- 以下の項目と混同しないように注意してください：第2種シェルピンスキー数
第1種シェルピンスキー数 (Sierpiński Number of the First Kind) とは、自然数\(n\)に対して\(S_{n}\equiv n^{n}+1\)の形式を持つ数である[1]。
概要[]
ヴァツワフ・シェルピニスキは、\(n\geqq2\)の時\(S_{n}\)が素数であるには\(n=2^{2^{k}}\)の形に限られることを証明した。すなわち\(S_{n}\)は\(m=k+2^{k}\)であるフェルマー数\(F_{m}\)でもある[1]。よって\(S_{1}=2\)を除き、素数である第1種シェルピンスキー数は必ずフェルマー素数であることになる。
素数である第1種シェルピンスキー数は現時点で\(2,\ 5,\ 257\)しか知られていない。素数か合成数か未知である最小の第1種シェルピンスキー数は\(18446744073709551616^{18446744073709551616}+1\approx10^{10^{20.55071}}\)である[1]。
任意の第1種シェルピンスキー数\(S_{k}\)の十進数展開の桁数\(d_{k}\)は\(d_{k}=\left\lceil 2^{k+2^{k}} \log_{10} 2 \right\rceil\)で表される[1][2]。
一覧[]
| \(k\) | \(m\) | \(n\) | \(S_{n}=F_{m}\) | 備考 |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(=5\) | 素数 |
| \(1\) | \(3\) | \(4\) | \(=257\) | 知られている最大の素数 |
| \(2\) | \(6\) | \(16\) | \(=18446744073709551617\) | 合成数 (\(274177\times67280421310721\)) |
| \(3\) | \(11\) | \(256\) | \(\approx3.23170\times10^{616}\) | 合成数 (\(319489\)で割り切れる) |
| \(4\) | \(20\) | \(65536\) | \(\approx6.74114\times10^{315652}\approx10^{10^{5.49921}}\) | 合成数 (具体的な素因数は不明) |
| \(5\) | \(37\) | \(4294967296\) | \(\approx10^{41373247567}\approx10^{10^{10.62}}\)[2] | 合成数 (\(701179711390136401921\)で割り切れる) |
| \(6\) | \(70\) | \(18446744073709551616\) | \(\approx10^{10^{20.55071}}\) | 不明 |
| \(7\) | \(135\) | \(\sim3.40282\times10^{38}\) | \(\approx10^{10^{40.11766}}\) | 不明 |
| \(8\) | \(264\) | \(\sim1.15792\times10^{77}\) | \(\approx10^{10^{78.95053}}\) | 不明 |
| \(9\) | \(521\) | \(\sim1.34078\times10^{154}\) | \(\approx10^{10^{156.31524}}\) | 不明 |
| \(10\) | \(1034\) | \(\sim1.79769\times10^{308}\) | \(\approx10^{10^{310.74363}}\) | 不明 |
| \(11\) | \(2059\) | \(\sim3.23170\times10^{616}\) | \(\approx10^{10^{619.29937}}\) | 知られている最大の合成数 (\(591909\times2^{2063}+1\)で割り切れる) |
出典[]
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 "Sierpiński Number of the First Kind" Wolfram MathWorld.
- ↑ 2.0 2.1 "A089943: Number of digits in candidates Sierpiński numbers of the first kind". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ "S(n) = n^n + 1". Jeppe's page.