- 以下の項目と混同しないように注意してください:第1種シェルピンスキー数
第2種シェルピンスキー数 (Sierpiński Number of the Second Kind) とは、シェルピンスキーの合成数定理 (Sierpiński's Composite Number Theorem) を満たす正の奇数\(k\)である[1][2]。単にシェルピンスキー数と呼ばれる場合が多い[3]。
概要[]
シェルピンスキーの合成数定理を満たす\(k\)とは、全ての自然数\(n\)に対して\(k\times2^{n}+1\)が合成数となる。第2種シェルピンスキー数は無数に存在することが1960年にヴァツワフ・シェルピニスキによって証明された[1][3]。似たような定義を持つリーゼル数は1956年に論文が出版されており、第2種シェルピンスキー数よりも早い[4]。
\(k\)が第2種シェルピンスキー数ではない場合、反例として\(k\times2^{n}+1\)が素数となる値が存在する。\(k< 2^n\) である場合、これはプロス素数である[3]。
シェルピンスキー問題[]
1962年にJ. Selfridgeによって、最小の第2種シェルピンスキー数は\(k=78557\)であると予想された[3]。しかし、それが真に最小の第2種シェルピンスキー数であるかどうかは未解決問題である[2]。最小の第2種シェルピンスキー数\(k\)を求めるのをシェルピンスキー問題 (Sierpiński problem) と呼ぶ[3]。
\(k=78557\)より小さい候補は1983年時点で70個[3]、1996年時点で35個[2]、1997年時点で21個あり[3]、2002年時点で17個にまで絞られた[2]。同年、L. K. HelmとD. A. Norrisにより分散コンピューティングプロジェクトSeventeen or Bustが開始され、候補の絞り込みが進められている[2][5]。Seventeen or Bustには2010年よりPrimeGridが加わった。2016年4月のサーバーデータの消失により、オリジナルのSeventeen or Bustは終了したが、PrimeGridが作業を引き継いでいる[3]。現時点で残りの候補は5個となっている[2]。
素数および拡張シェルピンスキー問題[]
2番目に小さな第2種シェルピンスキー数は\(k=271129\)であると予想されており、これは最小の第2種シェルピンスキー素数であるとも予想されている[2]。\(k=271129\)が最小の第2種シェルピンスキー素数であるかどうかという問題を素数シェルピンスキー問題 (Prime Sierpiński problem) と呼び、\(k=78557\)が1番目に、\(k=271129\)が2番目に小さい第2種シェルピンスキー数であるかどうかという問題を拡張シェルピンスキー問題 (Extended Sierpiński problem) と呼ぶ[3]。
第2種シェルピンスキー素数は無数に存在する[2]。
\(k\)とその反例および候補の一覧[]
以下の表でステータス欄に素数と書かれていない候補は合成数である。
\(k\) | 反例 | 反例の近似値 | ステータス |
---|---|---|---|
\(4847\) | \(4847\times2^{3321063}+1\) | \(1.84486\times10^{999743}\) | |
\(5359\) | \(5359\times2^{5054502}+1\) | \(2.78117\times10^{1521560}\) | 知られている最小のコルベール数 |
\(10223\) | \(10223\times2^{31172165}+1\) | \(5.06250\times10^{9383760}\) | 知られている最大のコルベール数 |
\(19249\) | \(19249\times2^{13018586}+1\) | \(1.48436\times10^{3918989}\) | コルベール数 |
\(21181\) | 未発見 | ||
\(22699\) | 未発見 | 素数 | |
\(24737\) | 未発見 | ||
\(27653\) | \(27653\times2^{9167433}+1\) | \(5.72772\times10^{2759676}\) | コルベール数 |
\(28433\) | \(28433\times2^{7830457}+1\) | \(7.77284\times10^{2357206}\) | コルベール数 |
\(33661\) | \(33661\times2^{7031232}+1\) | \(1.84332\times10^{2116616}\) | コルベール数 |
\(44131\) | \(44131\times2^{995972}+1\) | \(1.23477\times10^{299822}\) | |
\(46157\) | \(46157\times2^{698207}+1\) | \(8.21146\times10^{210185}\) | |
\(54767\) | \(54767\times2^{1337287}+1\) | \(1.73113\times10^{402568}\) | |
\(55459\) | 未発見 | ||
\(65567\) | \(65567\times2^{1013803}+1\) | \(8.49923\times10^{305189}\) | |
\(67607\) | 未発見 | 素数 | |
\(69109\) | \(69109\times2^{1157446}+1\) | \(6.36643\times10^{348430}\) | |
\(78557\) | 未発見 | 最小の第2種シェルピンスキー数候補 | |
\(79309\) | 未発見 | 素数 | |
\(79817\) | 未発見 | 素数 | |
\(90527\) | \(90527\times2^{9162167}+1\) | \(1.11960\times10^{2758092}\) | |
\(91459\) | 未発見 | ||
\(94373\) | \(94373\times2^{3206717}+1\) | \(9.57470\times10^{965322}\) | |
\(99739\) | \(99739\times2^{14019102}+1\) | \(1.63357\times10^{4220175}\) | |
\(123287\) | \(123287\times2^{2538167}+1\) | \(3.10400\times10^{764069}\) | |
\(131179\) | 未発見 | ||
\(147559\) | \(147559\times2^{771309}+1\) | \(4.38931\times10^{771309}\) | |
\(152267\) | 未発見 | 素数 | |
\(154801\) | \(154801\times2^{1305084}+1\) | \(4.17479\times10^{392874}\) | |
\(156511\) | 未発見 | 素数 | |
\(161041\) | \(161041\times2^{7107964}+1\) | \(3.79347\times10^{2139715}\) | |
\(163187\) | 未発見 | ||
\(168451\) | \(168451\times2^{19375200}+1\) | \(3.96700\times10^{5832521}\) | |
\(193997\) | \(193997\times2^{11452891}+1\) | \(1.03721\times10^{3447669}\) | |
\(198677\) | \(198677\times2^{2950515}+1\) | \(6.54341\times10^{888198}\) | |
\(200749\) | 未発見 | ||
\(202705\) | \(202705\times2^{21320516}+1\) | \(1.39926\times10^{6418120}\) | |
\(209611\) | 未発見 | ||
\(211195\) | \(211195\times2^{3224974}+1\) | \(1.71364\times10^{970819}\) | |
\(219259\) | \(219259\times2^{1300450}+1\) | \(6.29243\times10^{391479}\) | |
\(222113\) | 未発見 | 素数 | |
\(225931\) | 未発見 | 素数 | |
\(227723\) | 未発見 | ||
\(229673\) | 未発見 | ||
\(237019\) | 未発見 | 素数 | |
\(238411\) | 未発見 | ||
\(250463\) | \(250463\times2^{1316921}+1\) | \(1.32332\times10^{396438}\) | |
\(258317\) | \(258317\times2^{5450519}+1\) | \(1.32767\times10^{1640775}\) | |
\(265711\) | \(265711\times2^{4858008}+1\) | \(3.56111\times10^{1462411}\) | |
\(271129\) | 最小の第2種シェルピンスキー素数候補 |
コルベール数[]
- 以下の項目と混同しないように注意してください:メガ素数
シェルピンスキー問題に関連し、\(k<78557\)の反例として示された素数のうち、十進数展開が100万桁を越える素数をコルベール数 (Colbert Number) と呼ぶ。これは、この問題に長年貢献したStephen T. Colbertに敬意を表して付けられた名称である[9]。
なお、Wolfram MathWorldでは単に「十進数展開が100万桁を越える素数」としか書かれていないが[9]、この定義はメガ素数と被る[10]。また、Wolfram MathWorldではメガ素数という用語は掲載されていない一方で、コルベール数の例はシェルピンスキー問題の反例として示され、かつ\(k<78557\)である数のみが掲載されている[9]。そしてPrime Glossaryではメガ素数が「100万桁を越える素数」の意味で掲載されている一方で[10]、コルベール数は第2種シェルピンスキー数の説明ページを参照する旨しか記載されていない[11]。このことから本Wikiではコルベール数を「メガ素数のうち、\(k\times2^{n}+1\)の形式で表され、かつ\(k<78557\)である数」とする。\(k< 2^n\)である場合、これはプロス素数である。現時点で知られている全てのコルベール数はプロス素数である。
コルベール数は現時点で以下の6個が知られている。残り5個の\(k\)に対し、コルベール数があるかどうかが未知である[2][6][9]。
\(k\) | \(n\) | 値 | 近似値 |
---|---|---|---|
\(10223\) | \(31172165\) | \(10223\times2^{31172165}+1\) | \(5.06250\times10^{9383760}\) |
\(19249\) | \(13018586\) | \(19249\times2^{13018586}+1\) | \(1.48436\times10^{3918989}\) |
\(27653\) | \(9167433\) | \(27653\times2^{9167433}+1\) | \(5.72772\times10^{2759676}\) |
\(28433\) | \(7830457\) | \(28433\times2^{7830457}+1\) | \(7.77284\times10^{2357206}\) |
\(33661\) | \(7031232\) | \(33661\times2^{7031232}+1\) | \(1.84332\times10^{2116616}\) |
\(5359\) | \(5054502\) | \(5359\times2^{5054502}+1\) | \(2.78117\times10^{1521560}\) |
その他[]
2016年11月に発見された、\(10223\)が第2種シェルピンスキー数ではない反例、かつ知られている最大のコルベール数でもある \(10223\times2^{31172165}+1\)は、発見時点で知られている7番目に大きな素数であった。そして2023年5月に\(\Phi(3,-465859^{2^{20}})\)が発見されるまでの6年半、知られている最大の非メルセンヌ素数でもあった[12]。
出典[]
- ↑ 1.0 1.1 "W. Sierpinski. "Sur un problème concernant les nombres". Elemente der Mathematik, 1960; 15, 73-74.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 "Sierpiński Number of the Second Kind". Wolfram MathWorld.
- ↑ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Wilfrid Keller. "The Sierpiński Problem: Definition and Status" Proth Search Page.
- ↑ H. Riesel. "Naagra stora primtal". Elementa, 1956; 39, 258-260.
- ↑ "Seventeen or Bust". The PrimePages.
- ↑ 6.0 6.1 "Sebenteen or Bust statistics". PrimeGrid.
- ↑ "Prime Sierpinski Problem statistics". PrimeGrid.
- ↑ "Extended Sierpinski Problem statistics". PrimeGrid.
- ↑ 9.0 9.1 9.2 9.3 "Colbert Number". Wolfram MathWorld.
- ↑ 10.0 10.1 "megaprime". Prime Glossary.
- ↑ "Colbert number". Prime Glossary.
- ↑ "Largest Known Primes". The PrimePages.