SS変換

SS変換とは、ふぃっしゅ数バージョン1とバージョン2の構成の中で定義された、自然数と関数と変換の組から、自然数と関数と変換の組への写像である。Mikadukim さんの表記 で書き直した。

準備

• 0以上の整数を「数」、数から数への写像を「関数」と呼ぶことにする。
• バージョン1においては、(数, 関数)のペアから(数, 関数)のペアへの写像を「変換」と呼ぶことにする。
• バージョン2においては、関数から関数への写像を「変換」と呼ぶことにする。
• バージョン2において、変換 \(S\) に対して、新たな変換 \( S^* \)を次で定義する。

\[ (S^* f)(x) = (S^x f)(x) \]

SS変換の定義

(数, 関数, 変換)の3つ組から同様の3つ組への写像 \(SS\) を以下のように定義し、SS変換と呼ぶ。

バージョン1のSS変換

\[ SS(m, f, S) = (S^{f(m)}(m,f),\, S^{f(m)}) \]

バージョン2のSS変換

\[ SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, (S^{f(m)})^* f,\, S^{f(m)}) \]

バージョン1と2の違い

バージョン1とバージョン2では、生成される関数の大きさが異なる。バージョン1のSS変換では、S変換をたくさん(f(m)回)繰り替えした関数ができるが、バージョン2のSS変換では、S変換の繰り返し回数を変数化した関数が得られる。似ている様に見えるが、バージョン1のSS変換は、 \(A(0,1)→A(1,0,1,1)→A(1,0,1,2)→A(1,0,1,3)\) と数を増やす効果しかないのに対して（実際にはこれよりも少しだけ大きい）、バージョン2のSS変換は、 \(A(0,1)→A(1,0,0,n)→A(2,0,0,n)→A(3,0,0,n)\) と関数をどんどん強める効果を持つ。このように、より大きな巨大数を生み出すためには、「関数を変換する操作をたくさん繰り返す」よりも「関数を変換する操作を繰り返す回数を変数化した関数を作る」ことの方が効果が大きいことを示すために、バージョン2が作られた。

バージョン3では、この重要な「関数を変換する操作を繰り返す操作を変数化する」という箇所のみを取り出して、よりシンプルな形に定義された。

関連項目

• S変換
• S(n)変換

日本の巨大数論

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