膨張とは、\(a \{\{1\}\} b = a \{a \{\cdots \{a\} \cdots\}a\}a\)(中心からb個のa) \(= \{a,b,1,2\}\)であらわされる関数。[1]
これはテトレーションやペンテーションなどのハイパー演算子よりも早く成長する。
例
\(2\ \{\{1\}\}\ 2\) = 4.
\(2\ \{\{1\}\}\ 3\) = 2{2{2}2}2 = 2{4}2 = 2{3}2 = 2{2}2 = 2{1}2 = 4, もし基数が 2 で prime(?) ≥ 2なら、 結果は常に 4。
\(3\ \{\{1\}\}\ 2 = \{3,2,1,2\} = 3 \{3\} 3 = 3\uparrow\uparrow\uparrow 3\) (トリトリ)
\(a\ \{\{1\}\}\ 2 = \{a,2,1,2\} = a \{a\} a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a}a\)
\(3\ \{\{1\}\}\ 3 = \{3,3,1,2\} = 3 \{3 \{3\} 3\} 3 = 3\{\text{トリトリ}\}3 = 3\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\text{トリトリ}}3\)
\(4\ \{\{1\}\}\ 3 = \{4,3,1,2\} = 4 \{4 \{4\} 4 \}4 = 4 \{\)\(\text{トリテット} \)\(\} 4 = 4\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\text{トリテット}}4\)
\(a\ \{\{1\}\}\ 3 = \{a,3,1,2\} = a \{a \{a\} a\} a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a\{a\}a}a\)
\(3\ \{\{1\}\}\ 4 = \{3,4,1,2\} = 3 \{3 \{3 \{3\} 3\} 3 \}3 = 3 \{3 \{\text{tritri}\} 3\} 3 = 3\{\ \{3,3,1,2\}\ \}3 = 3\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\{3,3,1,2\} }3\) = \(3 \uparrow^{3 \uparrow^{3 \uparrow^{3}3}3}3\)
\(a\ \{\{1\}\}\ 4 = \{a,4,1,2\} = a \{a \{a \{a\} a\} a \}a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a\{a\{a\}a\}a}a\)
\(3 \{\{1\}\} 66 = \{3,66,1,2\} >\) グラハム数
\(10 \{\{1\}\} 100 = \{10,100,1,2\} = \{10,10,\{10,99,1,2 \}\} = 10 \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\{10,99,1,2 \} }10\) (コーポラル)
\(a \{\{1\}\} b = \{a,b,1,2\} = \{a,a,\{a,b-1,1,2 \}\} = a \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\{a,b-1,1,2\} }a\)
解説
この表記のステップ解説:
- a = 8、b = 5、とする。これは{8,5,1,2}。
- 8{8{8{8{8}8}8}8}8, よって8は5個 (中心の8も含む)。
- 中心の8を消去、 8{8}8 を矢印表記で 8↑88 とする。.
- 8{8{8{8↑88}8}8}8 となり、 8{r}8 をxとする。
- 8{8{8{x}8}8}8 と変換される。
- 8 (x+2個の↑) to 8 = y とおく。
- 8{8{y}8}8 と変換される。
- これを続ける。
疑似コード
function expansion(a, b): result := a repeat b - 1 times: result := hyper(a, a, result + 2) return result function hyper(a, b, n): if n = 1: return a + b result := a repeat b - 1 times: result := hyper(a, result, n - 1) return result
他の表記との比較
Notation | Approximation |
---|---|
ハイパーE表記 | \(a\#\#a\#b\) |
チェーン表記 | \(a \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow 2\) |
急増加関数 | \(f_{\omega+1}(n)\) |
ハーディー階層 | \(H_{\omega^{\omega+1}}(n)\) |
緩成長階層 | \(g_{\Gamma_0}(n)\) |