Бесконечность, обычно обозначаемая символом (или же лемниската) — математическое понятие, обозначающее "количество", большее, чем любое другое число. Слово "количество" взято в кавычки, чтобы указать, что бесконечность выходит за рамки определённого количества и на самом деле не просто огромна, а "безбрежна".[1] В разных разделах математики она имеет разные значения.
Для гугологов бесконечность не является допустимым "наибольшим допустимым числом". Однако точно определённые математические бесконечности "пригодятся" гугологам. Ординальные бесконечности (трансфиниты) жизненно важны для измерения скорости роста функций, в частности через быстрорастущую иерархию, и служат для расслоения рога изобилия существующих вычислимых функций. С другой стороны, кардинальные бесконечности можно использовать в теории множеств, которая, в свою очередь, может использоваться для генерации массивных чисел.
В традиционной алгебре бесконечность имеет смысл только как символ, а не как число, которым можно законно манипулировать. Одно из применений — определение открытых интервалов, таких как , или неравенств, таких как . Однако в дифференциальном и интегральном исчислении бесконечность является одним из центральных понятий. Например, интеграл — сумма "бесконечного числа бесконечно малых частей", но всё же бесконечность — просто символ процесса с бесчисленным количеством шагов.
Бесконечность жизненно важна при работе с полем действительных чисел: например, возведение в степень для действительных чисел определяется как , а экспоненциальная функция определяется с использованием либо бесконечного предела, либо бесконечного ряда.
В комплексном анализе сфера Римана определяется как , где — беззнаковая бесконечность.
Термин "бесконечные скрепки", определённый Джонатаном Бауэрсом, относится к любому числу, большему, чем тридекал. Термин, конечно, гиперболический.
С "обычной" математической концепцией бесконечности связана комплексная бесконечность, определяемая как бесконечная величина, имеющая неопределённый комплексный аргумент.[2]
Суперзадача — задача, которая имеет бесконечное количество шагов, но может быть выполнена за конечный промежуток времени. Самыми известными примерами сверхзадач являются парадоксы, предложенные греческим философом Зеноном Элейским, одна из которых предполагает, что движение невозможно, поскольку для того, чтобы преодолеть расстояние d, необходимо пройти половину этого расстояния, затем половина "этого" расстояния и так далее до бесконечности. Очевидно, что эти рассуждения не соответствуют нашему общему опыту, но они показывают лишь некоторые противоречия, возникающие при решении сверхзадач.