混成階乗 (Mixed factorial)は、次のように再帰的に定義される関数である。Googology WikiユーザーのSpongeTechXにより命名された。
\[\begin{eqnarray*} 1^{*}&=&1 \\ (n + 1)^{*}&=& n^{*}+^{n}(n + 1) \end{eqnarray*}\]
ここで\(+^{n}\)は\(n\)番目のハイパー演算子で、加算から始まる。 例えば、\(5^{*}= (((1 + 2)\times3)\uparrow4)\uparrow\uparrow5\)である。この列は次のように視覚化される、1から始まり、2を加え、3を掛け、4で冪乗し、5でテトレーションし…
拡張表記
混成階乗の拡張として、以下が定義されている。
\[\begin{eqnarray*}n^{*}_{x}&=&n\underbrace{^{***\cdots***}}_{x}=\underbrace{((\cdots((}_{x-1}n\underbrace{^{*})^{*})^{*}\cdots)^{*})^{*}}_{x} \\n^{*}_{(y,x)}&=&n\underbrace{_{y^{*}_{y^{*}_{\cdot_{\cdot_{\cdot_{y^{*}_{y^{*}}}}}}}}}_{x}\end{eqnarray*}\]
値
| 表記 | 値 |
|---|---|
| \(1^{*}\) | \(1\) |
| \(2^{*}\) | \(1+2=3\) |
| \(3^{*}\) | \((1+2)\times3=9\) |
| \(4^{*}\) | \(((1+2)\times3)^{4}=6561\) |
| \(5^{*}\) | \(((1+2)\times3)^{4}\uparrow\uparrow5=6561^{6561^{6561^{6561^{6561}}}}\approx10^{10^{10^{10^{5.2740\times10^{25043}}}}}\) |
| \(6^{*}\) | \((((1+2)\times3)^{4}\uparrow\uparrow5)\uparrow\uparrow\uparrow6=6561^{6561^{6561^{6561^{6561}}}}\uparrow\uparrow\uparrow6=(6561\uparrow\uparrow5)\uparrow\uparrow\uparrow6\) |
| \(n^{*}\) | \(\underbrace{(((\cdots((6561\uparrow\uparrow5)\uparrow\uparrow\uparrow6)\cdots)\uparrow^{n-5}(n-2))\uparrow^{n-4}(n-1))\uparrow^{n-3}n}_{n-4}\approx n\uparrow^{n-3}(n+1)\) |
| \(\cdots\) | |
| \(2^{*}_{2}\) | \(2^{**}=3^{*}=9\) |
| \(3^{*}_{2}\) | \(3^{**}=9^{*}\) |
| \(4^{*}_{2}\) | \(4^{**}=6561^{*}\) |
| \(2^{*}_{3}\) | \(2^{***}=3^{**}=9^{*}\) |
| \(2^{*}_{4}\) | \(2^{****}=3^{***}=9^{**}\) |
| \(3^{*}_{3}\) | \(3^{***}=9^{**}\) |
| \(\cdots\) | |
| \(2^{*}_{(2,1)}\) | \(2^{*}_{2^{*}}=2^{*}_{3}=2^{***}=3^{**}=9^{*}\) |
| \(2^{*}_{(2,2)}\) | \(2^{*}_{2^{*}_{2^{*}}}=2^{*}_{9^{*}}\) |
| \(2^{*}_{(3,2)}\) | \(2^{*}_{3^{*}_{3^{*}}}=2^{*}_{3^{*}_{9}}=2^{*}_{3^{*********}}\) |
| \(2^{*}_{(2,3)}\) | \(2^{*}_{2^{*}_{2^{*}_{2^{*}}}}=2^{*}_{2^{*}_{9^{*}}}\) |
| \(2^{*}_{(3,3)}\) | \(2^{*}_{3^{*}_{3^{*}_{3^{*}}}}=2^{*}_{3^{*}_{3^{*********}}}\) |
| \(3^{*}_{(3,3)}\) | \(3^{*}_{3^{*}_{3^{*}_{3^{*}}}}=3^{*}_{3^{*}_{3^{*********}}}\) |
