紅魔館のメイドナンバー

紅魔館のメイドナンバーは長谷川由紀路(TwitterID @ailinko)が2018年3月25日に考案した巨大数である。

定義

元の記事から定義だけを取り出して書く。しかし、この定義には厳密ではないところがある。

一般多変数アッカーマン増殖法 Act.3

～アッカーマン増殖法の定義 Act.3～

　Ack(Step No.X) = Ack(Step No.X+1)^n 　　補足：ｎ個に増殖するぜ。

　Ack(Final Step) = Decimal Number　　　　　補足：最後の計算結果は増殖しないぜ。

　～アッカーマン関数の改造定義 Act.3～

　Ack(0,a)　=　a+n　　　　　　　　　　

　Ack(b,0)　=　Ack(b-1,n)　　　　　　　

　Ack(b,a)　=　Ack(b-1,Ack(b,a-1))　　

　～３変数アッカーマン関数の改造定義 Act.3～

　Ack(0,0,a) = Ack(a+n,a+n)　　　　 　　

　Ack(c,0,a) = Ack(c-1,a+n,a+n)　　 　　

　Ack(c,b,0) = Ack(c,b-1,n)　　　　　　　

　Ack(c,b,a) = Ack(c,b-1,Ack(c,b,a-1))　

　～多変数アッカーマン関数の改造定義 Act.3～

　X : 0個以上の0以上の整数　　　　　　　　 　

　Y : 0個以上の0　　　　　　　　　　　　　 　

　a,b : 0以上の整数　　　　　　　　　　　　　

　Ack(Y,a) = Ack(Y回 …,a+n,a+n,a+n) 　　　補足：変数が一つ減るという意味だぜ。

　Ack(X,b,0,Y,a) = Ack(X,b-1,a+n,Y,a+n)　

　Ack(X,b,0) = Ack(X,b-1,n)　　　　　 　 　

　Ack(X,b,a) = Ack(X,b-1,Ack(X,b,a-1))　

急増加関数の定義

　f 0【n】= n+1　　　　　　　　　　 　

　f a【n】= f^n a-1【n】　　　　　　　

　

　これはそのままだな。詳しくはここに書いてあるぜ。

　～急増加関数・極限順序数に関する定義～　

　f α【n】= f α [n]【n】　　　　　　　　　　

　α[n] は極限順序数 α の基本列のn番目の項。

計算方法

基本となる表記

　～アルファゼロ関数の基本形～

　f [b.a]【n】　

　これが２変数アッカーマン増殖法を使ったアルファゼロ関数の基本形だぜ。演算のレベルを示す順序数に相当するのが [b.a] で、これを「歩数」と名付けるぜ。これは Ack(b,a) だが 「Ack」の省略形として [b.a] と記すことにする。 では、具体的な数字で計算してみるぜ。赤字が計算する箇所でグレーが計算の結果だ。

　f [1.1]【3】=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　f [0.[1.0]] [0.[1.0]] [0.[1.0]]【3】=　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　f [0.[1.0]] [0.[1.0]] [0.[0.3]] [0.[0.3]] [0.[0.3]]【3】=　

　こんな感じでアッカーマン関数の１ステップごとにｎ個に「歩数」が増殖してゆくんだ。ちなみに３行目は改造版の定義をもとにした計算だ。間違ってないぜ。

略記

　重要なことなんで念を押して解説するぜ。

　f [0.[1.0]] [0.[1.0]] [0.[0.3]] [0.[0.3]] [0.6] [0.6] 9【3】　

　

　この赤字で記した文字列はこれでひとつの 「歩数」だぜ。同じステップで増殖した仲間はまとめることもできる‥　[0.[1.0]]^2 [0.[0.3]]^2 [0.6] ^2 9　こんな感じにな。

特殊なケース

　ここで大きな流れを復習するぜ。「歩数」は演算のレベルを示す数だ。この「歩数」は「アッカーマン増殖法」によって「n個」に増殖してゆく。この「歩数」の末尾が十進数になると、「歩数」を１ステップづつ減らしてゆく事が出来る。つまり、演算のレベルを下げることが出来る。すると関数は「ｎ重」に増殖してゆく。これを繰り返して演算のレベルが０になると、芯である「ｎ」が大きくなって、さらにこれを繰り返すと、最終的に芯である「ｎ」が目的の巨大数となって計算が終了するぜ。さて、f [1.1]【3】という関数で最初にｆの計算となるのは　f [0.6]【3】だぜ。こいつを計算すると、約「2→3→8」だな。

　f [0.[1.0]] …略… (f [0.6] (f [0.6]【3】))…略…) =

　f [0.[1.0]] …略… (f [0.6] (f 9 【3】))…略…) =

　f [0.[1.0]] …略… (f [0.6]【巨大数】)…略…) =

　f [0.[1.0]] …略… (f 6+巨大数【巨大数】)…略…) =

　f [0.[1.0]] …略… 【超巨大数】…略…)

巨大数

f α_0【n】= f [n回…n.n.n.n ]【n】

紅魔館のメイドナンバー　=　f α_0 1【3】 = f α_0 ( f α_0 ( f α_0【3】))

厳密な定義

Nayuta Itoが、自身のブログ内で紅魔館のメイドナンバーを厳密に定義する試みを行っている。