超有限主義

超有限主義 (Ultrafinitism) は、巨大数論とは対照的な考え方である。これは、自然数の集合は有限であり、ある大きさまで達すると、存在しなくなるという思想である。これは有限主義の極限的なもので、無限の物(例えば順序数)は存在しないと主張する。超有限主義者は、自然数の終わりは実際に実現させることは出来ないため、存在しないとしている。

超有限主義の初等的な議論として、巨大数は循環的にしか定義できないというものがある。自然数は0の後に後継関数をいくつもつけて表現できる。そして問題が発生する:グーゴルプレックスは\(S\cdots S0\)（\(S\)はグーゴルプレックス個）と表現できるが、これではグーゴルプレックスの定義にグーゴルプレックス自体を使ってしまっている。超有限主義の立場では、\(S\)を実際にグーゴルプレックス個並べなければならない。

エピソード

According to Scott Aaronson, Harvey Friedman, whose works such as TREE sequence and transcendental integers are well-known in googology, was attending a talk by an ultrafinitist Alexander Yessenin-Volpin: So Friedman raised the obvious “draw the line” objection: in the sequence \(2^1\),\(2^2\),…,\(2^{100}\), which is the first integer that Yessenin-Volpin would say doesn’t exist? Yessenin-Volpin asked Friedman to be more specific. “Okay, then. Does \(2^1\) exist?” Yessenin-Volpin quickly answered “yes.” “What about \(2^2\)?” After a noticeable delay: “yes.” “\(2^3\)?” After a longer delay: “yes.” It soon became clear that Yessenin-Volpin would answer “yes” to every question, but would take twice as long for each one as for the one before it.

関連項目

• バリウム数