E2:B-01-Hs

E2:B-01-Hs は 108Hassium が2018年3月29日に公開した巨大数である。第2回東方巨大数の計算可能部門 Lunatic ランクで優勝した。近似値は\(f_{\varphi(\omega,0)+1}(108)\)。

定義

表記

• 非負整数は項である
• 0個以上の項\(a_1,a_2,...\)に対し\((a_1,a_2,...)\)は列である
• 非負整数\(a\)と列\(s\)に対して\(\{a\}^s\)は項である
• 列\(s\)と非負整数\(n\)に対して\(s[n]\)を標準形とする

計算法

• \(□,■:0\)個以上の項
• \(a:\)非負整数

rule1:　\(()[n]=n\)

rule2:　\((□,0)[n]=(□)[n+1]\)

以下の3つの規則は最も右側にある列に対して適用する

rule3:　\((□,\{a\}^{()})=(□,\underbrace{a,...a}_n)\)

rule4:　\((□,\{a\}^{(■,0)})=(□,\{a\}^{(■)},a)\)

rule5:　\((□,a+1)=f^n((□)):f(x)=(□,\{a\}^x)\)

\(B(n)=(n)[n]\)とし、E2:B-01-Hs\(=B^{108}(108)\)とする。

計算例

\((3,0)[1]=(3)[2]=(\{2\}^{(\{2\}^{()})})[2]=(\{2\}^{(2,2)})[2]=(\{2\}^{(2,\{1\}^{(2,\{1\}^{(2)})})})[2]\)

評価

\begin{array} (\{0\}^{()})[n]&=&f_1(n)\\ (\{0\}^{(0)})[n]\\ =(\{0\}^{()},0)[n]&=&f_1(n+1)\\ (\{0\}^{(\{0\}^{()})})[n]&=&f^2_1(n)\\ (1)[n]&=&f_2(n)\\ (1,\{0\}^{()})[n]&=&f_2(f_1(n))\\ (1,\{0\}^{(1)})[n]&=&f_2(f^{n+1}_1(n))\\ &\approx &f^2_2(n)\\ (1,\{0\}^{(1,\{0\}^{(1)})})[n]&\approx &f^3_2(n)\\ (1,1)[n]&\approx &f_3(n)\\ (1,1,\{0\}^{(1,1)})[n]&\approx &f^2_3(n)\\ (1,1,1)[n]&\approx &f_4(n)\\ (\{1\}^{()})[n]&\approx &f_{\omega}(n)\\ (\{1\}^{()},\{0\}^{(\{1\}^{()})})[n]&\approx &f^2_{\omega}(n)\\ (\{1\}^{(0)})[n]&\approx &f_{\omega+1}(n)\\ (\{1\}^{(\{0\}^{()})})[n]&\approx &f_{\omega×2}(n)\\ (\{1\}^{(1)})[n]&\approx &f_{\omega^2}(n)\\ (\{1\}^{(\{1\}^{()})})[n]&\approx &f_{\omega^{\omega}}(n)\\ (\{1\}^{(\{1\}^{(\{1\}^{()})})})[n]&\approx &f_{\omega^{\omega^{\omega}}}(n)\\ (2)[n]&\approx &f_{\varepsilon_0}(n)\\ (2,1)[n]&\approx &f_{\varepsilon_0+1}(n)\\ (2,\{1\}^{(2)})[n]&\approx &f_{\varepsilon_0×2}(n)\\ (2,\{1\}^{(2,\{0\}^{(2)})})[n]&\approx &f_{\varepsilon_0×3}(n)\\ (2,\{1\}^{(2,1)})[n]&\approx &f_{\varepsilon_0×{\omega}}(n)\\ (2,\{1\}^{(2,\{1\}^{(2)})})[n]&\approx &f_{\epsilon_0^2}(n)\\ (2,\{1\}^{(2,\{1\}^{(2,1)})})[n]&\approx &f_{\varepsilon_0^{\omega}}(n)\\ (2,\{1\}^{(2,\{1\}^{(2,\{1\}^{(2)})})})[n]&\approx &f_{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}(n)\\ (2,2)[n]&\approx &f_{\varepsilon_1}(n)\\ (\{2\}^{()})[n]&\approx &f_{\varepsilon_{\omega}}(n)\\ (\{2\}^{(2)})[n]&\approx &f_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}(n)\\ (3)[n]&\approx &f_{\zeta_0}(n)\\ (3,2)[n]&\approx &f_{\varepsilon_{\zeta_0+1}}(n)\\ (3,\{2\}^{(3)})[n]&\approx &f_{\varepsilon_{\zeta_0×2}}(n)\\ (3,\{2\}^{(3,2)})[n]&\approx &f_{\varepsilon_{\varepsilon_{\zeta_0+1}}}(n)\\ (3,3)[n]&\approx &f_{\zeta_1}(n)\\ (\{3\}^{()})[n]&\approx &f_{\zeta_{\omega}}(n)\\ (\{3\}^{(3)})[n]&\approx &f_{\zeta_{\zeta_0}}(n)\\ (4)[n]&\approx &f_{\varphi(3,0)}(n)\\ (n)[n]&\approx &f_{\varphi({\omega},0)}(n)\\ \end{array}

トリビア

• 定義に使用されている計算システムは「2階数列システム」という名前で、以下の数列システムにおいて「項の個数を超限順序数に拡張したもの」を意図して作られた。

rule1:\((□,0)[n]=(□)[n]\)

rule2:\((□,m+1)[n]=(□,\underbrace{m,m,...m}_n)[n]\)