混成階乗は、次のように再帰的に定義される:
\[1^* = 1\]
\[(n + 1)^* = n^* +^n (n + 1)\]
ここで\(+^n\)は\(n\)番目のハイパー演算子で、加算から始まる。 例えば、 \(4^* = ((1 + 2) \cdot 3) \uparrow 4\)。この列は次のように視覚化される、1から始まり、2を加え、3を掛け、4でべき乗し、5でテトレーションし、...
SpongeTechXにより命名された。
値
| \(n\) | \(n^{*}\) |
|---|---|
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(1+2=3\) |
| \(3\) | \((1+2)\times3=9\) |
| \(4\) | \(((1+2)\times3)^{4}=6561\) |
| \(5\) | \(((1+2)\times3)^{4}\uparrow\uparrow5=6561^{6561^{6561^{6561^{6561}}}}\) |
| \(6\) | \((((1+2)\times3)^{4}\uparrow\uparrow5)\uparrow\uparrow\uparrow6=6561^{6561^{6561^{6561^{6561}}}}\uparrow\uparrow\uparrow6\) |
拡張
このプロセスを繰り返すことで、 (n*)*, ((n*)*)* や n**, n***, n****...が作られる。n*2, n*3とも書かれる。
もっと拡張して、 n*x*...x(xはk個を)n*(x,k)とも書ける。見ればわかるが、xは混成階乗の変数で、kはその回数である。