連鎖E表記

連鎖E表記 (Cascading-E notation) は\(E\verb|^|\)とも省略され、Sbiis Saibianが2013年1月22日に導入したハイパーE表記 のさらなる拡張と一般化である。この表記の成長率の極限は急増加関数を用いて\(f_{\varepsilon_0}(n)\)と比定され、だいたい原始数列システムと同じくらいの成長率である。

\(E\verb|^|\)はさらに大きい表記法である拡張型Eシステムの一部で、拡張連鎖E表記へと発展する。

定義

用語

\(E(b)a_{1}\#^{X}a_{2}\#^{X}\cdots a_{n-2}\#^{X}a_{n-1}\#^{X}a_{n}\)が連鎖E表記の基本的な表記である。\(b\)は基数と呼び、\(10\)の場合は省略される。

\(\#^{X}\)は単一の連鎖、\(a_{1}\#^{X}\cdots a_{n-1}\#^{X}a_{n}\)は連鎖のハイパー積と呼ぶ。\(X\)には任意の正の整数またはハイパー積が入り、特に\(X\)が正の整数である場合は\(\#^{n}\)と表記される。ハイパー積の末尾は単一の連鎖である場合も、そうではない場合もある。

展開ルール

ここで\(@\)は、展開の前後で変更されない箇所を意味する。

• ルール1: \(\#\)が無い場合。

  \(E(b)a=b^{a}\)

• ルール2: ハイパー積の最後が\(1\)の場合。

  \(E(b)@a\#^{n}1=E(b)@a\)

• ルール3: 最後の連鎖が\(\#^{n}\)ではない場合。

  \(E(b)a@X\#^{(X\#^{n})}@c=E(b)a@X\#^{\left(X\#^{(n-1)^{a}}\right)}@a\)

• ルール4: 最後の連鎖が\(\#^{n}\)であるが、ハイパー積の最後が連鎖ではない場合。

  \(E(b)@aX\#^{n}c=E(b)@aX\#^{(n-1)}aX\#^{n}(c-1)\)

• ルール5: それ以外の場合。

  \(E(b)a@\#c=E(b)@(E(b)a@\#(c-1))\)

なお、ここで\(\#^{1}=\#\)、\(\#^{0}=1\)である。

単純な展開

より単純な形式の場合、以下の展開ルールが適用できる。

\begin{eqnarray} Ea\#^{\#b}&=&Ea\#^{b}a=Ea\underbrace{\#\#\cdots\#\#}_{b}a\\ Ea\#^{\#\#b}&=&E\underbrace{a\#^{\#a\#^{\#a\#^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\#a\#^{\#a}}}}}}}}_{b}\\ Ea\#^{\#\#\#b}&=&\underbrace{a\#^{\#\#a\#^{\#\#a\#^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\#\#a\#^{\#\#a}}}}}}}}_{b} \end{eqnarray}

関連項目

• 拡張連鎖E表記
• ハイパーE表記