紅魔館のメイドナンバー

紅魔館のメイドナンバーは長谷川由紀路(TwitterID @ailinko)が2018年3月25日に考案した巨大数であり、第２回東方巨大数参加作品である。

経緯

作者によると、「みくみく数 Vol.3」という巨大数の定義を目論んだ「みくみくカウンター」という巨大関数の拡張アイデアが「紅魔館のメイドナンバー」の起源である。アッカーマン関数のステップ数の多さを利用するという「アッカーマン増殖法」には大きな誤算があった。この「みくみくカウンター」の強化パーツである「Ｍ２数」の強さが「ε₀」に到達したと推定された後、その「Ｍ２数」に間違った修正を施してしまった。その動きを模した「アッカーマン増殖法」には、少なくとも「ε₀」以上の強さがあると勘違いしたという。東方巨大数２の審査団の解析によると、その強さは順序数「\(\varepsilon_0\)」には遠く及ばず順序数「/(/omega^{/omgea^{/omega}}/)」に留まった。
　

定義

元の記事から定義だけを取り出して書く。しかし、この定義には厳密ではないところがある。

一般多変数アッカーマン増殖法 Act.3

　

• 　アッカーマン増殖法の定義 Act.3
  

　Ack(Step No.X) = Ack(Step No.X+1)^n　補足：ｎ個に増殖するぜ。
　Ack(Final Step) = Decimal Number　補足：最後の計算結果は増殖しないぜ。
　

• 　アッカーマン関数の改造定義 Act.3
  

　Ack(0,a)　=　a+n
　Ack(b,0)　=　Ack(b-1,n)
　Ack(b,a)　=　Ack(b-1,Ack(b,a-1))
　

• 　３変数アッカーマン関数の改造定義 Act.3

　Ack(0,0,a) = Ack(a+n,a+n)
　Ack(c,0,a) = Ack(c-1,a+n,a+n)
　Ack(c,b,0) = Ack(c,b-1,n)
　Ack(c,b,a) = Ack(c,b-1,Ack(c,b,a-1))
　

• 　多変数アッカーマン関数の改造定義 Act.3
  

　X : 0個以上の0以上の整数
　Y : 0個以上の0
　a,b : 0以上の整数
　Ack(Y,a) = Ack(Y回 …,a+n,a+n,a+n)　補足：変数が一つ減るという意味だぜ。
　Ack(X,b,0,Y,a) = Ack(X,b-1,a+n,Y,a+n)
　Ack(X,b,0) = Ack(X,b-1,n)
　Ack(X,b,a) = Ack(X,b-1,Ack(X,b,a-1))
　

急増加関数の定義

　
　f 0【n】= n+1
　f a【n】= f^n a-1【n】
　
　これはそのままだな。詳しくはここに書いてあるぜ。
　

• 　急増加関数・極限順序数に関する定義
  

　f α【n】= f α [n]【n】
　α[n] は極限順序数 α の基本列のn番目の項。

計算方法

基本となる表記

　

• アルファゼロ関数の基本形
  

　
　f [b.a]【n】
　
　これが２変数アッカーマン増殖法を使ったアルファゼロ関数の基本形だぜ。演算のレベルを示す順序数に相当するのが [b.a] で、これを「歩数」と名付けるぜ。これは Ack(b,a) だが 「Ack」の省略形として [b.a] と記すことにする。 では、具体的な数字で計算してみるぜ。
　
　f [1.1]【3】=
　f [0.[1.0]] [0.[1.0]] [0.[1.0]]【3】=
　f [0.[1.0]] [0.[1.0]] [0.[0.3]] [0.[0.3]] [0.[0.3]]【3】=
　
　こんな感じでアッカーマン関数の１ステップごとにｎ個に「歩数」が増殖してゆくんだ。ちなみに３行目は改造版の定義をもとにした計算だ。間違ってないぜ。

略記

　
　重要なことなんで念を押して解説するぜ。
　
　f [0.[1.0]] [0.[1.0]] [0.[0.3]] [0.[0.3]] [0.6] [0.6] 9【3】
　
　この [0.[1.0]] [0.[1.0]] [0.[0.3]] [0.[0.3]] [0.6] [0.6] 9 の文字列はこれでひとつの 「歩数」だぜ。同じステップで増殖した仲間はまとめることもできる‥ [0.[1.0]]^2 [0.[0.3]]^2 [0.6] ^2 9 こんな感じにな。
　

特殊なケース

　
　ここで大きな流れを復習するぜ。「歩数」は演算のレベルを示す数だ。この「歩数」は「アッカーマン増殖法」によって「n個」に増殖してゆく。この「歩数」の末尾が十進数になると、「歩数」を１ステップづつ減らしてゆく事が出来る。つまり、演算のレベルを下げることが出来る。すると関数は「ｎ重」に増殖してゆく。これを繰り返して演算のレベルが０になると、芯である「ｎ」が大きくなって、さらにこれを繰り返すと、最終的に芯である「ｎ」が目的の巨大数となって計算が終了するぜ。さて、f [1.1]【3】という関数で最初にｆの計算となるのは　f [0.6]【3】だぜ。こいつを計算すると、約「2→3→8」だな。
　
　f [0.[1.0]] …略… (f [0.6] (f [0.6]【3】))…略…) =
　f [0.[1.0]] …略… (f [0.6] (f 9 【3】))…略…) =
　f [0.[1.0]] …略… (f [0.6]【巨大数】)…略…) =
　f [0.[1.0]] …略… (f 6+巨大数【巨大数】)…略…) =
　f [0.[1.0]] …略… 【超巨大数】…略…)
　

巨大数

　
f α_0【n】= f [n回…n.n.n.n ]【n】
紅魔館のメイドナンバー　=　f α_0 1【3】 = f α_0 ( f α_0 ( f α_0【3】))
　

厳密な定義

Nayuta Itoが、自身のブログ内で紅魔館のメイドナンバーを厳密に定義する試みを行っている。