Гиперфакториальная нотация массива

Гиперфакториальная нотация массива

Тип Многомерная
Основано на Факториал

Гиперфакториальная нотация массива (ГФНМ) (англ. Hyperfactorial array notation (HAN)) — нотация для обозначения больших чисел, созданная Лоуренсом Холломом. Впервые она была представлена в апреле 2013 года.

Основы

Каждый массив состоит из конечной последовательности из нуля или более элементов. Каждая запись состоит либо из положительного целого числа, либо из другого массива (и эти массивы могут быть вложены только конечным образом). Примером допустимого массива является

[1,1,[1,2,[3],4,[],1,1],1,3,10,1,[4,[4,3,1],5,6],1,[1,2],1,1]

Сначала мы определяем следующую нотацию:

$n!m=n\uparrow ^{m}(n-1)\uparrow ^{m}(n-2)\cdots 4\uparrow ^{m}3\uparrow ^{m}2\uparrow ^{m}1$,

где $\uparrow$ — стрелочная нотация для обозначения гипероператора.

Гиперфакториальная нотация массива определяет функцию n!A, где A - массив. Примером правильно сформированного выражения в гиперфакториальной нотации массива является 5![6,[7,8],9].

В математике понятие отображения определяется как пара домена и присваивания, но область гиперфакториальной нотации массива, т.е. множество всех допустимых выражений в гиперфакториальной нотации массива, является неопределённой. В частности, это неоднозначно, когда n!m является допустимым выражением для целых чисел n и m. Если мы рассмотрим только основную идею, используя стрелочную нотацию, которая изначально определена для записей целых положительных чисел, n!m является допустимым выражением только для целых положительных чисел n и m, но создатель рассматривает более общий случай.

Согласно создателю, n!0 совпадает с n! потому что создатель, возможно, использует расширение гипероператора, чтобы разрешить $\uparrow^0$ быть умножением. Кроме того, n!(-1) выражается как "сложение", что, возможно, было опечаткой в объяснении того, что создатель рассматривает расширение гипероператоров, позволяющее $\uparrow ^{-1}$ быть сложением. В этом случае $n!(-1)=n+(n-1)+(n-2)+\cdots 4+3+2+1={\frac {n(n+1)}{2}}$.

Линейные массивы

Определите активную запись как первую запись в массиве, которая не равна 1. Это аналогично пилоту BEAF.

Определите принимающую запись как запись перед активной записью, если активная запись не является первой записью.

Первая запись — главная запись.

Символ ◆ может быть любым.

Символ ◇ означает только единицы и разделители

Символ @ указывает на остальную часть массива.

• Любые элементы могут быть обрезаны в конце массива:

  [@, 1] = [@]

• Любой пустой массив можно просто заменить на "n".:

  [] = n

• Если первой записью является число k>1:

  f(a) = a![k-1,@]

  n![k,@] = fⁿ(n)

• В противном случае:

  n![1,k] = n![n,k-1]

  n![◇1,k@] = n![◇[◇1,1@],k-1@]

• Иногда активной записью является массив. В таком случае:

  Используйте его основную запись

  Если основная запись равна 1, уменьшайте массив отдельно до тех пор, пока либо он не выдаст число, либо основная запись больше не будет равна 1.

Размерные массивы

(n) означает следующее n-размерное пространство. Запятая — то же самое, что и (0). ▲ — любая w/ цепочка. ▼ — массив с чем-то перед первым (k) разделителем. ▽ — массив без чего-либо перед первым (k) разделителем. ▬ — строка из ▽w(x)/-ов для любого x. ◆ — любой массив или список записей и разделителей. ° — цепочка [.

• ◆[▬▽w(k)/[q◆]▲]◆ = ◆[▬[1( k)1(k)1(k)...(k)1(k)2]w(k)/[1◆]▲]◆

  ▽ в ◆[▬▽w(k)/[q◆]▲]◆ становится [1(k)1(k)...1(k)2] с q копиями 1, q заменяется на 1, а остальная часть массива не изменяется.

• ◆[▬▼w(k)/[q◆]▲]◆

  Оцените ▼ следующим образом:

  Если необходимо заменить принимающий массив на ▼, но активная запись изменена на 1, или создать цепочку из ▼, в которой активная запись уменьшена на единицу, используйте ▼w(k)/[q◆]▲ с изменениями на ▼.

• Удалите конечные 1.
• Если для w(k)/ не указано значение k, используйте 0 или w,/

Анализ

ГФНМ является довольно новой по сравнению с другими нотациями массива, и скорость её роста ещё не согласована. Холлом считает, что она доходит до ординала Такеути-Фефермана-Бухгольца в быстрорастущей иерархии без доказательств. n!n меньше, чем n+1-е число Аккермана, и больше, чем n-1-е число Аккермана.

Внешние ссылки

• Список факсуальных чисел

Смотрите также

• Стрелочная нотация
• BEAF
• Нотация птичьего массива