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混成階乗 (Mixed factorial)は、次のように再帰的に定義される関数である。Googology WikiユーザーのSpongeTechXにより命名された。

\[\begin{eqnarray*} 1^{*}&=&1 \\ (n + 1)^{*}&=& n^{*}+^{n}(n + 1) \end{eqnarray*}\]

ここで\(+^{n}\)は\(n\)番目のハイパー演算子で、加算から始まる。 例えば、\(5^{*}= (((1 + 2)\times3)\uparrow4)\uparrow\uparrow5\)である。この列は次のように視覚化される、1から始まり、2を加え、3を掛け、4で冪乗し、5でテトレーションし…

拡張表記

混成階乗の拡張として、以下が定義されている。

\[\begin{eqnarray*}n^{*}_{x}&=&n\underbrace{^{***\cdots***}}_{x}=\underbrace{((\cdots((}_{x-1}n\underbrace{^{*})^{*})^{*}\cdots)^{*})^{*}}_{x} \\n^{*}_{(y,x)}&=&n\underbrace{_{y^{*}_{y^{*}_{\cdot_{\cdot_{\cdot_{y^{*}_{y^{*}}}}}}}}}_{x}\end{eqnarray*}\]

表記
\(1^{*}\) \(1\)
\(2^{*}\) \(1+2=3\)
\(3^{*}\) \((1+2)\times3=9\)
\(4^{*}\) \(((1+2)\times3)^{4}=6561\)
\(5^{*}\) \(((1+2)\times3)^{4}\uparrow\uparrow5=6561^{6561^{6561^{6561^{6561}}}}\approx10^{10^{10^{10^{5.2740\times10^{25043}}}}}\)
\(6^{*}\) \((((1+2)\times3)^{4}\uparrow\uparrow5)\uparrow\uparrow\uparrow6=6561^{6561^{6561^{6561^{6561}}}}\uparrow\uparrow\uparrow6=(6561\uparrow\uparrow5)\uparrow\uparrow\uparrow6\)
\(n^{*}\) \(\underbrace{(((\cdots((6561\uparrow\uparrow5)\uparrow\uparrow\uparrow6)\cdots)\uparrow^{n-5}(n-2))\uparrow^{n-4}(n-1))\uparrow^{n-3}n}_{n-4}\approx n\uparrow^{n-3}(n+1)\)
\(\cdots\)
\(2^{*}_{2}\) \(2^{**}=3^{*}=9\)
\(3^{*}_{2}\) \(3^{**}=9^{*}\)
\(4^{*}_{2}\) \(4^{**}=6561^{*}\)
\(2^{*}_{3}\) \(2^{***}=3^{**}=9^{*}\)
\(2^{*}_{4}\) \(2^{****}=3^{***}=9^{**}\)
\(3^{*}_{3}\) \(3^{***}=9^{**}\)
\(\cdots\)
\(2^{*}_{(2,1)}\) \(2^{*}_{2^{*}}=2^{*}_{3}=2^{***}=3^{**}=9^{*}\)
\(2^{*}_{(2,2)}\) \(2^{*}_{2^{*}_{2^{*}}}=2^{*}_{9^{*}}\)
\(2^{*}_{(3,2)}\) \(2^{*}_{3^{*}_{3^{*}}}=2^{*}_{3^{*}_{9}}=2^{*}_{3^{*********}}\)
\(2^{*}_{(2,3)}\) \(2^{*}_{2^{*}_{2^{*}_{2^{*}}}}=2^{*}_{2^{*}_{9^{*}}}\)
\(2^{*}_{(3,3)}\) \(2^{*}_{3^{*}_{3^{*}_{3^{*}}}}=2^{*}_{3^{*}_{3^{*********}}}\)
\(3^{*}_{(3,3)}\) \(3^{*}_{3^{*}_{3^{*}_{3^{*}}}}=3^{*}_{3^{*}_{3^{*********}}}\)

出典

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