超階乗配列表記


超階乗配列表記
型	多次元
基本関数	階乗

超階乗配列表記 (Hyperfactorial array notation) は、 Lawrence Hollom が2013年4月に考案した巨大数の表記法である^[1]。なお、Hollom は現在新しい階乗配列表記 (FAN) を開発中であり、ウェブサイトを改装中である^[2]。

基本

まず、配列というものを定義しなければならない。どの配列も0かそれ以上で有限の個数の列を含む。それらは正整数か他の配列のどちらかである。(そしてネスト数は有限)正しい配列の例として:

[1,1,[1,2,[3],4,[],1,1],1,3,10,1,[4,[4,3,1],5,6],1,[1,2],1,1]

がある。まず、次のような表記を定義する。:

\(n!m = n\uparrow^{m}(n-1)\uparrow^{m}(n-2)\cdots n\uparrow^{m} 3 \uparrow^{m} 2 \uparrow^{m} 1\)

超階乗配列表記は配列\(A\)に対する \(n!A\)である。超階乗配列表記の正しい表記の一つは \(5![6, [7, 8], 9]\)である。

アクティブな変数を1でない配列の最初の変数とする。これはBEAFのパイロットに似ている。

配列の最後の1は切り落とせる。
\([@, 1] = [@]\)
空の配列はnで置き換えられる。
\([] = n\)
もし最初の変数>1なら:
\(f(a) = a![k-1,@]\)

\(n![k,@] = f^n(n)\)
その他:
\(n![1,1,\cdots,1,1,[[...[[k @]]...]],@]\)

\(= n![1,1,\cdots,1,[1,1,\cdots,1,1,[[...[[1 @]]...]],@],[[...[[k-1 @]]...]],@]\)

ここで \(@\) は配列の変わらない部分を表す。

超階乗配列表記の最終的な増加速度は不明であり、まだ合意がされていない。Hollom は、はるか竹内・フェファーマン・ブーフホルツ順序数に到達すると考えている。