Гиперпримитивная система последовательностей

Гиперпримитивная система последовательностей (англ. Hyper primitive sequence system) — нотация, созданная японским гугологом Юкито.^[1]^[2] Это расширение примитивной системы последовательностей, которая является подсистемой матричной системы Башику, использующей разностную последовательность. Предел этой нотации равен $\psi_0(\Omega_{\omega})$ относительно быстрорастущей иерархии, индексируемой функцией Бухгольца. Хотя она имеет тот же предел, что и система последовательностей пар, она расширяется способом, совместимым с системой фундаментальных последовательностей для функции Бухгольца, в отличие от системы последовательностей пар.

Определение[]

Терм в записи — конечная последовательность $S=(S_{i})_{i=1}^{m}$ натуральных чисел, за которой в скобках следует натуральное число $n$ , т. е. выражение вида $(S_{1},\ldots ,S_{m})[n]$ . Он вычисляется следующим рекурсивным способом:

Если $m = 0$ , то устанавливаем $S[n]=n$ .
Предположим $m>0$ $m>0$ .
1. Для $i\in\N$ , удовлетворяющего $i\leq m$ , положим $P_{i}=\{j\in \mathbb {N} \mid 1\leq j<i\land S_{j}<S_{i}\}$ .
2. Положим $k=0$ .
3. Если $k=0$ , то положим $m_{k}=m$ .
4. Если $k>0$ , то положим $m_{k}=\max P_{m_{k-1}}$ .
5. Если $P_{m_{k}}\neq \emptyset$ , то увеличиваем $k$ и возвращаемся к строке 2-3.
6. Определим конечную последовательность ${\textrm {Expand}}(S,n)$ ${\textrm {Expand}}(S,n)$ следующим образом:
  1. Если $k=0$ , то положим ${\textrm {Expand}}(S,n)=(S_{1},\ldots ,S_{m-1})$ .
  2. Предположим $k>0$ $k>0$ .
    1. Обозначим через $N=(N_{i})_{i=0}^{k-1}$ разностную последовательность $(S_{m_{i}}-S_{m_{i+1}})_{i=0}^{k-1}$ или $(S_{m_{i}})_{i=0}^{k}$ .
    2. Определим плохой корень $r$ $r$ и уровень вознесения $\delta$ $\delta$ следующим образом:
      1. Предположим, что $N_{0}=1$ .
        Положим $r=m_{1}$ .
        
        Положим $\delta = 0$ .
      2. Предположим, что $N_{0}\neq 1$ .
        Предположим, что не существует $i\in\N$ такого, что $0<i\leq k-1$ и $N_{i}<N_{0}$ .
        Положим $r=1$ .
        
        Положим $\delta =S_{m}-1$ .
        
        Предположим, что такой $i$ существует.
        Обозначим через $p$ минимум такого $i$ .
        
        Положим $r=m_{p}$ .
        
        Положим $\delta =S_{m}-S_{r}-1$ .
    3. Положим $G=(S_{i})_{i=1}^{r-1}$ (если $r=1$ , то это пустая последовательность).
    4. Для $h\in \mathbb {N}$ положим $B(h)=(S_{i}+h\delta )_{i=r}^{m-1}$ .
    5. Тогда ${\textrm {Expand}}(S,n)$ — конкатенация $G,B(0),\ldots ,B(n)$ .
7. Положим $S[n]={\textrm {Expand}}(S,n)[n+1]$ .

Функция $(0,\omega )[n]$ , определённая как $(0,n)[n]$ , даёт предел этой нотации.

Нормальная форма[]

Множество $OT$ конечных последовательностей нормальных форм в гиперпримитивной системе последовательностей определяется следующим рекурсивным способом:

Для любого $n \in \N$ , $(0,n)\in OT$ .
Для любого $(S,n)\in (OT\setminus \{()\})\times \mathbb {N}$ , ${\textrm {Expand}}(S,n)\in OT$ .

Тогда $OT$ является рекурсивным подмножеством множества $T$ конечных последовательностей натуральных чисел, как мы объясним здесь, и ${\textrm {Expand}}$ даёт примитивное рекурсивное отображение $(T\setminus \{()\})\times \mathbb {N} \to T$ , которое сохраняет нормальные формы.

Объяснение[]

Следуйте соглашению и терминологии из статьи о разностных последовательностях. Гиперпримитивная система последовательностей использует правило поиска плохого корня ${\textrm {Parent}}\colon {\textrm {FinSeq}}\times \mathbb {N} \to {\textrm {FinSeq}}$ для примитивной системы последовательностей, объяснённой здесь. Действительно, $(m_{i})_{i=0}^{k}$ и $N$ в определении $S [ n ]$ точно совпадают с ${\textrm {Ancestors}}(S)$ и ${\textrm {Kaiser}}(S)$ соответственно.

Если ${\textrm {Ancestors}}(S)$ имеет длину $1$ , то $S$ является термом-потомком, а ${\textrm {Expand}}(S,n)$ получается путём удаления самой правой записи $S$ . Если ${\textrm {Ancestors}}(S)$ имеет длину $>1$ , то применим правило расширения к ${\textrm {Kaiser}}(S)$ , очень похожее на правило в примитивной системе последовательностей; если ${\textrm {Ancestors}}({\textrm {Kaiser}}(S))$ имеет длину $1$ , то уменьшите самый правый элемент ${\textrm {Kaiser}}(S)$ , а в противном случае скопируйте плохую часть ${\textrm {Kaiser}}(S)$ относительно ${\textrm {Parent}}$ . Обозначим через ${\textrm {Kaiser}}(S)(n)$ полученную конечную последовательность. Поскольку ${\textrm {Kaiser}}(S)$ является разностной последовательностью ${\textrm {RightNodes}}(S)$ , ${\textrm {Kaiser}}(S)(n)$ является разностной последовательностью уникальной конечной последовательности ${\textrm {RightNodes}}(S)(n)$ , первая запись которой равна ${\textrm {RightNodes}}(S)_{0}$ . Наконец, ${\textrm {Expand}}(S,n)$ получается путём замены подпоследовательности ${\textrm {RightNodes}}(S)$ из $S$ на ${\textrm {RightNodes}}(S)(n)$ и интерполяции промежуточных записей копиями соответствующих записей $S$ , измененных уровнем восхождения.

Благодаря интерпретации выше, гиперпримитивную систему последовательностей можно рассматривать как аналог системы двухлинейных диаграмм гидры, которая соответствует системе последовательностей пар.

Завершение[]

Условия и терминологию см. в следующем:

[Buc1] У. Бухгольц, Новая система ординальных функций теории доказательств, Annals of Pure and Applied Logic, том 32, 1986, с. 195–207.
[Buc2] У. Бухгольц, Связь ординалов с доказательствами наглядным образом, Размышления об основах математики, Эссе в честь Соломона Фефермана, Конспект лекций по логике, т. 15, 2002, с. 37–59.

Завершение гиперпримитивной системы последовательностей было доказано пользователем японоязычной гугология вики p進大好きbot следующим образом:

Пусть $T_{B}$ обозначает множество термов в нотации Бухгольца, в которых $D_{\omega }$ не появляется.^[3] Определим полную рекурсивную карту ${\begin{matrix}{\textrm {Trans}}\colon T_{B}&\to &T\\t&\mapsto &{\textrm {Trans}}(t)\end{matrix}}$ следующим рекурсивным способом:

Если $t=0$ , то установим ${\textrm {Trans}}(t)=()$ .
Предположим, что $t=t_{0}+D_{u}t_{1}$ $t=t_{0}+D_{u}t_{1}$ для некоторого $(u,t_{0},t_{1})\in \mathbb {N} \times T_{B}\times T_{B}$ $(u,t_{0},t_{1})\in \mathbb {N} \times T_{B}\times T_{B}$ .^[4]
1. Если $t_{1}=D_{0}0\cdot m$ для некоторого $m \in \mathbb{N}$ , то ${\textrm {Trans}}(t)$ является конкатенацией ${\textrm {Trans}}(t_{0})$ и $(u,\underbrace {u+1,\ldots ,u+1} _{m})$ .^[5]
2. В противном случае ${\textrm {Trans}}(t)$ является конкатенацией ${\textrm {Trans}}(t_{0})$ , $(u)$ и конечной последовательности, полученной добавлением $u+1$ к каждому элементу ${\textrm {Trans}}(t_{1})$ .

Пусть $OT_{B}\subset T_{B}$ обозначает подмножество ординальных членов ниже $D_{1}0$ .^[6]

Лемма (совместимость ${\textrm {Trans}}$ )
Ограничение ${\textrm {Trans}}$ на $OT_{B}$ удовлетворяет следующему: (1) Это биективное отображение на $OT$ . (2) Для любого $(t,n)\in (OT_{B}\setminus \{0\})\times \mathbb {N}$ , ${\textrm {Trans}}(t)\neq ()$ , и существует $t'\in OT_{B}$ такой, что ${\textrm {Trans}}(t')={\textrm {Expand}}({\textrm {Trans}}(t),n)$ и $t'<t$ . Если $n > 0$ , то можно взять такой $t'$ , что $t[n-1]<t'\leq t[n]$ .^[7]

Доказательство

Для

m \in \mathbb{N}

определим

\Sigma _{m}\subset OT_{B}

следующим рекурсивным способом:

Если $m = 0$ , то положим $\Sigma _{m}=\{D_{0}D_{u}0\mid u\in \mathbb {N} \land u>0\}$ .
Если $m>0$ , то положим $\Sigma _{m}=\Sigma _{m-1}\cup \{t[n]\mid (t,n)\in \Sigma _{m-1}\times \mathbb {N} \}$ .

По [Buc1] лемме 2.2 (c) и лемме 2.3 (b) имеем

\bigcup _{m\in \mathbb {N} }\Sigma _{m}=OT_{B}

.

Пусть

t\in OT_{B}

. По приведённому выше аргументу существует

m \in \mathbb{N}

такой, что

t\in \Sigma _{m}

. Обозначим через

\mu

минимум такого

m

. Мы показываем

{\textrm {Trans}}(t)\in OT

индукцией

\mu

.

Если

\mu = 0

, то мы имеем

t=D_{0}D_{u}0

для некоторого

u\in \mathbb {N}

, удовлетворяющего

u>0

, и, следовательно,

{\textrm {Trans}}(t)=(0,u)\in OT

. Предположим, что

\mu>0

в следующем. Возьмём

(t',n)\in \Sigma _{\mu -1}\times \mathbb {N}

, удовлетворяющего

t=t'[n]

. По индукционному предположению, мы имеем

{\textrm {Trans}}(t')\in OT_{B}

. По

t\notin \Sigma _{\mu -1}

, мы имеем

t\neq t'

, и, следовательно,

t'\neq 0

. Это подразумевает

t=t'[n]<t'

по [Buc1] лемме 3.2 (a).

Возьмём единственный

(u,t_{0},t_{1})\in \mathbb {N} \times OT_{B}\times OT_{B}

, удовлетворяющий

t'=t_{0}+D_{u}t_{1}

. По определению

{\textrm {Expand}}

и

{\textrm {Trans}}

, мы имеем

{\textrm {Trans}}(t)={\textrm {Expand}}({\textrm {Trans}}(t'),n)\in OT_{B}

если только

{\textrm {dom}}(t_{1})=T_{v}

для некоторого

v\in \mathbb {N}

, удовлетворяющего

u\leq v

.^[8] Поэтому мы можем предположить

{\textrm {dom}}(t_{1})=T_{v}

для некоторого

v\in \mathbb {N}

, удовлетворяющего

u\leq v

.

Для каждого

m \in \mathbb{N}

обозначим через

t_{2}(m)

уникальный ординальный член, удовлетворяющий

o(t_{2}(m))=o(t'(m))

, где

t'(m)

— член, полученный заменой самого правого

D_{v}0

в

t'[m]

на

0

.^[9] Снова по определению

{\textrm {Expand}}

и

{\textrm {Trans}}

,

{\textrm {Trans}}(t_{2}(m))

и

{\textrm {Trans}}(t'(m))

совпадают с

{\textrm {Expand}}({\textrm {Trans}}(t'),m)

.

Имеем

t_{2}(n)\leq t'(n)<t\leq t_{2}(n+1)\leq t'(n+1)

, и

t

совпадает с членом, полученным заменой самого правого вхождения

0

в

t'(n)

на

D_{v}0

, поскольку

t=t'[n]

. Следовательно,

{\textrm {Trans}}(t)

совпадает с конкатенацией

{\textrm {Trans}}(t'(n))

и

(a+v+1)

, где

a

— следующая правая запись

{\textrm {RightNodes}}({\textrm {Trans}}(t))

относительно правила поиска плохого корня

{\textrm {Parent}}

, а

{\textrm {Trans}}(t'(n+1))

совпадает с конкатенацией

{\textrm {Trans}}(t)

и конечной последовательностью. Поскольку удаление самой правой записи задаётся применением

{\textrm {Expand}}(-,0)

, это подразумевает

t\in OT

.

Таким образом, ограничение

{\textrm {Trans}}

на

OT_{B}

даёт отображение на

OT

. Утверждения (1) и (2) немедленно следуют из приведённого выше аргумента, поскольку

{\textrm {Trans}}(D_{0}0+D_{0}0)=(0,0)

и

{\textrm {Trans}}(D_{u}0)=(0,u)

для любого

u\in \mathbb {N}

, удовлетворяющего

u>0

.

Как показано в приведённом выше доказательстве, гиперпримитивная система последовательностей вполне совместима с ординальной нотацией Бухгольца в отличие от системы последовательностей пар.

Теорема (окончание гиперпримитивной системы последовательностей)
(1) Пара $OT$ и лексикографический порядок $<_{OT}$ на ней являются ординальной нотацией. (2) Пусть $S\in OT\setminus \{()\}$ . Для любого отображения $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ существует единственная конечная последовательность $(X_{k})_{k=0}^{N}$ в $OT$ такая, что $X_{0}=S$ , $X_k$ — непустая последовательность, удовлетворяющая ${\textrm {Expand}}(X_{k},f(k))=X_{k+1}$ для любого $k\in\mathbb{N}$ меньшего, чем $N+1$ , и $X_{N}=()$ .

Доказательство: (1) По лемме и лемме [Buc1] 2.2 (c), пара $OT_{B}$ и её канонический порядок $<_{OT_{B}}$ , который совпадает с лексикографическим порядком для подходящего порядка букв по определению, является ординальной нотацией. Поскольку ${\textrm {Trans}}$ сохраняет лексикографический порядок, лемма (совместимости ${\textrm {Trans}}$ ) (1) подразумевает, что $(OT_{B},<_{OT_{B}})$ изоморфно $(OT,<_{OT})$ . Таким образом, $(OT,<_{OT})$ является ординальной нотацией.; (2) Поскольку $(OT_{B},<_{OT_{B}})$ является ординальной нотацией, совместимость канонического порядка на $OT_{B}$ и $[\ ]$ и лемма (совместимости ${\textrm {Trans}}$ ) (2) влечёт утверждение для случая, когда $S$ принадлежит образу ${\textrm {Trans}}$ , который совпадает с $OT$ по лемме (совместимости ${\textrm {Trans}}$ ) (1).

Анализ[]

По лемме (2) предел гиперпримитивной последовательности равен $\psi_0(\Omega_{\omega})$ относительно иерархии Харди и незначительной замены рекурсивной системы фундаментальных последовательностей, связанных с ординальной нотацией Бухгольца. В частности, он также аппроксимируется к $\psi_0(\Omega_{\omega})$ в быстрорастущей иерархии. Композит ${\begin{matrix}o\circ ({\textrm {Trans}}|_{OT_{B}})^{-1}\colon OT\to \psi _{0}(\Omega _{\omega })\end{matrix}}$ даёт интерпретацию термов в гиперпримитивной системе последовательностей стандартной формы в ординалы ниже $\psi_0(\Omega_{\omega})$ . В следующей таблице приведены примеры соответствия:

Гиперпримитивная система последовательностей	Ординал
$()$	$0$
$(0)$	$1$
$(0,0)$	$2$
$(0,0,0)$	$3$
$(0, 1)$	$\omega$
$(0,1,0)$	$\omega+1$
$(0,1,0,0)$	$\omega+2$
$(0,1,0,0,0)$	$\omega+3$
$(0,1,0,1)$	$\omega \times 2$
$(0,1,0,1,0)$	$\omega \times 2+1$
$(0,1,0,1,0,0)$	$\omega \times 2+2$
$(0,1,0,1,0,0,0)$	$\omega \times 2+3$
$(0,1,0,1,0,1)$	$\omega \times 3$
$(0,1,1)$	$\omega^2$
$(0,1,1,0)$	$\omega^2+1$
$(0,1,1,0,0)$	$\omega^2+2$
$(0,1,1,0,1)$	$\omega^2+\omega$
$(0,1,1,0,1,0)$	$\omega^2+\omega+1$
$(0,1,1,0,1,1)$	$\omega ^{2}\times 2$
$(0,1,1,1)$	$\omega^3$
$(0,1,2)$	$\omega^{\omega}$
$(0,1,2,1)$	$\omega^{\omega+1}$
$(0,1,2,1,1)$	$\omega^{\omega+2}$
$(0,1,2,1,2)$	$\omega ^{\omega \times 2}$
$(0,1,2,2)$	$\omega^{\omega^2}$
$(0,1,2,2,1)$	$\omega^{\omega^2 +1}$
$(0,1,2,2,1,1)$	$\omega ^{\omega ^{2}+2}$
$(0,1,2,2,1,2)$	$\omega^{\omega^2 +\omega}$
$(0,1,2,2,1,2,1)$	$\omega ^{\omega ^{2}+\omega +1}$
$(0,1,2,2,1,2,1,1)$	$\omega ^{\omega ^{2}+\omega +2}$
$(0,1,2,2,1,2,1,2)$	$\omega ^{\omega ^{2}+\omega \times 2}$
$(0,1,2,2,1,2,2)$	$\omega ^{\omega ^{2}\times 2}$
$(0,1,2,2,2)$	$\omega^{\omega^3}$
$(0,1,2,3)$	$\omega^{\omega^{\omega}}$
$(0,2)$	$\varepsilon _{0}=\psi _{0}(\Omega )$
$(0,2,1)$	$\varepsilon _{0}\times \omega =\psi _{0}(\Omega +1)$
$(0,2,1,1)$	$\varepsilon _{0}\times \omega ^{2}=\psi _{0}(\Omega +2)$
$(0,2,1,2)$	$\varepsilon _{0}\times \omega ^{\omega }=\psi _{0}(\Omega +\omega )$
$(0,2,1,2,1)$	$\varepsilon _{0}\times \omega ^{\omega +1}=\psi _{0}(\Omega +\omega +1)$
$(0,2,1,2,1,1)$	$\varepsilon _{0}\times \omega ^{\omega +2}=\psi _{0}(\Omega +\omega +2)$
$(0,2,1,2,1,2)$	$\varepsilon _{0}\times \omega ^{\omega \times 2}=\psi _{0}(\Omega +\omega \times 2)$
$(0,2,1,2,2)$	$\varepsilon _{0}\times \omega ^{\omega ^{2}}=\psi _{0}(\Omega +\omega ^{2})$
$(0,2,1,2,3)$	$\varepsilon _{0}\times \omega ^{\omega ^{\omega }}=\psi _{0}(\Omega +\omega ^{\omega })$
$(0,2,1,3)$	${\varepsilon _{0}}^{2}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega ))$
$(0,2,1,3,1)$	${\varepsilon _{0}}^{2}\times \omega =\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega )+1)$
$(0,2,1,3,1,2)$	${\varepsilon _{0}}^{2}\times \omega ^{\omega }=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega )+\omega )$
$(0,2,1,3,1,2,3)$	${\varepsilon _{0}}^{2}\times \omega ^{\omega ^{\omega }}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega )+\omega ^{\omega })$
$(0,2,1,3,1,3)$	${\varepsilon _{0}}^{3}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega )\times 2)$
$(0,2,1,3,2)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega }=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +1))$
$(0,2,1,3,2,1)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega }\times \omega =\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +1)+1)$
$(0,2,1,3,2,1,2)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega }\times \omega ^{\omega }=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +1)+\omega )$
$(0,2,1,3,2,1,2,3)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega }\times \omega ^{\omega ^{\omega }}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +1)+\omega ^{\omega })$
$(0,2,1,3,2,1,3)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega +1}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +1)+\psi _{0}(\Omega ))$
$(0,2,1,3,2,1,3,1)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega +1}\times \omega =\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +1)+\psi _{0}(\Omega )+1)$
$(0,2,1,3,2,1,3,1,3)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega +2}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +1)+\psi _{0}(\Omega )\times 2)$
$(0,2,1,3,2,1,3,2)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega \times 2}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +1)\times 2)$
$(0,2,1,3,2,2)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega ^{2}}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +2))$
$(0,2,1,3,2,2,1)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega ^{2}}\times \omega =\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +2)+1)$
$(0,2,1,3,2,2,1,3)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega ^{2}+1}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +2)+\psi _{0}(\Omega ))$
$(0,2,1,3,2,2,1,3,2)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega ^{2}+\omega }=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +2)+\psi _{0}(\Omega +1))$
$(0,2,1,3,2,2,2)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega ^{3}}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +3))$
$(0,2,1,3,2,3)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega ^{\omega }}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +\omega ))$
$(0,2,1,3,2,3,1)$	${\varepsilon _{0}}^{\omega ^{\omega }}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +\omega )+1)$
$(0,2,1,3,2,3,2)$	$\varepsilon _{0}^{\omega ^{\omega }\times \omega }=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +\omega +1))$
$(0,2,1,3,2,3,3)$	$\varepsilon _{0}^{\omega ^{\omega ^{2}}}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +\omega ^{2}))$
$(0,2,1,3,2,3,4)$	$\varepsilon _{0}^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +\omega ^{\omega }))$
$(0,2,1,3,2,4)$	$\varepsilon _{0}^{\varepsilon _{0}}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega )))$
$(0,2,1,3,2,4,1)$	$\varepsilon _{0}^{\varepsilon _{0}}\times \omega =\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega ))+1)$
$(0,2,1,3,2,4,2)$	$\varepsilon _{0}^{\varepsilon _{0}\times \omega }=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega )+1))$
$(0,2,1,3,2,4,3)$	${\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}=\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +\psi _{0}(\Omega +1)))$
$(0,2,2)$	$\varepsilon _{1}=\psi _{0}(\Omega \times 2)$
$(0,2,2,1)$	$\psi _{0}(\Omega \times 2+1)$
$(0,2,2,2)$	$\psi _{0}(\Omega \times 3)$
$(0,2,3)$	$\psi _{0}(\Omega \times \omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)))$
$(0,2,3,1)$	$\psi _{0}(\Omega \times \omega +1)=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))+\psi _{0}(0))$
$(0,2,3,2)$	$\psi _{0}(\Omega \times (\omega +1))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))+\psi _{1}(0))$
$(0,2,3,3)$	$\psi _{0}(\Omega \times \omega ^{2})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)+\psi _{0}(0)))$
$(0,2,3,4)$	$\psi _{0}(\Omega \times \omega ^{\omega })=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{0}(0))))$
$(0,2,3,4,1)$	$\psi _{0}(\Omega \times \omega ^{\omega }+1)=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{0}(0)))+\psi _{0}(0))$
$(0,2,3,4,2)$	$\psi _{0}(\Omega \times (\omega ^{\omega }+1))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{0}(0)))+\psi _{1}(0))$
$(0,2,3,4,3)$	$\psi _{0}(\Omega \times \omega ^{\omega +1})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{0}(0))+\psi _{0}(0)))$
$(0,2,3,4,4)$	$\psi _{0}(\Omega \times \omega ^{\omega \times 2})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{0}(0)+\psi _{0}(0))))$
$(0,2,3,4,5)$	$\psi _{0}(\Omega \times \omega ^{\omega ^{\omega }})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{0}(\psi _{0}(0)))))$
$(0,2,3,5)$	$\psi _{0}(\Omega \times \psi _{0}(\Omega ))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(0))))$
$(0,2,4)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)))$
$(0,2,4,1)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}+1)=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0))+\psi _{0}(0))$
$(0,2,4,2)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}+\Omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0))+\psi _{1}(0))$
$(0,2,4,3)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(0)))$
$(0,2,4,3,1)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \omega +1)=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(0))+\psi _{0}(0))$
$(0,2,4,3,2)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \omega +\Omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(0))+\psi _{1}(0))$
$(0,2,4,3,3)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \omega ^{2})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(0)+\psi _{0}(0)))$
$(0,2,4,3,4)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \omega ^{\omega })=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{0}(0))))$
$(0,2,4,3,5)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega ))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(0))))$
$(0,2,4,3,5,1)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega )+1)=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(0)))+\psi _{0}(0))$
$(0,2,4,3,5,2)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega )+\Omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(0)))+\psi _{1}(0))$
$(0,2,4,3,5,3)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega +1))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(0))+\psi _{0}(0)))$
$(0,2,4,3,5,4)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega +\omega ))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(0))))$
$(0,2,4,3,5,5)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega \times 2))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(0)+\psi _{1}(0))))$
$(0,2,4,3,5,6)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega \times \omega ))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)))))$
$(0,2,4,3,5,6,1)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega \times \omega )+1)=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))))+\psi _{0}(0))$
$(0,2,4,3,5,6,2)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega \times \omega )+\Omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))))+\psi _{1}(0))$
$(0,2,4,3,5,6,3)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega \times \omega +1))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)))+\psi _{0}(0)))$
$(0,2,4,3,5,6,4)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega \times \omega +\omega ))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))+\psi _{0}(0))))$
$(0,2,4,3,5,6,5)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega \times (\omega +1)))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))+\psi _{1}(0))))$
$(0,2,4,3,5,6,6)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega \times \omega ^{2}))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)+\psi _{0}(0)))))$
$(0,2,4,3,5,6,7)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega \times \omega ^{\omega }))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{0}(0))))))$
$(0,2,4,3,5,6,8)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega \times \psi _{0}(\Omega )))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(0))))))$
$(0,2,4,3,5,7)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega ^{2}))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)))))$
$(0,2,4,3,5,7,1)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega ^{2})+1)=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0))))+\psi _{0}(0))$
$(0,2,4,3,5,7,2)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega ^{2})+\Omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0))))+\psi _{1}(0))$
$(0,2,4,3,5,7,3)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega ^{2}+1))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)))+\psi _{0}(0)))$
$(0,2,4,3,5,7,4)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega ^{2})^{\omega })=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0))+\psi _{0}(0))))$
$(0,2,4,3,5,7,5)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega ^{2}+\Omega ))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0))+\psi _{1}(0))))$
$(0,2,4,3,5,7,6)$	$\psi _{0}(\Omega ^{2}\times \psi _{0}(\Omega ^{2}\times \omega ))=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(0)))))$
$(0,2,4,4)$	$\psi_0(\Omega^3)=\psi_0(\psi_1(\psi_1(0) + \psi_1 (0)))$
$(0,2,4,4,1)$	$\psi _{0}(\Omega ^{3}+1)=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{1}(0))+\psi _{0}(0))$
$(0,2,4,4,2)$	$\psi _{0}(\Omega ^{3}+\Omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{1}(0))+\psi _{1}(0))$
$(0,2,4,4,3)$	$\psi _{0}(\Omega ^{3}\times \omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{1}(0)+\psi _{0}(0)))$
$(0,2,4,4,4)$	$\psi _{0}(\Omega ^{4})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0)+\psi _{1}(0)+\psi _{1}(0)))$
$(0,2,4,5)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\omega })=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))))$
$(0,2,4,5,1)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\omega }+1)=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)))+\psi _{0}(0))$
$(0,2,4,5,2)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\omega }+\Omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)))+\psi _{1}(0))$
$(0,2,4,5,3)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\omega }\times \omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))+\psi _{0}(0)))$
$(0,2,4,5,4)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\omega +1})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))+\psi _{1}(0)))$
$(0,2,4,5,5)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\omega ^{2}})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)+\psi _{0}(0))))$
$(0,2,4,5,6)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\omega ^{\omega }})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{0}(0)))))$
$(0,2,4,5,7)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega )})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(0)))))$
$(0,2,4,5,7,1)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega )}+1)=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(0))))+\psi _{0}(0))$
$(0,2,4,5,7,2)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega )}+\Omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(0))))+\psi _{1}(0))$
$(0,2,4,5,7,3)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega )}\times \omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(0)))+\psi _{0}(0)))$
$(0,2,4,5,7,4)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega )+1})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(0)))+\psi _{1}(0)))$
$(0,2,4,5,7,5)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega +1)})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(0))+\psi _{0}(0))))$
$(0,2,4,5,7,6)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega )^{\omega }})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(0)+\psi _{0}(0)))))$
$(0,2,4,5,7,7)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times 2)})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(0)+\psi _{1}(0)))))$
$(0,2,4,5,7,8)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times \omega )})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))))))$
$(0,2,4,5,7,8,1)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times \omega )}+1)=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)))))+\psi _{0}(0))$
$(0,2,4,5,7,8,2)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times \omega )}+\Omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)))))+\psi _{1}(0))$
$(0,2,4,5,7,8,3)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times \omega )}\times \omega )=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))))+\psi _{0}(0)))$
$(0,2,4,5,7,8,4)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times \omega )+1})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))))+\psi _{1}(0)))$
$(0,2,4,5,7,8,5)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times \omega +1)})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)))+\psi _{0}(0))))$
$(0,2,4,5,7,8,6)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times \omega )^{\omega }})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))+\psi _{0}(0)))))$
$(0,2,4,5,7,8,7)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times (\omega +1))})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0))+\psi _{1}(0)))))$
$(0,2,4,5,7,8,8)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times \omega ^{2})})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(0)+\psi _{0}(0))))))$
$(0,2,4,5,7,8,9)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times \omega ^{\omega })})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{0}(0)))))))$
$(0,2,4,5,7,8,10)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega \times \psi _{0}(\Omega ))})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(0)))))))$
$(0,2,4,5,7,9)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\psi _{0}(\Omega ^{2})})=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(0))))))$
$(0,2,4,6)$	$\psi _{0}(\Omega ^{\Omega })=\psi _{0}(\psi _{1}(\psi _{1}(\psi _{1}(0))))$
$(0,3)$	$\psi _{0}(\Omega _{2})=\psi _{0}(\psi _{2}(0))$
$(0,3,1)$	$\psi _{0}(\Omega _{2}+1)=\psi _{0}(\psi _{2}(0)+\psi _{0}(0))$
$(0,3,2)$	$\psi _{0}(\Omega _{2}+\Omega )=\psi _{0}(\psi _{2}(0)+\psi _{1}(0))$
$(0,3,3)$	$\psi _{0}(\Omega _{2}\times 2)=\psi _{0}(\psi _{2}(0)+\psi _{2}(0))$
$(0,3,4)$	$\psi _{0}(\Omega _{2}\times \omega )=\psi _{0}(\psi _{2}(\psi _{0}(0)))$
$(0,3,5)$	$\psi _{0}(\Omega _{2}\times \Omega )=\psi _{0}(\psi _{2}(\psi _{1}(0)))$
$(0,3,6)$	$\psi _{0}({\Omega _{2}}^{2})=\psi _{0}(\psi _{2}(\psi _{2}(0)))$
$(0,4)$	$\psi _{0}(\Omega _{3})=\psi _{0}(\psi _{3}(0))$
$(0,n+1)$	$\psi _{0}(\Omega _{n})=\psi _{0}(\psi _{n}(0))$

Примечания[]

↑ Юкито в японоязычной гугология вики.
↑ Юкито, ハイパー原始数列
↑ Нотация определена в [Buc1] с. 200.
↑ Сложение определено в [Buc1] с. 203.
↑ Скалярное умножение определено в [Buc1] с. 203.
↑ Понятие ординального члена определено в [Buc1] с. 201.
↑ Рекурсивная система фундаментальных последовательностей определена в [Buc1] с. 203-204, за исключением случая ([].4) (ii). Заменяем ([].4) (ii) правилом 6 в определении в [Buc2] с. 6, применённое к соглашению $\Omega _{0}=1$ , получаем полное определение рекурсивной системы фундаментальных последовательностей.
↑ Отображение $\textrm{dom}$ определено в [Buc1] с. 203-204.
↑ Отображение $o$ определено в [Buc1] с. 201.

Смотрите также[]

Число последовательности примитива

[1] Юкито в японоязычной гугология вики.

[2] Юкито, ハイパー原始数列

[3] Нотация определена в [Buc1] с. 200.

[4] Сложение определено в [Buc1] с. 203.

[5] Скалярное умножение определено в [Buc1] с. 203.

[6] Понятие ординального члена определено в [Buc1] с. 201.

[7] Рекурсивная система фундаментальных последовательностей определена в [Buc1] с. 203-204, за исключением случая ([].4) (ii). Заменяем ([].4) (ii) правилом 6 в определении в [Buc2] с. 6, применённое к соглашению $\Omega _{0}=1$ , получаем полное определение рекурсивной системы фундаментальных последовательностей.

[8] Отображение $\textrm{dom}$ определено в [Buc1] с. 203-204.

[9] Отображение $o$ определено в [Buc1] с. 201.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]