超階乗 (Superfactorial) は階乗を元に作られた関数で、異なった定義がある[1]。
Clifford Pickoverの超階乗[]
Clifford Pickover は \(n\$ = ^{(n!)}(n!) = \underbrace{n!^{n!^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{n!}}}}}}_{n!}\)と定義した。矢印表記で \(n! \uparrow\uparrow\uparrow 2\)に等しい。
最初のいくらかの値[]
| \(n\) | \(n\$\) |
|---|---|
| \(1\) | \(^{1!}1!=1\) |
| \(2\) | \(^{2!}2!=2^{2}=4\) |
| \(3\) | \(^{3!}3!=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}\approx10^{10^{10^{10^{10^{4.55997}}}}}<f_{3}(6)\) |
| \(4\) | \(^{4!}4!=\underbrace{24^{24^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{24}}}}}}_{24} < f_{3}(24)\) |
| \(5\) | \(^{5!}5! < f_{3}(120)\) |
この超階乗の増加速度は急増加関数で\(f_{3}(f_{2}(n)) \approx f_{3}(n!)\)程である。
Simon PlouffeとNeil Sloaneの超階乗[]
Simon PlouffeとNeil Sloaneは \(n\$ = \prod^{n}_{i = 1} i! = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot \ldots \cdot n!\)と定義した。
この超階乗はハイパー階乗\(H(n)\)と面白い関係がある: \(n\$ \cdot H(n) = n!^{n + 1}\).
最初のいくらかの値[]
OEIS A000178によるn<12までのn$を示す。
| n | n$ |
|---|---|
| \(0\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(2\) |
| \(3\) | \(12\) |
| \(4\) | \(288\) |
| \(5\) | \(34560\) |
| \(5\) | \(24883200\) |
| \(7\) | \(125411328000\) |
| \(8\) | \(5056584744960000\) |
| \(9\) | \(1834933472251084800000\) |
| \(10\) | \(6658606584104736522240000000\) |