\(67280421310721\)とは、以下の素因数として発見されたとされている素数である。
\[\cfrac{2^{64}+1}{274177}=67280421310721\]
概要[]
素数としての\(67280421310721\)の発見者は、一般にはFortuné Landryであり、1880年に発見したのではないかとされている。Landryは1867年から1869年にかけて、自然数\(n\leqq64\)において\(2^{n}\pm1\)の形式を持つ全ての数について因数分解を行い、4つを除いて全てを素因数分解し、1869年に論文としてまとめた[1]。この時に残された4つの内の1つが\(2^{64}+1\)であり、Landry自身によって\(F_{6}=2^{64}+1=274177\times67280421310721\)と素因数分解されたのは1880年であった[2]。
一方で、1855年にはThomas Clausenがカール・フリードリヒ・ガウスに宛てた手紙の中で、Landryより以前に\(\frac{2^{64}+1}{274177}=67280421310721\)を発見した、とKurt-R. Biermannは主張している。事実であれば、Landryによる発見より25年も早いことになる[3]。
記録の不確実性[]
もしも上記の\(67280421310721\)に関する記録が正確である場合、Landryによって1867年に発見された\(\frac{2^{59}-1}{179951}=\)\(3203431780337\)を超え、発見当時で知られている最大の素数、および非メルセンヌ素数であったことになる。しかしながら、\(67280421310721\)はしばしば発見当時最大の素数のリストから省かれている[4]。Landryは\(2^{64}+1\)の素因数分解について、手法をきちんと書き残さなかったためである。ただしHugh C. Williamsは、Landryの手紙の内容から手法を推測したことから、実際に因数分解ができていた可能性がある[2]。Clausenの記録は、因数分解の手法が残されていないため、より不確実である。[4]。
\(67280421310721\)もしくは\(3203431780337\)が知られている最大の素数であったのは、1876年にエドゥアール・リュカによって素数であることが証明された12番目のメルセンヌ素数までであった[5]。一方で知られている最大の非メルセンヌ素数に限ると、1951年にAimé Ferrierによって発見されたフェリエ素数までとなるため、非常に長い記録となる[4][6][7] (発見時期に関する議論は当該記事を参照) 。
出典[]
- ↑ F. Landry. "Décompositions des nombres \(2^{n}\pm1\) en leurs facteurs premiers de n = 1 à n = 64 (moins quatre)". Librairie Hachette, Paris, 1869.
- ↑ 2.0 2.1 H. C. Williams. "How was \(F_{6}\) factored?". Mathematics of Computation, 1993; 61, 463-474. DOI: 10.1090/S0025-5718-1993-1182248-9
- ↑ Kurt-R. Biermann. "Thomas Clausen, Mathematiker und Astronom". Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1964; 216. DOI: 10.1515/crll.1964.216.159
- ↑ 4.0 4.1 4.2 "The Largest Known prime by Year: A Brief History". The PrimePages.
- ↑ Édouard Lucas. "Note sur l'application des séries récurrentes à la recherche de la loi de distribution des nombres premiers". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 1876 82, 165-167.
- ↑ J. C. P. Miller & D. J. Wheeler. "Large prime numbers". Nature 1951; 168, 838.
- ↑ "Which came first: 180(2127-1)2 + 1 or (2148-1)/17?". The PrimePages.