許容順序数

許容順序数 (admissible ordinal) は構成可能階層，$L_\alpha$がKP集合論のモデルとなるような$\alpha$である．

定義

推移的集合$A$が許容可能 (admissible) であるとは，$\langle A,\in\rangle\models \mathsf{KP}$となることである．とくに$L_\alpha$が許容可能になるとき，$\alpha$は許容順序数 (admissible ordinal) である．また$\omega$より大きい許容順序数は再帰的正則順序数 (recursively regular ordinal) と呼ばれる．また一般に$\Sigma_n$-許容的であるとは$\langle A,\in\rangle\models \mathsf{KP}+\Sigma_n\text{-}\mathsf{Col}$となることである．

性質

最小の許容順序数は$\omega$である．また許容順序数の全体の位相閉包の数え上げを$\omega_\alpha^{\mathrm{CK}}$と表す．$\omega_\alpha^{\mathrm{CK}}$は$\alpha$が後続順序数であるとき，許容順序数である．例えばチャーチ・クリーネ順序数$\omega_1^{\mathrm{CK}}$は最小の$\omega$より大きいの許容可能順序数である．しかし$\alpha$が極限順序数の場合，許容順序数であるとは限らない．例えば$\omega_\omega^\mathrm{CK}$は許容順序数ではない．$\alpha$が極限順序数でかつ許容可能であるとき再帰的到達不能順序数 (recursively inaccessible ordinal) であるという．

$\alpha$-再帰理論に於ける$\alpha$-再帰関数，すなわち$L_\alpha$に於いて$\Sigma_1$-定義可能な関数を考えよう．$\alpha$が許容順序数であることは以下のように特徴づけることができる．

• 任意の$\xi<\alpha$，任意の$\alpha$-再帰的関数$f:\xi\to\alpha$に対して，$\sup\{f(\zeta)\mid\zeta<\xi\}<\alpha$となる．

基数$\kappa$が正則であるということは以下のように定義された．

• 任意の$\xi<\kappa$，任意の関数$f:\xi\to\kappa$に対して，$\sup\{f(\zeta)\mid\zeta<\xi\}<\kappa$となる．

このことから，許容順序数が再帰的正則と言われうる所以が分かるであろう．また$\omega$より大きい許容順序数が$\Pi^0_2$-反映順序数となることもこれから分かる．

また$L_{\omega_1^\mathrm{CK}}\models\mathsf{KP}\omega$となり，かつそのような順序数で最小である．また全ての極限順序数$\alpha$に対し$L_{\omega_\alpha^\mathrm{CK}}\models\mathsf{KPl}$であり，$\omega_\omega^\mathrm{CK}$はそのようなもので最小のものとなる．また$\langle \mathbb{N},L_\alpha\cap\mathcal{P}(\mathbb{N}),+,\times,<\rangle\models\Pi^1_1\text{-}\mathsf{CA}_0$となる最小の$\alpha$も$\omega_\omega^\mathrm{CK}$である．

参考文献

• P.G. Hinman. Recursion-theoretic hierarchies. Vol. 9. Cambridge University Press, 2017.
• J. Barwise. Admissible sets and structures. Vol. 7. Cambridge University Press, 2017.

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