Возведение в степень

Возведение в степень — математическая нотация, в которой показатель степени обозначается как число или выражение с надстрочным индексом. Оно предназначено для сокращения предыдущего выражения, повторяемого такое количество раз, при этом количество копий равно выражению с надстрочным индексом. Эти обозначения были разработаны Рене Декартом, известным тем, что он установил связь между когда-то отдельными математическими областями геометрии и алгебры.

В обычной арифметике возведение в степень — двоичная математическая операция Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b = a} умножений a само на себя Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} раз. Когда оно выражается в виде (целочисленного) умножения, оно включает в себя строку из Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} последовательных символов Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} . Например, Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27} . Оно повсеместно встречается в современной математике. Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b} обычно произносится как «Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} в Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} -й степени» или «Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} в Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} -й», или «Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} в Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} -мерном гиперкубе". Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} называется базой, а Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} — показателем степени. Прилагательная форма возведения в степень – экспоненциальный.

В гугологии это третий гипероператор. При повторении образует тетрацию.

В умножении это: Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle \underbrace{ a\times a\times\cdots\times a\times a}_{b}} .

В сложении это: Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle \left. \underbrace{a+a+ \cdots +a+a}_{\underbrace{a+a+ \cdots +a+a}_{\cdots{\underbrace{a+a+ \cdots +a+a }_{\underbrace{a+a+ \cdots +a+a}_{a}}}}} \right \} b} .

В быстрорастущей иерархии Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle f_2(n) = 2^n n} соответствует экспоненциальной скорости роста.

Экспоненциальная нотация была обобщена на другие контексты, обычно означая «этот литерал повторяется заданное количество раз», и интерполировалась для нецелых, комплексных и даже нескалярных значений. В теории автоматов Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^n b (ab)^n} означает строку из Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle n} последовательных символов Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} , и затем одного Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} , а затем Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle n} последовательных копий Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle ab} ; и теперь предполагается, что Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle e^n} выражается через ряд Тейлора.

Определение

Для действительного числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} и неотрицательного целого числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} возведение в степень имеет следующее определение:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b := \prod_{i = 1}^{b} a}

Точнее, оно определяется следующим рекурсивным способом:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b := \begin{cases} 1 & (b = 0) \\ a^{b-1} \times a & (b > 0) \end{cases}}

Для ненулевого действительного числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} и отрицательного целого числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} возведение в степень имеет следующее определение с использованием неотрицательного показателя Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle -b} .

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b := \frac{1}{a^{-b}}}

Для положительного действительного числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} и рационального числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} возведение в степень имеет следующее определение с использованием целого показателя Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle n} :

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b := m \text{-й корень из } a^n}

(Если имеется два корня Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle m} -й степени, выберите положительный) Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle m} — положительное целое число, а Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle n} — целое число такое, что Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle mb = n} . Существование корня Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle m} -й степени следует из непрерывности действительных чисел (особенно из теоремы о промежуточном значении). Хотя выбор такого Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle (m,n)} не является единственным, известно, что Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b} чётко определяется экспоненциальными законами по свойствам возведения в степень для целочисленных переменных.

Для положительного действительного числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} и действительного числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} возведение в степень имеет следующее определение с использованием рациональных показателей Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b_n} :

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b := \lim_{n \to \infty} a^{b_n}}

Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle (b_n)_{n \in \mathbb{N}}} — рациональная последовательность, сводящаяся к Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} . Хотя выбор такого Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle (b_n)_{n \in \mathbb{N}}} не является единственным, известно, что Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b} чётко определяется экспоненциальными законами и непрерывностью возведения в степень (с рациональным Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} , чтобы не вызывать циклическую логику) при Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b = 0} .

В той же ситуации (или в частично более широкой настройке, как в случае с комплексными числами, как мы объясним позже), возведение в степень можно определить также следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b := e^{b \ln a}}

Где Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle e^x} — экспоненциальная функция, а Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle \ln} — натуральный логарифм, которые определяются следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle e^x := \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x^i}{i!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{ x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots} Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle \ln x := \int_1^x \frac{dt}{t}}

И где Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle n!} — факториал числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle n} . Это позволяет расширить определение до иррациональных показателей. Несмотря на наличие терминов Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle x^i} в определении Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle e^x} , это определение не является циклическим, поскольку мы определили Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b} для случая, когда Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} не является отрицательным целым числом особым образом. Более того, значения Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b} относительно этих двух определений совпадают друг с другом для любого положительного действительного числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} и любого неотрицательного целого числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} .

Аналогичным образом возведение в степень распространяется на элементы других полных топологических колец, таких как комплексные числа, Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle p} -адические числа и матрицы с соответствующими коэффициентами. Это особое свойство возведения в степень, и для гипероператоров известно мало аналогов. По крайней мере, сложное продолжение тетрации гораздо сложнее, чем возведение в степень.

Свойства возведения в степень

Ниже приведены тождества возведения в степень:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^0 = 1}

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^1 = a}

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle 1^a = 1}

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle 0^a = 0}

Где Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} — действительное число, отличное от нуля в четвёртом равенстве. Хотя мы установили Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle 0^0 := 1} в предыдущем разделе, чтобы определить Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle e^x} , Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle 0^0} имеет разные значения, например Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle 0} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle 1} , в зависимости от контекста; для этой цели его часто рассматривают как неопределённое.

Ниже приведены некоторые полезные свойства при манипуляции экспонентами:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^{-b} = \frac{1}{a^b}}

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^{b + c} = a^b \cdot a^c}

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^{b - c} = \frac{a^b}{a^c}}

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^{b \cdot c} = \left(a^b\right)^c}

Здесь переменные в каждом равенстве представляют собой действительные числа, так что обе стороны имеют смысл. Например, в первом равенстве Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} должно быть ненулевым и положительным, если только Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} не является целым числом.

Это можно доказать по индукции, когда переменные действуют только через натуральное число. В случае, когда переменные принимают целые числа, это можно доказать результатами для случая, когда переменные принимают значения натуральных чисел. Аналогично, они для обобщённого случая могут быть доказаны результатами для менее общего случая. Их также можно доказать, выражая показатели степени через показательную функцию, если доказано совпадение приведённых выше формулировок, что, наконец, требует аналогичного рассуждения.

Для неотрицательного действительного числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} и положительного целого числа Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^{1/b}} часто пишут Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle \sqrt[b]{a}} , называемое радикальной нотацией. Когда Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b = 2} , она обычно опускается: Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle \sqrt{a}} . Это называется квадратным корнем из Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} .

Повторное возведение в степень

В отличие от двух предыдущих гипероператоров, то есть сложения и умножения, возведение в степень не является ни коммутативным, ни ассоциативным. Например, Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle 3^5 = 243 > 125 = 5^3} и Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle 3^{2^{3}} = 6,561 > 729 = \left(3^2\right)^3} . Обратите внимание, что когда Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a} и Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle b} являются целыми числами, Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b \ne b^a} , за исключением случаев, когда Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a=b} или они являются 2 и 4. Возведение в степень также не является ассоциативным по степени, выражение от "a до b до c... n раз" (см. фуга-) неоднозначно и может быть отклонено анализаторами.

Повторное возведение в степень решается справа налево, то есть сверху вниз и изнутри наружу. Например, Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^{b^{c^d}} = a^{(b^{(c^{d})})}} , а не Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle (((a)^b)^c)^d} . Это очевидно в выражении Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle e^{x^2 + 2x + 4}} , и выполнение повторного возведения в степень левоассоциативно может быть сведено к выражению равенства, включающему умножение составляющих показателей.

Если возведение в степень осуществляется с другими операторами в математических предложениях, сначала будет решена ^, например a*b^c = a*(b^c); возведение в степень происходит перед операциями умножения в PEMDAS.

Приложения

В вычислениях

Двумя важными правилами исчисления являются Правила власти дифференциации и интеграции:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle \frac{d}{dx}x^n = nx^{n - 1}}

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle \int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C}

Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle n} — действительное число, удовлетворяющее Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle n \neq -1} во втором равенстве. Область определения функций в правых частях зависит от значения Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle n} .

Нотации

Показательную функцию Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a^b} можно представить:

• В стрелочной нотации как Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a \uparrow b} .
• В цепной нотации стрел как Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a \rightarrow b} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a \rightarrow b \rightarrow 1} .
• В BEAF как Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle \{a, b\}} или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a\ \{1\}\ b} .
• В гипер E нотации как Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle E(a)b} .
• Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a +++ b} через плюсы.
• Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle a \text{**} b} через умножение.
• На языках программирования Python и Ruby как a ** b.

Смотрите также

• -плекс
• Категория:Гиперкубы на Verse and Dimensions Wiki
• Экспоненциальный факториал
• Курсы гугологии

Гипероператоры

Main article: представление о BEAF

Гипероператоры: сложение · умножение · возведение в степень · тетрация · пентация · гексация · гептация · декация · вигинтация · центация · циркуляция
Гипероператоры Джонатана Бауэрса: экспансия (мульти/степен/тетра) · эксплозия (мульти/степен/тетра) · детонация · пентонация