L-階差数列類

L-階差数列類 は 108Hassiumが2019年5月12日に公開した巨大数生成システムである。第3回東方巨大数のエントリーであるE3:A-01-Hs、E3:A-02-Hs、E3:A-03-Hs、E3:A-04-Hs、E3:A-05-Hs の定義に使用された。L-階差数列類の停止性は不明である。

L-階差数列類は m-階差数列システム の拡張である。

定義

表記

• \(a_0,a_1,...a_k:\)非負整数
• \(n:\)自然数
• \(M:\)L関数

• 正規形\(:(a_0,a_1,...a_k)_{M}[n]=(S)_M[n]\)

サブルール

• \(c,e,g:\)自然数

• 列の長さ

列\(s\)の長さを\(|s|\)と表記する。

例:\(|0,1,1,2,2,3|=6\)

• 結合

列\(s\)と列\(t\)の結合を\(s\frown t\)と表記する。

例:\(0,1,1,2\frown 2,3=0,1,1,2,2,3\)

• 展開度

列\(s=b_0,b_1,...b_c\)の「展開度」を\(max\{e|∃s'[∃g[s=s'+g×0\frown s'+g×1\frown ...s'+g×e]]\}\)と定義する。

例:\(s=0,1,1,2,2,3,3,4\)

\(s'=0,1,1,2→s=s'+0×2\frown S'+1×2→e=1\)

\(s'=0,1→s=s'+0×1\frown s'+1×1\frown s'+2×1\frown s'+3×1→e=3\)

• L関数

L関数は、非負整数\(m\)と再帰順序数\({\alpha}\)を用いて\(L_{\alpha}(m)\)と表記され、列\(S\)に依存した関数である。

rule1:\(L_0(m)=\)「1以上の展開度を持ち、階差数列が全て-mより大きいようなSの連続部分列の最大長」

rule2:\(L_{\alpha+1}(m)=L^m_{\alpha}(m)\)

rule3:\(L_{\alpha}(m)=L_{\alpha[m]}(m):\)

• \(a_l\)

\(M\)の値に対応する列の内、最も左側にある列の初項を\(a_l\)とする。

• \(d_0,d_1,...d_k\)

\(d_0,d_1,...d_k\)を以下の通り定義する。

rule1:\(d_0=-\infty\)

rule2:\(d_k=max\{a_k-a_{k-1},-M\}\)

rule3:\(d_l=min\{a_k-a_{k-1},-M-1\}\)

rule4:\(d_c=a_c-a_{c-1}\)

• \(\text{ex}(S,b)\)

列\(S\)と自然数\(b\)から列への写像\(\text{ex}(s,n)\)を以下の通り定義する。

• \(r=max\{i|(a_i<a_k)∧(d_i<d_k)\}\)
• \(A=a_0,a_1,...a_{r-1}\)、\(B_0=a_r,a_{r+1},...a_{k-1}\)
• \(B_c=B_0+c×(a_k-a_r-1)\)
• \(\text{ex}(S,n)=A\frown B_0\frown B_1\frown ...B_n\)

計算法

• \(\#:\)長さ1以上の列

rule1:\((0)_M[n]=n+1\)

rule2:\((\#,0)_M[n]=(\#)_M[n+1]\)

rule3:\((\#)_M[n]=(\text{ex}(\#,n))_M[n]\)

命名

• \(A_1(x)=(0,2)_{L_0(0)}[x]\)
• \(A_2(x)=(0,2)_{L_0(1)}[x]\)
• \(A_3(x)=(0,2)_{L_0(L_0(0))}[x]\)
• \(A_4(x)=(0,2)_{L_{\omega}(x)}[x]\)
• \(A_5(x)=(0,2)_{L_{\varphi({\omega},0)}(x)}[x]\)

• E3:A-01-Hs\(=A^{108}_1(108)\)
• E3:A-02-Hs\(=A^{108}_2(108)\)
• E3:A-03-Hs\(=A^{108}_3(108)\)
• E3:A-04-Hs\(=A^{108}_4(108)\)
• E3:A-05-Hs\(=A^{108}_5(108)\)

計算例

• \((0,1,2,1,2,2,3,3,4,0,1,1,2,2,3,2)_{L_0(1)}[2]\)
  • \(L_0(1)=6\)
  • \(l=3\)
  • \(d=-\infty,1,1,-7,1,0,1,0,1,-4,1,0,1,0,1,-1\)
  • \(r=9\)
  • \(A=0,1,2,1,2,2,3,3,4\)、\(B_0=0,1,1,2,2,3\)
  • \(a_k-a_r-1=1\)

\((0,1,2,1,2,2,3,3,4,0,1,1,2,2,3,2)_{L_0(1)}[2]\)

\(=(0,1,2,1,2,2,3,3,4,0,1,1,2,2,3,1,2,2,3,3,4,2,3,3,4,4,5)_{L_0(1)}[2]\)

評価

以下は 108Hassium 本人による解析だが、使用された\(\psi\)の定義が不明である。また、解析の証明はされていない。

略記

\(S_0=0\)

\(S_{n+1}=S_n,S_n+1\)

\(M=L_0(0)\)

\begin{array}{ll} (S_4,2)&=&\varepsilon_0\\ (S_4,2,S_4,2)&=&\varepsilon_1\\ (S_4,2,1)&=&\psi_0(\omega)\\ (S_4,2,1,0,1,1,2,S_4,2)&=&\psi_0(\omega+1)\\ (S_4,2,1,0,1,1,2,S_4,2,1)&=&\psi_0(\omega\times2)\\ (S_4,2,1,0,1,1,2,1)&=&\psi_0(\omega^2)\\ (S_4,2,1,S_4,2)&=&\psi_0(\Omega)\\ (S_4,2,1,S_4,2,S_4,2,1,S_4,2)&=&\psi_0(\Omega\times2)\\ (S_4,2,1,S_4,2,1)&=&\psi_0(\Omega\times\omega)\\ (S_4,2,1,S_4,2,1,0,1,1,2,S_4,2,1,S_4,2)&=&\psi_0(\Omega\times\omega+1)\\ (S_4,2,1,S_4,2,1,S_4,2)&=&\psi_0(\Omega^2)\\ (S_4,2,1,1)&=&\psi_0(\Omega^\omega)\\ (S_4,2,1,1,0,1,1,2,S_4,2,1,1)&=&\psi_0(\Omega^\omega\times2)\\ (S_4,2,1,1,0,1,1,2,1)&=&\psi_0(\Omega^\omega\times\omega)\\ (S_4,2,1,1,0,1,1,2,1,0,1,1,2,1)&=&\psi_0(\Omega^\omega\times\omega^2)\\ (S_4,2,1,1,S_4,2)&=&\psi_0(\Omega^{\omega+1})\\ (S_4,2,1,1,S_4,2,1)&=&\psi_0(\Omega^{\omega+1}\times\omega)\\ (S_4,2,1,1,S_4,2,1,S_4,2)&=&\psi_0(\Omega^{\omega+2})\\ (S_4,2,1,1,1)&=&\psi_0(\Omega^{\omega^2})\\ (S_4,2,1,2)&=&\psi_0(\Omega^{\omega^\omega})\\ (S_4,2,S_3+1,2)&=&\psi_0(\Omega^\Omega)\\ (S_4,2,S_3+1,2,1)&=&\psi_0(\Omega^\Omega\times\omega)\\ (S_4,2,S_3+1,2,1,S_4,2)&=&\psi_0(\Omega^{\Omega+1})\\ (S_4,2,S_3+1,2,1,1)&=&\psi_0(\Omega^{\Omega\times\omega})\\ (S_4,2,S_3+1,2,S_3,2)&=&\psi_0(\Omega^{\Omega^2})\\ (S_4,2,2)&=&\psi_0(\Omega^{\Omega^\omega})\\ (S_4,S_3+2,3)=(S_3,S_3+1,S_3+2,3)&=&\psi_0(\Omega^{\Omega^\Omega})\\ (S_3,2)&=&\psi_0(\psi_1(0))\\ (S_3,2,1)&=&\psi_0(\psi_1(0)\times\omega)\\ (S_3,2,1,0,1,1,2,S_3,2)&=&\psi_0(\psi_1(0)\times(\omega+1))\\ (S_3,2,1,0,1,1,2,1)&=&\psi_0(\psi_1(0)\times\omega^2)\\ (S_3,2,1,S_4,2)&=&\psi_0(\psi_1(0)\times\Omega)\\ (S_3,2,1,S_4,2,1,S_4,2)&=&\psi_0(\psi_1(0)\times\Omega^2)\\ (S_3,2,1,S_4,2,1,1)&=&\psi_0(\psi_1(0)\times\Omega^\omega)\\ (S_3,2,1,S_4,2,S_3+1,2)&=&\psi_0(\psi_1(0)\times\Omega^\Omega)\\ (S_3,2,1,S_3,S_3+1,3)&=&\psi_0(\psi_1(0)^2)\\ (S_3,2,1,S_3,2)&=&\psi_0(\psi_1(1))\\ (S_3,2,1,1)&=&\psi_0(\psi_1(\omega))\\ (S_3,2,1,1,S_3,2,1,1)&=&\psi_0(\psi_1(\omega^2))\\ (S_3,2,1,2)&=&\psi_0(\psi_1(\omega^\omega))\\ (S_3,2,S_2+1,S_4+1,2)&=&\psi_0(\psi_1(\Omega))\\ (S_3,2,S_2+1,S_3+1,3)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_1(0)))\\ (S_3,2,S_2+1,2)&=&\psi_0(\psi_1(\Omega_2))\\ (S_3,2,2)&=&\psi_0(\psi_1(\Omega_2^\omega))\\ (S_2,S_2+1,S_2+2,3)&=&\psi_0(\psi_1(\Omega_2^{\Omega_2}))\\ (S_2,2)=(0,1,1,2,2)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(0)))\\ (S_2,2,1)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(0))\times\omega)\\ (S_2,2,1,S_2,2)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(0))\times(\omega+1))\\ (S_2,2,S_4+1,3)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(0))\times\Omega)\\ (S_2,2,S_3+1,3)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(0)+1))\\ (S_2,2,S_2+1,3)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(0)\times2))\\ (S_2,2,2)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(1)))\\ (S_2,2,3)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\omega)))\\ (S_2,2,3,S_4+2,4)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\Omega)))\\ (S_2,2,3,S_3+2,4)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\Omega_2)))\\ (S_2,2,3,S_2+2,4)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\psi_2(0))))\\ (0,1,1,2,2,3,3)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\Omega_3)))\\ (0,1,2)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\Omega_3^\omega)))\\ (0,1,2,S_3,S_5,2)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\Omega_3^\omega))+1)\\ (0,1,2,S_3,S_5,2,S_3,1)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\Omega_3^\omega))+\omega)\\ (0,1,2,S_3,S_5,2,S_3,1,S_3,S_5,2)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\Omega_3^\omega))+\omega+1)\\ (0,1,2,S_3,S_5,2,S_3,1,S_3,1)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\Omega_3^\omega))+\omega^2)\\ (0,1,2,S_3,S_5,2,S_3,1,1)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\Omega_3^\omega))+\omega^\omega)\\ (0,1,2,S_3,S_5,2,S_3,S_5+1,3)&=&\psi_0(\psi_1(\psi_2(\Omega_3^\omega))+\Omega)\\ (0,2)&=&\psi_0(\Omega_\omega)\\ \end{array}

\(M=L_0(1)\)

\begin{array}{ll} (S_6,2)&=&\varepsilon_0\\ (S_6,2,S_4,S_6,2)&=&\varepsilon_1\\ (S_6,2,S_4,1)&=&\psi_0(\omega)\\ (S_6,2,S_4,1,S_4,S_6,2)&=&\psi_0(\omega+1)\\ (S_6,2,S_4,1,S_4,1)&=&\psi_0(\omega^2)\\ (S_6,2,S_4,1,1)&=&\psi_0(\omega^\omega)\\ (S_6,2,S_6,2)&=&\psi_0(\Omega)\\ (S_6,2,S_6,2,S_4,S_6,2,S_6,2)&=&\psi_0(\Omega\times2)\\ (S_6,2,S_6,2,S_6,2)&=&\psi_0(\Omega^2)\\ (S_6,2,1)&=&\psi_0(\Omega^\omega)\\ ((0,1,2)&=&\psi_0(\Omega_\omega)\\ (0,1,2,1)&=&\psi_0(\Omega_\omega)\times\omega\\ (0,1,2,1,2,2,3)&=&\psi_0(\Omega_\omega)\times\omega^{\omega^\omega}\\ (0,1,2,1,2,2,3,0,1,2,S_3,1)&=&\psi_0(\Omega_\omega)\times(\omega^{\omega^\omega}+1)\\ \end{array}

また、108Hassium はブログ記事でm-階差数列システムとL-階差数列類の関係を説明している。

\(L_\Omega\)-階差数列システム

\(L_\Omega\)-階差数列システムはL-階差数列類の拡張であり、L-階差数列類と同時に定義が公開された。第3回東方巨大数のエントリーであるE3:A-06-Hs の定義に使用され、殿堂入りとなった。\(L_\Omega\)-階差数列類の停止性は不明であり、大きさの評価もされていない。

定義

サブルール

• L関数

順序数の代わりに数列を使う。

rule0-0:\((0)_M=1\)

rule0-1:\((\#,0)_M=(\#)_M+1\)

rule0-2:\((\#)_M[n]=(\text{ex}(\#,n))_M\)

計算法

L-階差数列類を参照。

命名

• \(f(x)=(0,2)_{L_x(x)}\)
• \(A_6(x)=(0,2)_{L_{f^x(x)}(x)}[x]\)

• E3:A-06-Hs\(=A^{108}_6(108)\)

出典

日本の巨大数論

Aeton: おこじょ数・N成長階層
mrna: 段階配列表記・降下段階配列表記・多変数段階配列表記・横ネスト段階配列表記
Kanrokoti: くまくまψ関数・亜原始ψ関数・ハイパー原始ψ関数・TSS-ψ関数
クロちゃん: クロちゃん数（第一・第ニ・第三・第四）
じぇいそん: ふにゃふにゃぜぇたかんすう・\(\zeta\)関数
たろう: 多変数アッカーマン関数・2重リストアッカーマン関数・多重リストアッカーマン関数
Nayuta Ito: フラン数（第一形態・第二形態・第四形態改三）・N原始・東方巨大数4の規則の境界を突いた巨大数
バシク: 原始数列数・大数列数・ペア数列数・バシク行列システム
長谷川由紀路: 紅魔館のメイドナンバー・恋符マスタースパーク数・みくみく順序数
108Hassium: E2:B-01-Hs・L-階差数列類・E3:B-02-Hs
公太郎: 弱亜ペア数列・肉ヒドラ数列・弱ハイパーペア数列
p進大好きbot: 超限急増加関数表記・拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記・四関数・三関数・巨大数庭園数
ふぃっしゅ: ふぃっしゅ数（バージョン1・バージョン2・バージョン3・バージョン4・バージョン5・バージョン6・バージョン7）・ マシモ関数・マシモスケール・TR関数（I0関数）
ゆきと: 亜原始数列･ハイパー原始数列・Y数列
本: 巨大数論・寿司虚空編
大会: 東方巨大数・幻想巨大数・即席巨大数・式神巨大数・お料理巨大数
掲示板: 巨大数探索スレッド
外部リンク: 日本語の巨大数関連サイト