膨張

膨張とは、\(a \{\{1\}\} b = a \{a \{\cdots \{a\} \cdots\}a\}a\)(中心からb個のa) \(= \{a,b,1,2\}\)であらわされる関数。

これはテトレーションやペンテーションなどのハイパー演算子よりも早く成長する。

例

\(2\ \{\{1\}\}\ 2\) = 4.
\(2\ \{\{1\}\}\ 3\) = 2{2{2}2}2 = 2{4}2 = 2{3}2 = 2{2}2 = 2{1}2 = 4, もし基数が 2 で prime(?) ≥ 2なら、 結果は常に 4。

\(3\ \{\{1\}\}\ 2 = \{3,2,1,2\} = 3 \{3\} 3 = 3\uparrow\uparrow\uparrow 3\) (トリトリ)

\(a\ \{\{1\}\}\ 2 = \{a,2,1,2\} = a \{a\} a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a}a\)

\(3\ \{\{1\}\}\ 3 = \{3,3,1,2\} = 3 \{3 \{3\} 3\} 3 = 3\{\text{トリトリ}\}3 = 3\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\text{トリトリ}}3\)

\(4\ \{\{1\}\}\ 3 = \{4,3,1,2\} = 4 \{4 \{4\} 4 \}4 = 4 \{\)\(\text{トリテット} \)\(\} 4 = 4\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\text{トリテット}}4\)

\(a\ \{\{1\}\}\ 3 = \{a,3,1,2\} = a \{a \{a\} a\} a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a\{a\}a}a\)

\(3\ \{\{1\}\}\ 4 = \{3,4,1,2\} = 3 \{3 \{3 \{3\} 3\} 3 \}3 = 3 \{3 \{\text{tritri}\} 3\} 3 = 3\{\ \{3,3,1,2\}\ \}3 = 3\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\{3,3,1,2\} }3\) = \(3 \uparrow^{3 \uparrow^{3 \uparrow^{3}3}3}3\)

\(a\ \{\{1\}\}\ 4 = \{a,4,1,2\} = a \{a \{a \{a\} a\} a \}a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a\{a\{a\}a\}a}a\)

\(3 \{\{1\}\} 66 = \{3,66,1,2\} >\) グラハム数

\(10 \{\{1\}\} 100 = \{10,100,1,2\} = \{10,10,\{10,99,1,2 \}\} = 10 \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\{10,99,1,2 \} }10\) (コーポラル)

\(a \{\{1\}\} b = \{a,b,1,2\} = \{a,a,\{a,b-1,1,2 \}\} = a \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\{a,b-1,1,2\} }a\)

解説

この表記のステップ解説:

1. a = 8、b = 5、とする。これは{8,5,1,2}。
2. 8{8{8{8{8}8}8}8}8, よって8は5個 (中心の8も含む)。 
3. 中心の8を消去、 8{8}8 を矢印表記で 8↑⁸8 とする。.
4. 8{8{8{8↑⁸8}8}8}8 となり、 8{r}8 をxとする。
5. 8{8{8{x}8}8}8 と変換される。
6. 8 (x+2個の↑) to 8 = y とおく。
7. 8{8{y}8}8 と変換される。
8. これを続ける。

疑似コード

function expansion(a, b):
    result := a
    repeat b - 1 times:
        result := hyper(a, a, result + 2)
    return result

function hyper(a, b, n):
    if n = 1:
        return a + b
    result := a
    repeat b - 1 times:
        result := hyper(a, result, n - 1)
    return result

他の表記との比較

Notation	Approximation
ハイパーE表記	\(a\#\#a\#b\)
チェーン表記	\(a \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow 2\)
急増加関数	\(f_{\omega+1}(n)\)
ハーディー階層	\(H_{\omega^{\omega+1}}(n)\)
緩成長階層	\(g_{\Gamma_0}(n)\)