Гипероператорная нотация

Гипероператорная нотация — нотация для обозначения больших чисел, созданная пользователем вики Выходником.

Определение

Определение нотации включает в себя следующие 5 правил для одной пары скобок:

1. a[1]d = $a^d$
2. a[c]d = $a \underbrace{[c-1]a[c-1]a \cdots a[c-1]a[c-1]}_{d}a$, где [c-1].
3. $\underbrace{a[a[ \cdots a[}_{n} \underbrace{a;a;a \cdots a}_{m} ]a \cdots ]a \cdots ]a$ = $a[ \underbrace{0;0;0; \cdots 0}_{m};1]n$
4. a[... n+1;1 ...]d = $a[ \cdots n;d \cdots ]a$, где 1 - самая первая с начала единица в скобках.
5. a[b;c ... n]d = $a \underbrace{[b;c \cdots n-1]a[b;c \cdots n-1]a \cdots a[b;c \cdots n-1]a[b;c \cdots n-1]}){d} a$, если все аргументы больше 1.

2 правила для бо́льшего количества скобок:

1. $a \underbrace{[[[ \cdots [[[}_{n} \underbrace{a;a;a}_{m} \cdots a;a;a]]] \cdots ]]]a$ = $a[[[ \cdots [[[1]]] \cdots ]]]m$
2. Правила вычисления аналогичны правилам вычисления для одной пары скобок

И 1 словесное уточняющее правило:

1. В аргументах внутри скобок до каких-либо чисел, больших, чем 0, могут идти нули, после каких-либо чисел, больших, чем 0, - уже нет.

Примеры

Вот несколько небольших примеров гипероператорной нотации в действии:

$2 [2] 2 = 2 [1] 2 [1] 2 = 2 [1] 4 = 2^4 = 16$

$2 [3] 2 = 2 [2] 2 [2] 2 = 2 [2] 16 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 [1] 2$

$2 [1,2] 2 = 2 [1,1] 2 [1,1] 2 = 2 [1,1] 2 [0,2] 2 = 2 [1,1] 2 [0,1] 2 [0,1] 2 = 2 [1,1] 2 [0,1] 2 [2 [2] 2]2=2[1,1]2[0,1]2[16]2$

Темпы роста

Если верить расчётам Выходника, темпы роста гипероператорной нотации до уровня a[[[ ... [[[n]]] ... ]]]d следующие:$f_2 (n) \approx a[1]d$
$f_3 (n) \approx a[2]d$
$f_4(n) \approx a[3]d$
$f_m (n) \approx a[m-1]d$
$f_{\omega} (n) \approx a[n]d$
$f_{\omega +1} (n) \approx a[0;1]d$
$f_{\omega +2} (n) \approx a[0;2]d$
$f_{\omega 2} (n) \approx a[1;1]d$
$f_{\omega 3} (n) \approx a[2;1]d$
$f_{\omega^{2} } (n) \approx a[n-1;1]d$
$f_{\omega^{2}+1} (n) \approx a[0;0;1]d$
$f_{\omega^{2}+2} (n) \approx a[0;0;2]d$
$f_{\omega^{2}+ \omega} (n) \approx a[0;0;n]d \approx a[0;1;1]d$
$f_{\omega^{2} + \omega +1} (n) \approx a[0;1;2]d$
$f_{\omega^{2} + \omega +2} (n) \approx a[0;1;3]d$
$f_{\omega^{2}+ \omega 2} (n) \approx a[0;1;n+1]d$
$f_{\omega^{2} + \omega 3} (n) \approx a[0;2;n]d$
$f_{\omega^{2}2} (n) \approx a[0;n;1]d \approx a[1;1;1]d$
$f_{\omega^{2}3} (n) \approx a[2;1;1]d$
$f_{\omega^{2}4} (n) \approx a[3;1;1]d$
$f_{\omega^{3}} (n) \approx a[n;1;1]d$
$f_{\omega^{3} +1} (n) \approx a[0;0;0;1]d$
$f_{\omega^{4} +1} (n) \approx a[0;0;0;0;1]d$
$f_{\omega^{\omega} +1} (n) \approx a[ \underbrace{0;0;0 \cdots 0;0;0}_{n};1]d$
$a[[1]]d = a[ \underbrace{a;a;a \cdots a;a;a}_{d}]a \approx f_{\omega^{\omega} + \omega^{n-1} + \omega^{n-2} \cdots + \omega^{2} + \omega} (n) \approx f_{\omega^{\omega} 2} (n)$
$a[[[1]]]d \approx f_{\omega^{\omega}3} (n)$
$a \underbrace{[[[ \cdots [[[}_{n} 1]]] \cdots ]]]d \approx f_{\omega^{\omega +1}} (n)$
$a \underbrace{[[[ \cdots [[[}_{n} n]]] \cdots ]]]d \approx f_{\omega^{\omega +1}+ \omega} (n)$