Гипероператор

Взгляд человека на гипероператоры.

Гипероператоры или гипероперации — расширения стандартных бинарных операторов сложения, умножения и возведения в степень, а также унарной функции-преемника. Умножение — повторное сложение, а возведение в степень — повторное умножение, поэтому естественно расширять их дальше — например, повторное возведение в степень называется "тетрация". При использовании с положительным целым числом каждый гипероператор растёт намного быстрее, чем предыдущий; поскольку генерируемые числа становятся очень большими, гипероператоры считаются частью гугологии. Рубен Гудштейн (1947) придумал именование гиперопераций, начиная с четвёртой.

$a$ $a$-ированное с $a$ в конечном итоге доминирует над всеми примитивными рекурсивными функциями и получило название booga-a.

В иерархии Вайнера темпы роста $n$ $n$-ированного с $n$ сопоставимо с $f_{\omega}(n)$.

Базис

Когда мы говорим "$a\cdot b$", мы имеем в виду "b копий a, сложенных вместе":

$a \cdot b = \underbrace{a + a + \cdots + a + a}_b$

Например, $4 \cdot 3 = 4 + 4 + 4$.

Когда мы говорим "$a^b$", мы имеем в виду "b копий a, умноженных вместе":

$a^b = \underbrace{a \cdot a \cdot \cdots \cdot a \cdot a}_b$

Например, $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4$. Это предел стандартных математических нотаций.

Однако мы можем пойти ещё дальше. Мы можем определить новую функцию, "$^ba$" (произносится как "степенная башня a высотой в b"), что означает "a тетрированная с b":

$^ba = \underbrace{a^{a^{a^{.^{.^.}}}}}_b$

Иллюстрация от пользователя вики TheAlex008 на тему гипероператоров.

где есть b копий a, решается сверху вниз (что приводит к увеличению чисел). Это называется тетрация. Поскольку функция не имеет большого применения в большинстве областей математики, не существует стандартного способа её обозначения.

Следующим естественным шагом является пентация, повторяющаяся тетрация; далее хексация, повторяющаяся пентация; далее хептация, то есть повторяющаяся хексация; и так далее. Термины сексация, септация и т.д. также используются, но они считаются нестандартными, поскольку представляют собой латинские префиксы, а не греческие.

Псевдокод

// Upper hyper operators
function hyper(a, b, n):
    if n = 1:
        return a + b
    result := a
    repeat b - 1 times:
        result := hyper(a, result, n - 1)
    return result

// Lower hyper operators
function hyper_lower(a, b, n):
    if n = 1:
        return a + b
    result := a
    repeat b - 1 times:
        result := hyper_lower(result, a, n - 1)
    return result