紅魔館のメイドナンバー

紅魔館のメイドナンバーは長谷川由紀路(TwitterID @ailinko)が2018年3月25日に考案した巨大数であり、第２回東方巨大数参加作品である。定義文は、ニコニコ動画のブロマガが終了になったため消失した。現在はその魚拓がウェブアーカイブにある。

経緯

作者によると、「みくみく数 Vol.3」という巨大数の定義を目論んだ「みくみくカウンター」という巨大関数の拡張パーツである「Ｍ３数」が「紅魔館のメイドナンバー」の起源である。アッカーマン関数のステップ数の多さを利用するという「アッカーマン増殖法」には大きな誤算があった。この「みくみくカウンター」の強化パーツである「Ｍ２数」の強さが順序数「\(\varepsilon_0\)」に到達したと推定された後、その「Ｍ２数」に「巨大関数の構造の評価に関する未熟さと誤認による修正」を施してしまった。テトレーションの構造で順序数「\(\varepsilon_0\)」ならば、アッカーマン関数の構造を使えば少なくとも順序数「\(\varepsilon_0\)」以上の強さがあるとの算段であったが、肝心の「Ｍ２数」が弱体化していたのだ。東方巨大数２の審査団の解析によると、その強さは順序数「\(\varepsilon_0\)」には遠く及ばず順序数「\(\omega^{\omega^{\omega}}\)」に留まった。
　

定義

元の記事から定義だけを取り出して書く。しかし、この定義には厳密ではないところがある。

一般多変数アッカーマン増殖法 Act.3

　

• 　アッカーマン増殖法の定義 Act.3
  

　\(Ack(Step No.X) = Ack(Step No.X+1)^n\)　補足：ｎ個に増殖するぜ。
　\(Ack(Final Step) = Decimal Number\)　補足：最後の計算結果は増殖しないぜ。
　

• 　アッカーマン関数の改造定義 Act.3
  

　\(Ack(0,a)　=　a+n\)
　\(Ack(b,0)　=　Ack(b-1,n)\)
　\(Ack(b,a)　=　Ack(b-1,Ack(b,a-1))\)
　

• 　３変数アッカーマン関数の改造定義 Act.3

　\(Ack(0,0,a) = Ack(a+n,a+n)\)
　\(Ack(c,0,a) = Ack(c-1,a+n,a+n)\)
　\(Ack(c,b,0) = Ack(c,b-1,n)\)
　\(Ack(c,b,a) = Ack(c,b-1,Ack(c,b,a-1))\)
　

• 　多変数アッカーマン関数の改造定義 Act.3
  

　\(X : 0個以上の0以上の整数\)
　\(Y : 0個以上の0\)
　\(a,b : 0以上の整数\)
　\(Ack(Y,a) = Ack(Y回 …,a+n,a+n,a+n)\)　補足：変数が一つ減るという意味だぜ。
　\(Ack(X,b,0,Y,a) = Ack(X,b-1,a+n,Y,a+n)\)
　\(Ack(X,b,0) = Ack(X,b-1,n)\)
　\(Ack(X,b,a) = Ack(X,b-1,Ack(X,b,a-1))\)
　

急増加関数の定義

　
　\(f_0(n)= n+1\)
　\(f_a(n)= f^n_{a-1}(n)\)
　
　これはそのままだな。詳しくはここに書いてあるぜ。
　

• 　急増加関数・極限順序数に関する定義
  

　\(f_α(n)= f_{α[n]}(n)\)
　\(α[n] は極限順序数 α の基本列のn番目の項\)。

計算方法

基本となる表記

　

• アルファゼロ関数の基本形
  

　
　\(f [b.a](n)\)
　
　これが２変数アッカーマン増殖法を使ったアルファゼロ関数の基本形だぜ。演算のレベルを示す順序数に相当するのが \([b.a]\) で、これを「歩数」と名付けるぜ。これは\(Ack(b,a)\)だが\(Ack\)の省略形として\([b.a]\)と記すことにする。 では、具体的な数字で計算してみるぜ。
　
　\(f [1.1](3)=\)
　\(f [0.[1.0]] [0.[1.0]] [0.[1.0]](3)=\)
　\(f [0.[1.0]] [0.[1.0]] [0.[0.3]] [0.[0.3]] [0.[0.3]](3)=\)
　
　こんな感じでアッカーマン関数の１ステップごとにｎ個に「歩数」が増殖してゆくんだ。ちなみに３行目は改造版の定義をもとにした計算だ。間違ってないぜ。

略記

　
　重要なことなんで念を押して解説するぜ。
　
　\(f [0.[1.0]] [0.[1.0]] [0.[0.3]] [0.[0.3]] [0.6] [0.6] 9(3)\)
　
　この\([0.[1.0]] [0.[1.0]] [0.[0.3]] [0.[0.3]] [0.6] [0.6] 9\)の文字列はこれでひとつの 「歩数」だぜ。同じステップで増殖した仲間はまとめることもできる‥ \([0.[1.0]]^2 [0.[0.3]]^2 [0.6] ^2 9\)こんな感じにな。
　

特殊なケース

　
　ここで大きな流れを復習するぜ。「歩数」は演算のレベルを示す数だ。この「歩数」は「アッカーマン増殖法」によって\(n\)個に増殖してゆく。この「歩数」の末尾が十進数になると、「歩数」を１ステップづつ減らしてゆく事が出来る。つまり、演算のレベルを下げることが出来る。すると関数は\(n\)重に増殖してゆく。これを繰り返して演算のレベルが０になると、芯である\(n\)が大きくなって、さらにこれを繰り返すと、最終的に芯である\(n\)が目的の巨大数となって計算が終了するぜ。さて、\(f [1.1](3)\)という関数で最初に\(f\)の計算となるのは\(f [0.6](3)\)だぜ。こいつを計算すると、約\(2→3→8\)だな。
　
　\(f [0.[1.0]] …略… (f [0.6] (f [0.6](3)))…略…) =\)
　\(f [0.[1.0]] …略… (f [0.6] (f 9 (3)))…略…) =\)
　\(f [0.[1.0]] …略… (f [0.6](巨大数))…略…) =\)
　\(f [0.[1.0]] …略… (f 6+巨大数(巨大数))…略…) =\)
　\(f [0.[1.0]] …略… (超巨大数)…略…)\)
　

巨大数

　
\(f α_0(n)= f [n回…n.n.n.n ](n)\)
紅魔館のメイドナンバー　=　\(f α_0 1(3) = f α_0 ( f α_0 ( f α_0(3)))\)
　

厳密な定義

Nayuta Itoが、自身のブログ内で紅魔館のメイドナンバーを厳密に定義する試みを行っている。