Гипер E нотация

Гипер E нотация (сокращённо E#) — нотация для больших чисел, созданная Сбиисом Сайбианом.^[1] Впервые она была представлена в его веб-книге "От одного до бесконечности: Гайд по конечному" 19 ноября 2011 года и обобщена до Расширенной гипер E нотации (сокращённо xE#). Гипер E нотация — усовершенствованная версия другой нотации, созданной Сбиисом Сайбианом в детстве.

Оригинальное определение[]

Исходное выражение в гипер E нотации состоит из последовательности $a_n$ одного или нескольких целых положительных аргументов, разделённых гиперионами (или гиперметками) #. Мы обозначаем это как E[b] $a_1$ # $a_2$ #...# $a_n$ . b называется "базой", если оно опущено, как это часто бывает, то по умолчанию оно равно 10. "E[b]d" также равно "b^d".

Эти три правила заключаются в следующем:

Правило 1. Если гипериона нет:
$E[b]x = b^x$ .
Правило 2. Если последняя запись равна 1:
$E[b]{a_1}\#{a_2}\#{a_3}\cdots\#{a_n}\#1 = E[b]{a_1}\#{a_2}\#{a_3}\cdots\#{a_n}$ .
Правило 3. В противном случае:
$E[b]{a_1}\#{a_2}\#{a_3}\cdots\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#{a_n} =$

$= \textrm E[b]{a_1}\#{a_2}\#{a_3}\cdots\#{a_{n-2}}\#(\textrm E[b]{a_1}\#{a_2}\#{a_3}\cdots\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#{(a_n-1)})$

На простом языке:

Если есть только один аргумент "x", значение выражения равно $b^x$ .
Если последняя запись равна 1, она может быть удалена.
В противном случае...
1. Вычислите исходное выражение, но с уменьшением последней записи на 1. Назовите это значение "z".
2. Удалите последние две записи выражения.
3. Добавьте "z" в качестве записи в конец выражения.

Приоритет правил указан на оригинальной веб-странице под определением: "Используются 3 правила. Если вам задано выражение E#, вы сначала проверяете, применимо ли правило 1. Если это не так, вы проверяете соблюдение правила 2. Если это неприменимо, вы переходите к правилу 3." Это отключает $a_n$ , равный 1 в 3-м правиле, и позволяет избежать перекрывающейся классификации случаев.

Расширенное определение[]

Расширенная гипер E нотация позволяет нескольким символам гиперионов появляться между каждой записью. Число гиперионов, следующее за записью $a_n$ , представлено символом h(n). Для целей этого определения $\#^{x}$ является сокращением для "n" последовательных меток гипериона. Например, полное выражение было бы записано E[b] ${a_1}\#^{h(1)}{a_2}\#^{h(2)}\cdots\#^{h(n-1)}{a_n}\#^{h(n)}$ . Сайбиан использует @ для обозначения остальной части выражения, например, Бауэрс использует # для обозначения остальной части массива.

Разница между оригинальной и расширенной нотацией заключается в том, что расширенная гипер E нотация допускают более одного последовательного гипериона #.

Правило 1. Если гипериона нет:
$E[b[x=b^{x}$ .
Правило 2. Если последняя запись равна 1:
$E[b]$ @ $\#^{h(n-1)}{a_{n}}\#^{h(n)}1=E[b]$ @ $\#^{h(n-1)}{a_n}$
Правило 3. Если $h(n-1) > 1$ :
$E[b]$ @ $\#^{h(n-2)}{a_{n-1}}\#^{h(n-1)}{a_{n}}=E[b]$ @ $\#^{h(n-2)}{a_{n-1}} \#^{h(n-1)-1} {a_{n-1}} \#^{h(n-1)} {a_n-1}$ .
Правило 4. В противном случае:
$E[b]$ @ $\#^{h(n-2)}{a_{n-1}}\#{a_{n}}=E[b]$ @ $\#^{h(n-2)}(E[b]$ @ $\#^{h(n-2)}{a_{n-1}}\#{a_n-1})$ (Примечание: $\#^1$ = #)

Это похоже на правила линейной нотации массива. Мы также можем описать эти правила на простом языке:

Если есть только один аргумент "x", значение выражения равно $b^x$ .
Если последняя запись равна 1, она может быть удалена.
Пусть "h" - длина последнего набора меток гипериона. Если "h" > 1:
1. Удалите последнюю запись выражения и назовите её r.
2. Снова удалите последнюю запись выражения; на этот раз назовите её z.
3. Повторите "z" "r" раз с отметками гиперионов h - 1 между каждым повторением. Добавьте это в конец выражения. (Восстановите удалённую последовательность меток гипериона, чтобы соединить два выражения вместе.)
Если последний набор меток гипериона имеет длину один:
1. Вычислите исходное выражение, но с уменьшением последней записи на 1. Назовите это значение "z".
2. Удалите последние две записи выражения.
3. Добавьте "z" в качестве записи в конец выражения. (Опять же, восстановите удалённую последовательность меток гипериона, чтобы склеить два выражения вместе.)

Примеры[]

E6 = E6#1 = 10^6 = миллиону
E100 = E100#1 = 10^100 = гуголу
Это пример правила 1 с выражениями, состоящими из одного элемента. Поскольку базовое значение по умолчанию равно 10, мы можем сократить E[10]100 до базового значения E100.
E100#2 = E(E100#1) = E10^100 = 10^10^100 = гуголплексу
E100#3 = E(E100#2) = E10^10^100 = 10^10^10^100 = гуголдуплексу
Это пример правила 3 (правило 4 в расширении) с выражениями, состоящими из двух элементов. Во втором выражении круглые скобки можно опустить: E(E100#1) = EE100#1.
E303#1 = E303 = сантиллиону = 10^303
E303#2 = эцетонплексу = EE303 = 10^10^303
E303#3 = EEE303 = 10^10^10^100 = эцетондуплексу
E1#3 = EEE1 = 10^10^10 = триалогу
E1#4 = EEEE1 = 10^10^10^10 = тетралогу
E1#10 = EEEEEEEEEE1 = 10^^10 = декеру
E303#6 = EEEEEE303 = 10^{10^{10^{10^{10^10³⁰³}}}} = эцетонквинтиплексу
E1#100 = EEE...EEE1 (100 E) = гигголу
Повторное применение правила 3: E1#100 = EE1#99 = EEE1#98 = ...
E100#100 = EEE...EEE100 (100 E) = гранголу
Это то же самое, что и E1#100, но с другой первой записью.
E100#101 = EEE...EEE100 (101 E) = гранголплексу
E100#101 = EE100#100 = 10^Грангол, отсюда и название.
E100#100#2 = E100#(E100#100) = EEE...EEE100 (грангол E) = гранголдексу
Теперь мы вводим выражения из трёх элементов.
E100#100#3 = E100#(E100#100#2) = E100#(E100#(E100#100)) = EEE...EEE100 (гранголдекс копий E) = гранголдудексу
Увеличение значения третьей записи делает вложенность всё глубже и глубже.
E100#100#100#100 = E100#100#(E100#100#100#99) = E100#100#(E100#100#(E100#100#100#98)) = ... гиганголу
Выражения с четырьмя элементами похожи — они создают всё более глубокую вложенность на уровне массива. Это также может быть записано как E100##4; начало следующего уровня нотации.
E100##100 = E100#100#100#...#100#100#100 с 100, повторяющейся 100 раз = гуголду
Теперь мы подошли к расширенной гипер E нотации. Два последовательных гипериона (дейтеро-гиперионы) указывают на повторение на более низком уровне.
E100##100#100 = граатаголду
Это выражение разлагается на выражения Ea##b путём многократного применения правила 4.
E100##100##100 = E100##100#100#...#100#100 с 100, повторяющейся 100 раз = гуголтра
Мы игнорируем первый ## до тех пор, пока второй не будет расширен и все слои из 100 не будут решены.
E100###100 = E100##100##...##100##100 с 100, повторяющейся 100 раз = труголу
Три метки гипериона (трито-гиперион) представляют собой повторение двух меток гипериона. Помните, что двойные метки решаются справа налево.
E100####100 = E100###100###...###100###100 с 100, повторяющейся 100 раз = теруголу
Четырёхкратный гиперион разлагается на тройные.
Годгалах = E100#####...#####100 со 100 знаками гипериона или E100# $^{100}$ 100
Наборы из 100 меток гипериона разлагаются на 99 единиц, 99 единиц разлагаются на 98 единиц и т.д. Также обратите внимание, что верхний индекс 100 означает, что существует 100 #, и его не следует путать с E100#( $^{100}$ 100).

Отношения с другими нотациями[]

Первые сегменты гипер E нотации основаны на возведении в степень, т. е. En равно 10ⁿ. Вложение в гипер E с одной записью создаёт итеративное возведение в степень, например EEEn=10^{10^10ⁿ}. Затем в игру вступают метки гипериона. Поскольку метки гипериона имеют решающее значение для рекурсии в этой нотации, определённые расположения гиперионов могут указывать на сходство с другими нотациями, определёнными рекурсией.

Гипер E может быть связана со стрелочной нотацией посредством следующего правила: ^[2]

a\uparrow ^{c}b=E[a]\underbrace {1\#1\#...1\#} _{(1\#)\cdot (c-1)}b

для положительных чисел a, b, c. Например,

a↑b = E(a)b
a↑↑b = E(a)1#b
a↑↑↑b = E(a)1#1#b
a↑↑↑↑b = E(a)1#1#1#b

Псевдокод[]

Для фиксированного числа переменных исходная гипер E нотация является примитивно-рекурсивной, хотя значения, которые она выдаёт, значительно превосходят значения любого компьютера. Расширенная гипер E нотация является непримитивно-рекурсивной для двух или более переменных.

function E_b(a₁, a₂, ..., a_{n - 1}, a_n): //Default value of b is 10

    if n = 1:
        return Шаблон:^

    if a_n = 1:
        return E_b(a₁, a₂, ..., a_{n - 1})

    z := E_b(a₁, a₂, ..., a_{n - 1}, a_n - 1)

    return E_b(a₁, a₂, ..., a_{n - 2}, z)
 
function xE_b(a₁, a₂, ..., a_{n - 1}, a_n;
             h₁, h₂, ..., h_{n - 2}, h_{n - 1}): //Default value of b is 10

    if n = 1:
        return Шаблон:^

    if a_n = 1:
        return xE_b(a₁, a₂, ..., a_{n - 1};
                   h₁, h₂, ..., h_{n - 2})

    if h_{n - 1} > 1:
        r := a_n
        z := a_{n - 1}
        zseq := z, z, ..., z, z (r times)
        h := a_{h - 1}
        hseq := h, h, ..., h, h (r - 1 times)
        return xE_b(a₁, a₂, ..., a_{n - 2}, zseq;
                   h₁, h₂, ..., h_{n - 2}, hseq)

    z := xE_b(a₁, a₂, ..., a_n - 1;
             h₁, h₂, ..., h_{n - 2}, h_{n - 1})
    return xE_b(a₁, a₂, ..., a_{n - 2}, z;
               h₁, h₂, ..., h_{n - 2})

Примечания[]

Смотрите также[]

[1] 4.3.1 - Близкое знакомство ученика 2-го класса с бесконечно большими числами

[2] Кёдайсуу, Сравнение стрелочной нотации с гипер E нотацией 1 июля 2021

[1]

[2]