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8番目のメルセンヌ素数 (8th Mersenne prime number) とは、以下のメルセンヌ素数である。

\[M_{31}=2^{31}-1=2147483647\]

概要[]

\(M_{31}\)は1644年にマラン・メルセンヌによって素数であるのが予想されたメルセンヌ数の1つである。\(M_{31}\)はメルセンヌの予想の中で、素数かどうか不明であった最小のメルセンヌ数であった[1]

1772年までに、レオンハルト・オイラーによって\(M_{31}\)が素数であることが証明され、当時知られている最大の素数となった[2]。正確な確定の日付は不明であるが、1752年10月28日にオイラーからクリスティアン・ゴールドバッハへ宛てた手紙[3]から、1772年にオイラーからダニエル・ベルヌーイへ宛てた手紙[4]のどこかの間である。\(M_{31}=2147483647\)を手計算で試し割りすることは非常に大変であるため、オイラーはモジュラー制限付き試し割り法を考案した。オイラーは\(M_{31}\)が合成数である場合、素因数は\(248n+1\)か\(248n+63\)のいずれかの形式に限られることを示し、そのような\(46339\)未満の全ての素数で割り算を行うことで\(M_{31}\)が素数であることを示した。同じ手法は\(M_{41}=2^{41}-1=2199023255551\)と\(M_{47}=2^{47}-1=140737488355327\)が合成数であることを示すためにも使われた[2]

出典[]

  1. "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists". The PrimePages.
  2. 2.0 2.1 "The Largest Known prime by Year: A Brief History". The PrimePages.
  3. "OO877 (PDF)". The Euler Archive.
  4. "E461 (PDF)" The Euler Archive.

関連項目[]

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