Мой простой интерес

g(2)

Дамы, господа и что-то посередине, приветствую! Думаю, вы не понимаете, для чего я создал этот блог, так что поясню: после создания страницы про 段階配列数 мне стало интересно, будет ли g(2) или g²(2) больше число Грэма, BOX M, Тетратот, Годсгодгулус, TREE(3)? И я решил попытаться разобраться в этом с использованием приблизительного значения темпов роста функции - $f_{\psi_0(\Omega_{\omega})}(n) \approx g(n)$.

Вычисляем...

Итак, исходя из терминологий быстрорастущей иерархии...

$f_{\psi_0(\Omega_{\omega})}(2) = f_{\psi_0(\Omega_{\omega}) [2]}(2) = f_{\psi_0(\Omega_{2})}(2) = f_{\psi_0(\Omega \uparrow\uparrow \omega)}(2) = f_{\psi_0(\Omega \uparrow\uparrow \omega) [2]}(2) = f_{\psi_0(\Omega^{\Omega})}(2) = f_{\Gamma_{0}}(2) = f_{\Gamma_{0} [2]}(2) = f_{\varphi (\varphi (1,0),0)}(2)$
$= f_{\varphi (\varepsilon_{0},0)}(2) = f_{\varphi (\varepsilon_{0},0) [2]}(2) = f_{\varphi (\omega^{\omega} ,0)}(2) = f_{\varphi (\omega^{\omega} ,0)[2]}(2) = f_{\varphi (\omega^{2} ,0)}(2) = f_{\varphi (\omega^{2} ,0)[2]}(2) = f_{\varphi (\omega \cdot \omega ,0)}(2) = f_{\varphi (\omega \cdot \omega ,0)[2]}(2) = f_{\varphi (\omega 2 ,0)}(2)$
$= f_{\varphi (\omega 2 ,0)[2]}(2) = f_{\varphi (\omega + \omega ,0)}(2) = f_{\varphi (\omega + \omega ,0)[2]}(2) = f_{\varphi (\omega +2 ,0)}(2) = f_{\varphi (\omega +2 ,0)[2]}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega +1,0))}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega +1,0))[2]}(2)$
$= f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega,(\omega,0)))}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega,(\omega,0)))[2]}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega,(2,0)))}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \zeta_{0}))}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \zeta_{0}))[2]}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \varepsilon_{\varepsilon_{0}}))}(2)$
$= f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \varepsilon_{\varepsilon_{0}}))[2]}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \varepsilon_{\omega^{\omega}}))}(2) = \cdots = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \varepsilon_{\omega +2}))}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \varepsilon_{\omega +2}))[2]}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \varepsilon_{\omega +1}^{\varepsilon_{\omega +1}}))}(2)$
$= f_{\varphi (\omega+1, \varphi (\omega, \varepsilon_{\omega +1}^{\varepsilon_{\omega +1}})) [2]}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \varepsilon_{\omega +1}^{\varepsilon^{\varepsilon_{\omega}}_{\omega}}))}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \varepsilon_{\omega +1}^{\varepsilon^{\varepsilon_{\omega}}_{\omega}}))[2]}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \varepsilon_{\omega +1}^{\varepsilon^{\varepsilon_{2}}_{\omega}}))}(2) = f_{\varphi (\omega +1, \varphi (\omega, \varepsilon_{\omega +1}^{\varepsilon^{\varepsilon^{\varepsilon_{1}}_{1}}_{\omega}}))}(2)$
$=f_{\varphi (\omega +1,\varphi (\omega ,\varepsilon _{\omega +1}^{\varepsilon _{\omega }^{\varepsilon _{1}^{\varepsilon _{0}^{\varepsilon _{0}}}}}))}(2)=f_{\varphi (\omega +1,\varphi (\omega ,\varepsilon _{\omega +1}^{\varepsilon _{\omega }^{\varepsilon _{1}^{\varepsilon _{0}^{\varepsilon _{0}}}}}))[2]}(2)=f_{\varphi (\omega +1,\varphi (\omega ,\varepsilon _{\omega +1}^{\varepsilon _{\omega }^{\varepsilon _{1}^{\varepsilon _{0}^{\omega ^{\omega }}}}}))}(2)=\cdots =f_{\varphi (\omega +1,\varphi (\omega ,\varepsilon _{\omega +1}^{\varepsilon _{\omega }^{\varepsilon _{1}^{\varepsilon _{0}^{\omega +2}}}}))}(2)=f_{\varphi (\omega +1,\varphi (\omega ,\varepsilon _{\omega +1}^{\varepsilon _{\omega }^{\varepsilon _{1}^{\varepsilon _{0}^{\omega +1}\varepsilon _{0}}}}))}(2)$, далее мои расчёты стопорятся, так как решений для $f_{\varepsilon^{\omega +2}_{0}}(n)$ в качестве образца для последнего выражения я пока не нашёл.

Вычислили, и что дальше?

Что можно сказать после всего этого? Да, g(2) больше, чем число Грэма, BOX M и Тетратот, но меньше, чем Годсгодгулус и TREE(3). Соответственно, g²(2) больше вообще всех тех чисел, ведь $f_{\psi_0(\Omega_{\omega})+1}(2) = f^2_{\psi_0(\Omega_{\omega})}(2) = f_{\psi_0(\Omega_{\omega})}(f_{\psi_0(\Omega_{\omega})}(2)) = f_{\psi_0(\Omega_{f_{\psi_0(\Omega_{\omega})}(2)})}(f_{\psi_0(\Omega_{\omega})}(2))$, что далее переходит в выражение, где нижний индекс большой Омежки уменьшается на 1, и она возводится в свою же степень $f_{\psi_0(\Omega_{\omega})}(2)$ раз. А это уже больше даже SCG(13)!

Анализы нотаций

G-Нотация

В статье (на момент, когда я всё это пишу) правила описаны несколько своеобразно. Поэтому я распишу их чуть обобщённо.

1. $G\#(a,n)=a\uparrow ^{n}a$.
2. Gb@(a,n) = $G\#^{b}(a,n)=G\underbrace {\#\#\#\cdots \#\#\#} _{b}(a,n)=a\uparrow ^{n+1}b+1$.
3. b$ расширяется до b@^b, b& до b$^b, GGb# = Gb&. Где n-ное количество $\lambda$-операторов расширяется как $G\lambda ^{n}(a,n)=G\lambda ^{n-1}(G\lambda ^{n-1}(a,n),G\lambda ^{n-1}(a,n))$
4. $Gb\&c(a,n)=G^{c}b\&(a,n)$.
5. Где $^c$ означает c копий того, степенью чего оно является.

Тогда мы можем сначала рассчитать, что $G\#(a,n)=a\uparrow ^{n}a\approx f_{\omega }(n)$, увеличение количества # не сильно увеличивает наши числа, из-за чего выходит, что Gb@(a,n) $\approx f_{\omega }(n+1)$.

Но вот Gb$(a,n) расширяется быстрее, за счёт того, что мы прибавляем к n всё больше и больше значений, сопоставимых с исходным. Ну, или как там, я не знаю, как это объяснить, в общем $\approx f_{\omega +1}(b)$. Далее за счёт этих же правил у нас идут Gb&(a,n) $\approx f_{\omega +2}(b)$, GGb#(a,n) $\approx f_{\omega +3}(b)$, и так до тех пор, пока $Gb\&c(a,n)\approx f_{\omega 2}(b)$.

Нотация IL

Далее нотация IL. Её правила в целом-то менять смысла нет, ибо они изложены в оригинале, да ещё и довольно хорошо. $IL(a)=a^{a-1}$, думаю, вы знаете, что $f_{2}(n)=2^{n}n$, так что тут всё просто - $IL(a)\approx f_{2}(a)$. Далее идёт $IL(a,b)=a^{b}IL(a)$ и... это не особо быстрый рост, всего лишь $\approx f_{2}^{2}(a+1)$. $IL(a,b,c)$ тоже не сильно радует $a^{bc}(IL(a,b)-3)$. Далее рост настолько не впечатляющий, что дальше я просто перечислю значения. $IL(a,b,c,d)\approx f_{2}^{4}(a)$
$IL(a,b,c,d,e)\approx f_{2}^{e}(a)$
$IL(a,b,c,d,e,f)\approx f_{2}(f_{3}(a))$
$IL(>7{\text{ аргументов}})\approx f_{1}^{\text{количество аргументов}}(f_{2}(f_{3}(a)))$

За счёт модификаторов нотации мы можем прикольно поиграться с числами, что да, неплохо, да, интересно, но это не придаёт нотации никакого роста.

А далее...

Правило М1. $IL\complement (n)=f_{^{n}\omega }(n)$

ЭЭЭ! Куда полетели?! И вообще-то $f_{^{n}\omega }(n)=f_{\varepsilon _{0}}(n)$

Правило М2. $IL\complement ^{n_{2}}(n)=f_{\omega \uparrow ^{n_{2}+1}n}(n)$

...

Ладно, раз уж такого много наплодили, то объясню смысл. В трансфинитных ординалах мы не используем стрелочную нотацию. Только сложение, умножение, степени, на крайняк тетрацию. Далее можно использовать функцию Веблена (что было бы кстати в данном случае) или расширения уже используемой нотации.

1. Правило М5. $IL\jmath (n)=f_{\phi (n)_{n}}(n)$

А.

Нотация Соединённых Узлов

Ступень 1. a⨠b = a[b]a $\approx f_\omega(n)$, a⨠²b = a⨠b [a⨠b] a⨠b $\approx f_{\omega }^{2}(n)$, a⨠b = a⨠ⁿb $\approx f_{\omega +1}(n)$.

Ступень 2. a⨠b⨠c = a⨠b⨠c-1 [a⨠b⨠c-1] a⨠b⨠c-1 $\approx f_{\omega +2}(n)$, a⨠²b⨠1 = a⨠²b [a⨠²b] a⨠²b $\approx f_{\omega }^{2}(n)$ (если я всё правильно понимаю), но скорее всего я всё неправильно понимаю.

Ступень 3. Не можем мы сказать расплывчатое "некоторое выражение, использующее более 1 элемента в узле", а то тогда непонятно к чему это всё приравнивать, ибо может быть и 2⨠3, 8⨠911, 6⨠17, нужно однозначно точное значение.

Не определено, а значит и дальше особо смысла говорить я не вижу.

Нотация Katze1X

Нотация сильно ссылается на стрелочную, за счёт чего мне попроще её анализировать.

$[0]n{\text{⇑}}_{0}n\approx f_{2}(n)$
$[0]n{\text{⇑}}_{1}n\approx f_{3}(n)$
$[0]n{\text{⇑}}_{n}n\approx f_{\omega }(n)$
$[1]n{\text{⇑}}_{1}n\approx f_{\omega +1}(n)$
А далее я практически уверен в истинности данного факта, но хотел бы убедиться... Воспользуюсь примером из статьи до прихода меня с поправкой на правила $[1]3{\text{⇑}}_{2}3=[1]3{\text{⇑}}_{1}3{\text{⇑}}_{1}3=[1]3{\text{⇑}}_{1}3{\text{⇑}}_{0}3{\text{⇑}}_{0}3=[1]3{\text{⇑}}_{1}3{\text{⇑}}_{0}([0]3{\text{⇑}}_{3}3)=[1]3{\text{⇑}}_{1}3{\text{⇑}}_{[0]3{\text{⇑}}_{3}3}3$. Да, мне не кажется, $[1]n{\text{⇑}}_{2}n\approx f_{\omega +2}(n)$.
$[1]n{\text{⇑}}_{3}n\approx f_{\omega +3}(n)$
$[1]n{\text{⇑}}_{n}n\approx f_{\omega 2}(n)$
$[2]n{\text{⇑}}_{n}n\approx f_{\omega 3}(n)$
$[n]n{\text{⇑}}_{n}n\approx f_{\omega ^{2}}(n)$
$[n+1]n{\text{⇑}}_{n}n\approx f_{\omega ^{2}+\omega }(n)$

Что-ж, вполне неплохо для дебютной нотации.

Таким образом, Кот с трёхметровыми усами $\approx f_{\omega 55+4}(5)$

Сверхсильная функция

Итак...

В меру того, насколько это было продемонстрирована самим автором - $1^{0}[1]=2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2\cdots$, во-первых, нотация не следует собственным правилам (у 4 меньше чем, при n+1=3 слоях вниз и слишком уж тут много стрелок для n+1=3 вправо (причём, даже неясно, что мы несколько раз копируем - двойки или серии стрелок), во-вторых, любые множители стрелок - $f_{\omega +1}(n)$.

X^b [a], если упростить все слои (что повлияет разве что на показатель функции в БРИ) уже где-то $f_{\omega 2}(n)$. X^b [a]' в связи со своими свойствами $f_{\omega 2+1}(n)$, и, соответственно, если я всё правильно понимаю, с увеличением числа ' уже будет $f_{\omega 3}(n)$ для X^b [a]'''...n раз...'''.

Далее правила нотации создают не менее ужасное зрелище, которое, благо, можно обобщить: $\chi ^{\beta }[a\&b]=\chi ^{\beta }\underbrace {[b,b,b\cdots b,b,b]} _{a}\approx f_{\omega 4}(n)$, и далее... $\chi ^{\beta }[a\&\&b]\approx f_{\omega 4+1}(n)$ $\chi ^{\beta }[a\#b]\approx f_{\omega 5}(n)$ $\chi ^{\beta }[a{\acute {~}}b]\approx f_{\omega 6}(n)$ ... $\chi ^{\beta }n[a]\approx f_{\omega ^{2}}(n)$ $\chi ^{\beta }\{n\}[a]\approx f_{\omega ^{2}+1}(n)$

Я отзываю свою незначительную похвалу TsarBlade из новогоднего поздравления, потому что настолько бездарно использовать правила нотации надо уметь...

Ультрастрелочная Нотация

Итак, я ещё не отредачил статью, а потому объяснение для самых маленьких:

1. $a{\text{⇑}}_{b+1}c=a{\text{⇑}}_{b}a{\text{⇑}}_{b+1}c-1$
2. $a{\text{⇑}}_{x}^{k}{\text{⇑}}_{y}^{n}{\text{⇑}}_{z}^{m}\cdots {\text{⇑}}_{b+1}^{w}c=a{\text{⇑}}_{x}^{k}{\text{⇑}}_{y}^{n}{\text{⇑}}_{z}^{m}\cdots {\text{⇑}}_{b}^{w}a{\text{⇑}}_{x}^{k}{\text{⇑}}_{y}^{n}{\text{⇑}}_{z}^{m}\cdots {\text{⇑}}_{b+1}^{w}c-1$
3. $a{\text{⇑}}_{x}^{k}{\text{⇑}}_{y}^{n}{\text{⇑}}_{z}^{m}\cdots {\text{⇑}}_{0}^{w+1}c=a{\text{⇑}}_{x}^{k}{\text{⇑}}_{y}^{n}{\text{⇑}}_{z}^{m}\cdots {\text{⇑}}_{c}^{w}a$

Где ${\text{⇑}}_{m}^{n}=\underbrace {{\text{⇑}}{\text{⇑}}{\text{⇑}}\cdots {\text{⇑}}{\text{⇑}}{\text{⇑}}_{m}} _{n}$

А теперь по свойствам сих математических выражений:

$a{\text{⇑}}_{b}c=a\uparrow ^{b+1}c$ (у авторши уже начинает появляться шаблон)

$a{\text{⇑}}_{1}{\text{⇑}}_{b}c\approx f_{\omega 2}(n)$

$a{\text{⇑}}_{b-1}{\text{⇑}}_{d}c\approx f_{\omega b+d}(n)$ (обдумывая темпы роста нотации в голове я недооценил нижний индекс первого числа)

$a{\text{⇑}}_{x-1}^{k+1}{\text{⇑}}_{y-1}^{n+1}{\text{⇑}}_{z-1}^{m+1}\cdots {\text{⇑}}_{b-1}{\text{⇑}}_{d-1}{\text{⇑}}_{e}c\approx f_{\omega ^{k}x+\omega ^{n}y+\omega ^{m}z+\cdots +\omega ^{2}b+\omega d+e}(n)$ (где $a{\text{⇑}}_{m}^{n}$ - n-ная ультрастрелка)

Здесь я уже было дело обрадовался, пока не понял, что ⇑⇑ - лишь прибавление того, что идёт после неё, а если перед ней ничего нет, то вообще просто возведение омеги в степень... $a{\text{⇑}}_{x}^{k}c\approx f_{\omega ^{\omega +1}+x}(n)$ (где ${\text{⇑}}_{m}^{n}=\underbrace {{\text{⇑}}{\text{⇑}}{\text{⇑}}\cdots {\text{⇑}}{\text{⇑}}{\text{⇑}}_{m}} _{n}$)

Хнык-хнык

Макро курино яичная нотация золотых котов мау куриц леггорн и леггорн цыплёнок крутой

Как бы странно это не прозвучало, но это вот уже экземпляр довольно интересный.

Ведь, если я правильно понял, то [a]=a+1, а, значит, [&][a]=[@a]=[[[a слоёв...[[[a]]]a слоёв...]]]=a+1+1+1...=2a. А, значит, [&][&][а]=4a, а, значит, $[\&][a]=f_{1}(a)$, $[\&][\&][a]=f_{1}^{2}(a)$, а, значит, вы впервые в данном блоге увидите знак равенства со значением в БРИ!
$[\&\&][a]=f_{2}(a)$
$[\&\&][\&][a]=f_{2}(f_{1}(a))$
$[\&\&][\&\&][a]=f_{2}^{2}(a)$
$[\&\&\&][a]=f_{3}(a)$
$[\#][a]=f_{\omega }(a)$
$[\#][\#][a]=f_{\omega }^{2}(a)$
$[\#\#][a]=f_{\omega +1}(a)$
$[1,0][a]=f_{\omega 2}(a-1)$

Определение базовых гугологических понятий

У меня были промежутки, когда я задумывался о том, как можно определить некоторые гугологические термины, которым обычно не давалось объяснения и они подразумевались просто интуитивно понятными. Да, в некоторой степени эта идея связана с формализациями всего-всего и понятным объяснениям для новичков.

Нотация

Нотация - функция, использующая для описания себя и своих значений какие-либо символы и их комбинации, отличные от f(x).

В определении нотаций крайне важны правила, они должны хорошо описывать нотацию на всех её значениях и их промежутках. На основе описанного я бы ввёл принципы, связанные не только с правилами, но и просто способствующие созданию хорошей нотации:

1. Принцип полноты. Если $f_{\beta }(x)$ - предел (предполагаемый) нотации в БРИ, то для $\beta >\alpha ^{\omega }$ нотация должна описывать $f_{\alpha}(x)$, $f_{\alpha +m}(x)$, $f_{\alpha m}(x)$, $f_{\alpha ^{m}}(x)$ для $m \in \mathbb{N}$.
2. '

Понятие функции я не буду определять здесь и в дальнейшем в связи с чего общепонятностью.

Иерархия

Иерархия (в гугологии) - функция, индексируемая нулём, целым числом или трансфинитным ординалов, определяемая рекурсивным способом и используемая для измерения значений функций и нотаций.