cdots((n\underbrace{^{*})^{*})^{*}\cdots)^{*})^{*}}_{x}=\underbrace{M!(M!\cdots(M!(M!}_{x}(n)))\cdots))\]

\[n^{*}_{(y,x)}=n\underbrace{_{y^{*}_{y^{*}_{\cdot_{\cdot_{\cdot_{y^{*}_{y^{*}}}}}}}}}_{x}\]

値

拡張表記については旧定義に基づく。

表記	旧表記	値
\(M!(1)\)	\(1^{*}\)	\(1\)
\(M!(2)\)	\(2^{*}\)	\(1+2=3\)
\(M!(3)\)	\(3^{*}\)	\((1+2)\times3=9\)
\(M!(4)\)	\(4^{*}\)	\(((1+2)\times3)^{4}=6561\)
\(M!(5)\)	\(5^{*}\)	\(((1+2)\times3)^{4}\uparrow\uparrow5=6561^{6561^{6561^{6561^{6561}}}}\approx10^{10^{10^{10^{5.2740\times10^{25043}}}}}\)
\(M!(6)\)	\(6^{*}\)	\((((1+2)\times3)^{4}\uparrow\uparrow5)\uparrow\uparrow\uparrow6=6561^{6561^{6561^{6561^{6561}}}}\uparrow\uparrow\uparrow6=(6561\uparrow\uparrow5)\uparrow\uparrow\uparrow6\)
\(M!(n)\)	\(n^{*}\)	\(\underbrace{(((\cdots((6561\uparrow\uparrow5)\uparrow\uparrow\uparrow6)\cdots)\uparrow^{n-5}(n-2))\uparrow^{n-4}(n-1))\uparrow^{n-3}n}_{n-4}\approx n\uparrow^{n-3}(n+1)\)
\(\vdots\)
\(M!(M!(2))\)	\(2^{*}_{2}\)	\(2^{**}=3^{*}=9\)
\(M!(M!(3))\)	\(3^{*}_{2}\)	\(3^{**}=9^{*}\)
\(M!(M!(4))\)	\(4^{*}_{2}\)	\(4^{**}=6561^{*}\)
\(M!(M!(M!(3)))\)	\(2^{*}_{3}\)	\(2^{***}=3^{**}=9^{*}\)
\(M!(M!(M!(M!(2))))\)	\(2^{*}_{4}\)	\(2^{****}=3^{***}=9^{**}\)
\(M!(M!(M!(3)))\)	\(3^{*}_{3}\)	\(3^{***}=9^{**}\)
\(\vdots\)
(未定義)	\(2^{*}_{(2,1)}\)	\(2^{*}_{2^{*}}=2^{*}_{3}=2^{***}=3^{**}=9^{*}\)
	\(2^{*}_{(2,2)}\)	\(2^{*}_{2^{*}_{2^{*}}}=2^{*}_{9^{*}}\)
	\(2^{*}_{(3,2)}\)	\(2^{*}_{3^{*}_{3^{*}}}=2^{*}_{3^{*}_{9}}=2^{*}_{3^{*********}}\)
	\(2^{*}_{(2,3)}\)	\(2^{*}_{2^{*}_{2^{*}_{2^{*}}}}=2^{*}_{2^{*}_{9^{*}}}\)
	\(2^{*}_{(3,3)}\)	\(2^{*}_{3^{*}_{3^{*}_{3^{*}}}}=2^{*}_{3^{*}_{3^{*********}}}\)
	\(3^{*}_{(3,3)}\)	\(3^{*}_{3^{*}_{3^{*}_{3^{*}}}}=3^{*}_{3^{*}_{3^{*********}}}\)

関連項目

• 混成階乗で定義された名称のある巨大数の一覧